Indice
Introduzione
Antoine Augustin Cournot (1801-1877)
Antoine Augustin Cournot (1801-1877) è stato un matematico e economista francese dell’Ottocento. Considerato un maestro della teoria economica (a lui dobbiamo l’analisi del monopolio che si insegna ancora oggi in tutto il mondo), e un precursore della teoria dei giochi, il suo lavoro in economia è stato sostanzialmente ignorato all’epoca (con suo grande rammarico).
Il Duopolio di Cournot
Il suo modello di concorrenza duopolistica si è dimostrato non solo interessante di per sé, ma adattabile anche ad ambiti molto diversi dall’economia (inquinamento, scelte politiche). Reinterpretato modernamente si tratta di un gioco in scelte simultanee tra due imprese che sono le uniche produttrici su di un mercato, e che mirano a massimizzare i loro profitti.
Ciascuna impresa deve scegliere strategicamente la propria quantità (un qualunque numero non negativo).
Ovvero, assumendo omogeneità del prodotto, immagina che le (due) imprese scelgano simultaneamente le loro quantità q1 e q2, nell’ipotesi che il prezzo p sarà quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè:
dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del mercato, e q = q1 + q2 la quantità prodotta complessivamente.
Nella forma normale del gioco di Cournot:
• a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso base) scelgono simultaneamente q1e q2;
• b) le funzioni di payoff per ciascuna impresa sono date dal valore del loro profitto:
La decisione sulle quantità da produrre gioca un ruolo decisivo se non si può cambiare nel breve periodo.
Vediamo allora cosa succede quando l’impresa deve decidere il livello di produzione.
Definizione del concetto di equilibrio
– Ciascun giocatore (impresa?) sceglie una strategia
– la combinazione delle strategie determina il risultato
– il risultato determina i pay-off (profitti?)
Il concetto di equilibrio formalizzato da Nash
Nessuna impresa desidera cambiare la propria strategia attuale dato che nessun’altra impresa cambia la propria strategia attuale.
• L’equilibrio non è necessariamente “desiderabile” ( le imprese potrebbero ottenere risultati migliori coordinandosi, ma tale coordinamento potrebbe essere impossibile (o illegale)).
• Alcune strategie possono talvolta essere eliminate ( non sono mai buone strategie a prescindere da cosa fanno i rivali).
• Queste sono le strategie dominate
– non vengono mai impiegate e possono essere eliminate
– l’eliminazione di una strategia dominata potrebbe far sì che un ’altra strategia risulti dominata: può anch’essa esser eliminata
• Una strategia potrebbe esser sempre scelta a prescindere da quel che fanno i rivali: strategia dominante.
Esempio:
• Due compagnie aeree American e Delta.
• Prezzi fissati: competono negli orari di partenza.
• 70% dei consumatori preferiscono partire la sera, 30% preferiscono partire di mattina
• Se le compagnie scelgono lo stesso orario di partenza si dividono equamente il mercato
• I pay-off sono determinati dalle quote di mercato
• I pay-off sono rappresentati in una matrice dei pay-off.
La matrice dei pay-off.
• Supponete ora che Delta abbia un programma per frequent flyer
• Quando entrambe le compagnie scelgono lo stesso orario di partenza Delta ottiene il 60% dei viaggiatori
• Ciò modifica la matrice dei pay-off
L’equilibrio di Nash
Strategia dominante
Nella teoria dei giochi, una strategia si dice dominante se garantisce, al giocatore che la segue, un risultato sempre migliore di ogni altra sua possibile alternativa, indipendentemente dalle strategie adottabili dagli altri giocatori. Quando tutti i giocatori possono disporre e attuano una strategia dominante si ottiene una condizione di equilibrio dominante. L’ipotesi di razionalità prevede che un giocatore che abbia a disposizione una strategia dominante la utilizzi: è un caso particolare di applicazione dell’idea di dominanza.
Strategia dominata
Una strategia dominata è una strategia con pay-off inferiore rispetto alle altre strategie possibili. È la scelta peggiore rispetto a quelle alternative e, quindi, può essere scartata dall’agente razionale. Nella teoria dei giochi la strategia dominata non viene scelta dal giocatore razionale poiché è quella che da cui ottiene un’utilità inferiore ( pay-off ) rispetto alle scelte alternative ( strategia dominante ).
• E se non ci fossero strategie dominate o dominanti?
• Allora dobbiamo usare il concetto di equilibrio di Nash
• Rendiamo il gioco delle compagnie un gioco di prezzo:
– 60 potenziali passeggeri con un prezzo di riserva di €500
– 120 passeggeri addizionali con un prezzo di riserva di €220
– discriminazione di prezzo è impossibile (forse per motivi regolatori oppure perché le compagnie non san distinguere i tipi di passeggeri)
– i costi sono €200 a passeggero a prescindere dall’orario
– le compagnie devono scegliere o prezzo di €500 o di €220
– se i prezzi sono uguali, i passeggeri si distribuiscono in parti uguali
– quella a basso prezzo ottiene tutti i passeggeri.
⇒ La matrice dei pay-off ora è:
Il modello di Cournot nel dettaglio
Per determinare l’equilibrio di Nash del gioco, si consideri la funzione di risposta ottima (“curva di reazione”) dell’impresa i, qi*(qj):
Le curve di reazione
Sono le risposte ottimali di ciascuna impresa alle decisioni di produzione dell’altra impresa. L’insieme di queste possibili risposte ottimali è chiamato (in modo piuttosto confuso) la funzione di reazione dell’impresa.
Una curva di reazione è la rappresentazione sul diagramma cartesiano della quantità ottimale di produzione di un’impresa, per ogni quantità di produzione dell’altra impresa. Le curve di reazione sono anche conosciute come funzioni di reazione o curve della risposta ottimale.
Se l’impresa i si aspetta la produzione della quantità qj da parte del suo concorrente, il suo comportamento ottimale è quello di un monopolista che abbia come curva di domanda la domanda residuale data da:
La curva di domanda residuale dell’impresa 1 è la traslazione verso sinistra della curva di domanda di mercato al netto della quantità di produzione (q) dell’impresa 2
e dunque “profitto marginale” pari a:
L’aumentare di qj diminuisce necessariamente la curva di domanda residuale di i.
Ciò suggerisce che la funzione qi*(qj) sia decrescente (cosiddetto caso dei sostituti strategici), compresa tra un valore massimo pari alla quantità di monopolio e un valore minimo nullo. Tale congettura risulta confermata nel caso, cui restringiamo la nostra attenzione, in cui anche la domanda risulti lineare.
Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la funzione di costo non fosse convessa), tale risultato non sarebbe garantito.
Cournot: il caso lineare
La condizione del primo ordine per la massimizzazione dei profitti di i conferma che una risposta ottima alla quantità qj della concorrente implica che il “ricavo marginale”:
Duopolio di Cournot il caso lineare ricavo marginale:
Sostituendo i parametri della domanda si ottiene:
si noti che la condizione del secondo ordine:
è soddisfatta, indicando che la funzione di profitto è concava.
Si noti che:
Graficamente:
qi*(qj) è la curva di reazione di i.
L’equilibrio di Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come intersezione delle curve di reazione.
Ovvero, un “Equilibrio di Cournot” è costituito da una coppia di quantità (q1, q2 ) tali che (condizione di punto fisso):
(ovviamente, le curve di reazione saranno simmetriche se lo sono le imprese, e simmetrico sarà l’equilibrio, che può pertanto essere identificato anche attraverso la condizione:
dove l’apice N indica i valori di equilibrio).
Graficamente (caso lineare):
N è l’Equilibrio di Nash del gioco di Cournot
Conclusione:
Risolvendo il sistema dato dalle due curve di reazione si ottiene in effetti facilmente che:
Graficamente:
Qui trovi un esercizio svolto sul modello di Cournot ed uno schema risolutivo:
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