Successioni. I teoremi di Cesaro

I Teoremi di Cesaro sono  criteri per dimostrare la convergenza di una successione.

Teorema 1.

Siano {a_n} e {b_n} due successioni. Supponiamo che:

∀n b_n > 0,

Allora se esiste

necessariamente esiste

Conseguenza  (sulla media aritmetica).

Se {a_n} è una successione, e l ∈ R ∪ {−∞, +∞}, allora

Teorema 2.

Siano {a_n} e {b_n} due successioni. Supponiamo che {b_n} sia strettamente crescente e diverga a +∞:

Allora se esiste il limite

necessariamente si ha

Conseguenza 2.

Se {a_n} è una successione, e l ∈ R ∪ {−∞, +∞}, allora

Conseguenza 3 (sulla media geometrica).

Se {a_n} è una successione con a_n > 0 per ogni n , e l ∈ [0, +∞], allora

Conseguenza 4. (Cesaro “standard)

Se {a_n} è una successione con a_n > 0 per ogni n , e l ∈ [0, +∞], allora

 

Come esempio dei risultati sopra (in particolare del Teorema (2)), studiamo l’andamento della successione:

 

avendo preassegnato un parametro α in R.

Proposizione 

Se α > −1 si ha

mentre, se α = 1

Supponiamo, infatti, α > −1 e per n ≥ 1 prendiamo

Dato che

applicando il Teorema (1) si ottiene

 

 

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