ESERCIZIO :
La vita di un individuo può essere divisa in due periodi: nel primo periodo il suo reddito è pari a M1 = 2000, nel secondo periodo è uguale a M2 = 1050. La funzione di utilità intertemporale dell’individuo è data da:
dove C1 e C2 sono i livelli di consumo nei due periodi. L’individuo può prestare o prendere a prestito denaro al tasso di interesse di mercato, pari a i = 5%. Il prezzo del consumo nei due periodi è costante e pari a p = 1.
(a) Scrivere il vincolo di bilancio dell’individuo.
SOLUZIONE:
Espresso in valore attuale, il vincolo di bilancio risulta:
(b) Calcolare i livelli di consumo ottimali dell’individuo nei due periodi e rappresentate graficamente tale equilibrio.
SOLUZIONE:
Dalla funzione di utilità si ottiene:
Il rapporto tra il prezzo del consumo nel primo periodo e il prezzo del consumo nel secondo periodo è dato dal fattore di sconto 1+ i = 1,05. La condizione di ottimo sarà quindi data dall’eguaglianza tra quest’ultimo e il MRS. Per ottenere il consumo ottimale nei due periodi mettiamo a sistema la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio:
Graficamente, il vincolo di bilancio, C2 = 3150 − 1,05 C1, è una retta con intercetta verticale pari a 3150 e inclinazione pari a −1,05. Per trovare l’intercetta orizzontale poniamo C2 = 0 e risolviamo per C1:
(c) L’individuo dà o prende a prestito? Perché?
SOLUZIONE:
Nel periodo 1 l’individuo consuma meno del suo reddito in quanto
C1 = 1800 < 2000 = M1
pertanto dà a prestito.
(d) Il tasso di interesse diviene pari a i = 20%. Calcolare i nuovi livelli di consumo dell’individuo e rappresentare il nuovo equilibrio nel grafico precedente.
SOLUZIONE:
Il nuovo vincolo di bilancio risulta:
Il vincolo di bilancio è una retta con intercetta verticale pari a 3450 e inclinazione pari a −1,2. Per trovare l’intercetta orizzontale poniamo C2 = 0 e risolviamo per C1:
La nuova condizione di ottimo risulta:
Si noti che il MRS rimane invariato perché la funzione di utilità U(·) non dipende dal tasso di interesse i. Mettiamo a sistema la nuova condizione di ottimo con il nuovo vincolo di bilancio:
Graficamente (si noti che il nuovo vincolo di bilancio e paniere ottimo non sono in scala unicamente per convenienza grafica):
e) È possibile, senza ulteriori calcoli, determinare il segno dell’effetto di sostituzione a seguito di un aumento del tasso di interesse? E il segno dell’effetto reddito?
SOLUZIONE:
Indipendentemente dalla posizione di partenza, per effetto di sostituzione, ad un aumento del tasso di interesse corrisponde una diminuzione del consumo presente. Per determinare il segno dell’effetto reddito è invece necessario conoscere la posizione di partenza del consumatore e sapere se per lui i beni siano normali o inferiori. Poiché nel nostro caso l’individuo è risparmiatore (concede a prestito consumando meno del suo reddito) nel periodo 1, un aumento del tasso di interesse lo rende più “ricco” (aumenta cioè il suo potere d’acquisto per via dei cresciuti interessi percepiti su quanto concede a prestito). Quindi, per effetto di reddito, se il bene è normale, il consumo nel periodo 1 aumenta (viceversa se inferiore diminuisce). I due effetti sono perciò discordi se il bene è normale e concordi se il bene è inferiore.
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