La concorrenza dei prezzi: Il modello di Bertrand

La concorrenza dei prezzi

In molti mercati le imprese competono sui prezzi
– Accesso ad Internet
– Ristoranti
– Consulenti
– Servizi finanziari
• In monopolio è indifferente scegliere prima il prezzo o la quantità
• In oligopolio invece è fondamentale
– la concorrenza dei prezzi è molto più aggressiva rispetto alla concorrenza delle quantità.

Concorrenza dei prezzi: Il modello di Bertrand

Quali sono le premesse del modello di Bertrand?

1. Le imprese del modello di Bertrand offrono un prodotto omogeneo, ossia il prodotto e’ perfettamente sostituibile.

2. Le imprese del modello sono dotate di uguale tecnologia

3. Le imprese non cooperano fra loro ; non c’è collusione

4. Le imprese del modello di Bertrand competono attraverso il prezzo , che viene deciso simultaneamente.

5. I consumatori comprano il prodotto dell’impresa che offre il prezzo piu basso.

6. Le imprese tendono a massimizzare i loro profitti

7. Il costo marginale viene mantenuto costante.

Bertrand Vs Cournot

• In Cournot, il prezzo è stabilito da qualche meccanismo di allocazione di mercato
• Un approccio alternativo è ipotizzare che le imprese competano sui prezzi: questo è l’approccio di Bertrand
• Conduce a risultati completamente diversi.

Secondo Bertrand le imprese scelgono, a differenza del modello di Cournot,  il livello dei prezzi dei loro prodotti e si confrontano su questa variabile.

Esempio:
– due imprese che producono lo stesso bene ( per es. acqua)
– le imprese decidono il prezzo a cui vendere il bene
– ciascuna impresa ha un costo marginale pari a c
– la domanda inversa è P = A – B.Q
– la domanda diretta è Q = a – b.P con a = A/B e b = 1/B.

Consideriamo l’impresa 2. L’impresa 1 pratica il prezzo p₁
– se l’impresa 2 pratica un prezzo > p₁ non vende nulla
– se l’impresa 2 pratica un prezzo < p₁ ottiene tutto il mercato
– se l’impresa 2 pone un prezzo pari a p₁ i consumatori sono indifferenti tra le imprese: il mercato si divide, presumibilmente, in quote uguali 50:50
– q₂ = 0 se p₂ > p₁
– q₂ = (a – bp₂)/2 se p₂ = p₁
– q₂= a – bp₂ se p₂ < p₁

Ciascuna delle due imprese del modello di Bertrand segue come strategia il calo di prezzo del proprio prodotto, mantenendolo comunque più alto del costo marginale.

Caratteristiche della funzione di domanda:
• La domanda è discontinua
• La discontinuità nella domanda comporta una discontinuità nei profitti.

 

I profitti dell’impresa 2 sono:
π₂(p₁, p₂) = 0 se p₂ > p₁
π₂(p₁, p₂) = (p₂ – c)(a – bp₂) se p₂ < p₁
π₂(p₁, p₂) = (p₂ – c)(a – bp₂)/2 se p₂ = p₁

Chiaramente dipendono da p_1.

1) Supponiamo  che l’impresa 1 pratichi un prezzo “molto alto”: superiore al prezzo di monopolio:
p^M = (a +c)/2b:

Con p₁ > (a + c)/2b, i profitti dell’impresa 2 sono:

2) Supponiamo ora che p₁ < (a + c)/2b :

I profitti dell’impresa 2 sono

Abbiamo ora la funzione di reazione dell’impresa 2 per ogni prezzo praticato dall’impresa 1:

Simmetricamente, per l’impresa 1

Le funzioni di reazione si rappresentano così:

Due considerazioni sul modello di Bertrand

L’impatto dei vincoli di capacità

• Affinché in equilibrio si abbia p = c, entrambe le imprese devono avere capacità sufficiente da coprire l’intera domanda a p = c
• Ma quando p = c ottengono solo metà del mercato
• Perciò, a p = c, c’è un enorme eccesso di capacità
• I vincoli di capacità possono dunque influenzare l’equilibrio
Esempio
– domanda/die servizi sciistici su monte Norda: Q = 6000 – 60P
– Q è il numero di sciatori/die e P il prezzo dello skipass giornaliero
– due stazioni: Punta Resia con capacità giornaliera 1000 e Sport Resort con capacità giornaliera 1400 (le capacità sono fisse)
– il costo marginale dei servizi sciistici è €10 in entrambe le stazioni.

• Il prezzo P = c = €10 è un equilibrio?
– la domanda totale a P=10 è 5400, ben oltre la capacità.
• Supponete entrambe le stazioni pongano P = €10: entrambe hanno dunque domanda di 2700
• Considerate Punta Resia:
– aumentando i prezzi si perde parte della domanda
– ma dove possono andare? Non certo a Sport Resort
– alcuni sciatori non andranno a Sport Resort con i maggiori prezzi
– ma allora Punta Resia sta facendo profitti sugli sciatori rimanenti tramite un prezzo superiore a C’
– perciò P = €10 non può essere un equilibrio.

Esempio 2

• Supponete che ad ogni prezzo tale per cui la domanda ad una stazione è superiore alla capacità ci sia un razionamento efficiente, cioè vengano serviti i turisti con la più alta disponibilità a pagare.
• Allora possiamo ricavare la domanda residuale
• Assumete P = € 60
– domanda totale = 2400 = capacità totale
– perciò Punta Resia ottiene 1000 clienti
– la domanda residuale per Sport Resort è Q = 5000 – 60P ossia P = 83,33 – Q/60
– i ricavi marginali sono dunque R’ = 83,33 – Q/30.

Esempio 3

Domanda residuale e R’:
Supponete Sport Resort ponga P = € 60.

Vuole cambiare?
– dato che R’ > C’ Sport Resort non vuole alzare i prezzi e perdere clienti
– dato che QS = 1400 Sport Resort impiega tutta la capacità e non vuole ridurre i prezzi
• La stessa logica vale per Punta Resia, perciò P = € 60 è equilibrio di Nash per questo gioco.

Conclusioni

La logica è piuttosto generale:
– le imprese difficilmente sceglieranno di installare tanta capacità da servire l’intero mercato quando P = C’
In equilibrio ottengono infatti solo una parte della domanda
– perciò la capacità di ciascuna impresa è inferiore a ciò che è richiesto per servire l’intero mercato
– ma non c’è incentivo ad abbassare i prezzi fino ai costi marginali
⇒ Perciò la proprietà di efficienza dell’equilibrio di Bertrand perde validità se ci sono vincoli di capacità

La differenziazione di prodotto

L’analisi originale assume inoltre che i prodotti offerti dalle imprese siano omogenei
• Le imprese hanno un incentivo a differenziare i prodotti
– per fidelizzare i clienti
– per non perdere tutta la domanda quando i prezzi sono superiori a quelli dei rivali
• mantenimento dei consumatori “più fedeli”

Esempio 4

Coca-Cola e Pepsi sono simili, ma non identiche. Di conseguenza, con prezzo più basso non si ottiene l’intero mercato
Stime econometriche dicono che:

Ci sono almeno due metodi per ottenere P_C e P_P

Metodo 1: calcolo differenziale

Metodo 2: R’ = C’

Riorganizzate le funzioni di domanda

Calcolate i ricavi marginali, uguagliate ai costi marginali, risolvete per Q_C e Q_P e sostituite nelle funzioni di domanda:

Entrambi i metodi restituiscono le funzioni di reazione:

P_C = 10,44 + 0,2826P_P
P_P = 6,49 + 0,1277P_C

Possono essere risolte per i prezzi di equilibrio
I prezzi di equilibrio sono entrambi superiori ai costi marginali

Un approccio alternativo: il modello di Hotelling

– una Via Centrale sulla quale si distribuiscono i consumatori, rifornita da due negozi posti ai due estremi.
– ora i due negozi sono concorrenti
– ciascun consumatore acquista esattamente una unità di bene finché il prezzo pieno è inferiore a V
– un consumatore compra dal negozio che offre il minor prezzo pieno
– i consumatori sopportano costi di trasporto pari a t volte la distanza percorsa per raggiungere un negozio
Che prezzi praticheranno i negozi?

Il modello di Hotelling: Equilibrio di Bertrand

Due osservazioni finali
• t è una misura dei costi di trasporto
– è anche una misura implicita del valore che i consumatori ricavano dall’ottenere la loro varietà preferita
– quando t è grande la competizione si attenua
• e i profitti aumentano
– quanto t è piccolo la competizione è più accesa
• e i profitti diminuiscono
• Le posizioni sono state assunte come esogenamente date
– supponete le imprese decidano la varietà del prodotto
• bilanciano la tentazione a “rubare clienti” avvicinandosi al rivale
• contro il desiderio di “ridurre la competizione” allontanandosi

Riassunto:

Se le imprese hanno lo stesso costo marginale e la stessa funzione di costo allora quale prodotto sceglierà il consumatore nel modello di Bertrand?

Semplicemente sceglierà casualmente quale dei due prodotti acquistare; le due imprese idealmente avranno un profitto della stessa portata.Poiché il prezzo e’ uguale al costo marginale si ottengono le stesse condizioni del modello di concorrenza perfetta.

Se l’impresa 1 presenta un costo marginale inferiore rispetto a quelli dell’impresa 2 come si comporterà nel modello di Bertrand?

L’impresa 1 tende a fissare un prezzo leggermente al di sotto del costo di produzione marginale dell’impresa 2 ; in questo modo l’impresa 1 ottiene tutto il profitto economico , al contrario dell’impresa 2 che ottiene profitto nullo in quanto sceglie di non produrre.

Qual è la differenza fra il modello di Bertrand e quello di Cournot?

Nel modello di Cournot la variabile tramite cui le due imprese competono e’ determinata dalla quantita Q mentre nel modello di Bertrand questa e’ il prezzo.

Poiché l’impresa 2 ha lo stesso costo marginale dell’impresa 1 , la sua curva di reazione sarà identica a quella dell’impresa 1 , e quindi sarà simmetrica rispetto alla retta di 45 gradi. La figura rappresenta la funzione di reazione dell’impresa 2, p₂*(p₁)

Esempio

Consideriamo il caso di due operatori telefonici, poiché le chiamate telefoniche effettuate con i diversi operatori sono sostanzialmente identiche, i consumatori preferiranno acquistare il servizio dall’impresa che effettua il prezzo inferiore. Nel modello di Bertrand si assume che ogni impresa fissi il proprio livello di prezzo assumendo che il prezzo del concorrente rimanga costante.
Assumiamo che le due imprese abbiano le funzioni di domanda e di costo. Assumiamo che l’impresa 1 fissi inizialmente il livello di prezzo p₁⁰. A questo punto l’impresa 2 avrà 3 alternative:

1) fissare un livello di prezzo superiore ap₁⁰;
2) fissare un livello di prezzo pari a p₁⁰;
3) fissare un livello di prezzo marginalmente inferiore a p₁⁰.

Mentre nel primo caso non riuscirà a vendere nessun traffico telefonico, nel terzo caso riuscirà ad appropriarsi di tutta la domanda di mercato. Nel caso intermedio, invece, le due imprese si divideranno equamente il mercato. E’ chiaro che la terza alternativa rappresenta la strategia migliore per l’impresa 2. Se infatti il prezzo è solo marginalmente inferiore a p₁⁰, l’impresa realizzerà un profitto doppio rispetto al secondo caso.
Poiché le imprese sono identiche, la strategia ottimale per entrambe le imprese sarà quella di scegliere un prezzo marginalmente inferiore a quello fissato dal concorrente. Ma a questo punto risulta chiaro che non potrà esistere un equilibrio se le imprese continueranno a ridurre il loro prezzo per fissarlo ad un livello inferiore a quello del rivale. Tale processo continuerà finchè il prezzo non raggiungerà il costo marginale c. Nessuna delle due imprese sarà incentivata a ridurre ulteriormente il prezzo al di sotto del costo marginale in quanto non avrebbe nessun guadagno dalla vendita del proprio prodotto. Ad un livello di prezzo pari al costo marginale ognuna delle due imprese servirà metà della domanda di mercato.

Il duopolio di Cournot

Modello di duopolio di Stackelberg

 

 

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