Altri esercizi svolti sulle successioni divergenti e successioni limitate

ESERCIZIO 1:

Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione:

un breve ripasso:

Successioni divergenti

Valgono inoltre le seguenti proprietà per successioni divergenti:

SOLUZIONE

Occorre dimostrare che per ogni A > 0 esiste un numero naturale n_A  tale che n> n_A implichi a_n< – A .

Sia  A > 0.

La condizione a_n < -A equivale a:

ESERCIZIO 2:

Stabilire se le seguenti successioni sono limitate:

a)

b)

c)

un breve ripasso:

Successioni limitate

 

SOLUZIONE

a) Dimostriamo che la successione non è limitata.

E’ sufficiente mostrare che per ogni M > 0 esiste un indice n_M ∈ ℵ tale che a_n > M,

b)

Osserviamo innanzitutto che la successione è definita per n ≥ 2 e che per n ≥ 2 vale:

NOTA BENE:

Osservazione: in questo caso, potremmo anche concludere osservando che la successione è convergente (a 0), quindi limitata.

c)

1. La successione è limitata perchè per ogni n ≥ 1 vale:

2) La successione è limitata perchè per ogni n ≥ 1 vale:

3) La successione è limitata perchè per ogni n ≥ 1 vale:

 

ESERCIZIO 3:

Per ciascuna delle seguenti successioni

stabilire quali delle seguenti proprietà sono verificate definitivamente:

(1) i termini sono positivi;
(2) i termini sono minori di un certo M > 0;
(3) i termini sono maggiori di un certo m > 0.

SOLUZIONE

1. Osserviamo che la successione:

2)

3)

Osserviamo che la successione:

Le Successioni numeriche

 

https://matematicaoltre.altervista.org/due-esercizi-sulle-successioni-risolti-con-metodo-delle-stime-e-teorema-del-confronto/

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