Sviluppi di Taylor: Guida Completa con Esercizi Risolti per la Maturità Scientifica

Introduzione

Gli sviluppi di Taylor sono uno strumento fondamentale nell’analisi matematica, con applicazioni che spaziano dalla fisica all’ingegneria, dall’economia all’informatica. In sostanza, un sviluppo di Taylor permette di approssimare una funzione complessa con un polinomio, rendendo più semplice l’analisi del suo comportamento.

Perché sono importanti?

• Approssimazione di funzioni complesse: Molte funzioni, come quelle trigonometriche, esponenziali o logaritmiche, possono essere difficili da manipolare direttamente. Gli sviluppi di Taylor forniscono un’approssimazione polinomiale che semplifica i calcoli.
• Calcolo di limiti: Gli sviluppi di Taylor sono particolarmente utili per risolvere limiti di forme indeterminate, dove le tecniche tradizionali falliscono.
• Risoluzione di equazioni differenziali: In molti problemi di fisica e ingegneria, gli sviluppi di Taylor sono utilizzati per approssimare soluzioni di equazioni differenziali.
• Analisi del comportamento locale: Gli sviluppi di Taylor consentono di studiare il comportamento di una funzione in un intorno di un punto, fornendo informazioni sulle sue derivate e sulla sua curvatura.

Concetti chiave

• Derivate: Le derivate di una funzione forniscono informazioni sulla sua pendenza e sulla sua curvatura. Nello sviluppo di Taylor, le derivate valutate in x₀ determinano i coefficienti del polinomio approssimante.
• Resto di Taylor: Il resto R misura l’errore tra la funzione originale e il polinomio di Taylor. Esistono diverse forme per il resto, tra cui la forma di Lagrange e la forma di Peano.
• Centro dello sviluppo: Il punto x₀ in cui si calcolano le derivate è detto centro dello sviluppo. La scelta del centro influenza la precisione dell’approssimazione.
• Ordine dello sviluppo: L’ordine n dello sviluppo determina il grado del polinomio approssimante. Un ordine più elevato fornisce un’approssimazione più precisa, ma richiede il calcolo di derivate di ordine superiore.

Sviluppo di Maclaurin

Un caso particolare dello sviluppo di Taylor è lo sviluppo di Maclaurin, che si ottiene quando il centro dello sviluppo è x_₀ = 0:

Tavola degli sviluppi di McLaurin delle principali funzioni

Esercizio 1: Sviluppo di Taylor di base

Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 3 della funzione

[math]{f(x) = e^{2x}}[/math] centrato in [math]{x = 0}[/math].

Soluzione:

La funzione [math]{f(x) = e^{2x}}[/math] ha derivate:

[math]{f(0) = 1}[/math].

[math]{f'(x) = 2e^{2x}}[/math], [math]{f'(0) = 2}[/math].

[math]{f”(x) = 4e^{2x}}[/math], [math]{f”(0) = 4}[/math].

[math]{f”'(x) = 8e^{2x}}[/math], [math]{f”'(0) = 8}[/math].

Lo sviluppo di Taylor di ordine 3 è:

[math]{f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}x^3 + o(x^3) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + o(x^3)}[/math].

Esercizio 2: Sviluppo di Taylor con punto diverso da zero

Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione

[math]{f(x) = \ln(x)}[/math] centrato in [math]{x = 1}[/math].

Soluzione:

La funzione [math]{f(x) = \ln(x)}[/math] ha derivate:

[math]{f(1) = 0}[/math].

[math]{f'(x) = \frac{1}{x}}[/math], [math]{f'(1) = 1}[/math].

[math]{f”(x) = -\frac{1}{x^2}}[/math], [math]{f”(1) = -1}[/math].

Lo sviluppo di Taylor di ordine 2 è:

[math]{f(x) = f(1) + f'(1)(x – 1) + \frac{f”(1)}{2!}(x – 1)^2 + o((x – 1)^2) = (x – 1) – \frac{1}{2}(x – 1)^2 + o((x – 1)^2)}[/math].

Esercizio 3: Applicazione di Taylor per un limite

Calcolare il seguente limite utilizzando gli sviluppi di Taylor:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) – x}{x^3}}[/math]

Soluzione:

Applichiamo lo sviluppo di Taylor per [math]{\sin(x)}[/math] centrato in [math]{x = 0}[/math]:

[math]{\sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)}[/math].

Sostituiamo nel limite:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{(x – \frac{x^3}{6}) – x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}}[/math].

Esercizio 4: Sviluppo di Taylor di una funzione composta

Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 3 della funzione

[math]{f(x) = \sqrt{1 + x}}[/math] centrato in [math]{x = 0}[/math].

Soluzione:

La funzione [math]{f(x) = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2}}[/math] ha derivate:

[math]{f(0) = 1}[/math].

[math]{f'(x) = \frac{1}{2}(1 + x)^{-1/2}}[/math], [math]{f'(0) = \frac{1}{2}}[/math].

[math]{f”(x) = -\frac{1}{4}(1 + x)^{-3/2}}[/math], [math]{f”(0) = -\frac{1}{4}}[/math].

[math]{f”'(x) = \frac{3}{8}(1 + x)^{-5/2}}[/math], [math]{f”'(0) = \frac{3}{8}}[/math].

Lo sviluppo di Taylor di ordine 3 è:

[math]{f(x) = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)}[/math].

Esercizio 5: Applicazione avanzata di Taylor per un limite

Calcolare il seguente limite utilizzando gli sviluppi di Taylor:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} – \cos(x) – \frac{3}{2}x^2}{x^4}}[/math]

Soluzione:

Applichiamo gli sviluppi di Taylor per [math]{e^{x^2}}[/math] e [math]{\cos(x)}[/math] centrati in [math]{x = 0}[/math]:

[math]{e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)}[/math]

[math]{\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)}[/math]

Sostituiamo nel limite:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)) – (1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)) – \frac{3}{2}x^2}{x^4}}[/math]

Semplifichiamo il numeratore:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{11}{24}x^4 + o(x^4)}{x^4}}[/math]

Il limite diventa:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{11}{24}x^4}{x^4} = \frac{11}{24}}[/math]

Esercizio 6: Applicazione avanzata di Taylor per un limite

Calcolare il seguente limite utilizzando gli sviluppi di Taylor:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{e^x – \sqrt{1 + 2x} + x^2}{x^3}}[/math]

Soluzione:

Sviluppo di [math]{e^x}[/math]:

[math]{e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)}[/math].

Sviluppo di [math]{\sqrt{1 + 2x}}[/math]:

[math]{\sqrt{1 + 2x} = 1 + x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + o(x^3)}[/math].

Sostituiamo nel limite:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) – (1 + x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2}) + x^2}{x^3}}[/math].

Semplifichiamo il numeratore:

[math]{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} – 1 – x + \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{2} + x^2 = (\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + x^2) + (\frac{x^3}{6} – \frac{x^3}{2}) = 2x^2 – \frac{x^3}{3}}[/math].

Dall’ultimo passaggio, abbiamo:

lim x→0 (2x2 - x3/3) / x3

Possiamo riscrivere questa espressione come:

lim x→0 (2x2 / x3 - x3 / (3x3))

Semplificando:

lim x→0 (2/x - 1/3)

Ora, analizziamo il limite:

• 2/x: Quando x si avvicina a 0 da destra (x → 0+), 2/x tende a +∞. Quando x si avvicina a 0 da sinistra (x → 0-), 2/x tende a -∞.
• -1/3: Questo termine è costante e non influisce sul comportamento del limite quando x tende a 0.

Pertanto, il limite non esiste in senso stretto perché dipende dalla direzione da cui x si avvicina a 0. Tuttavia, se consideriamo i limiti unilaterali:

• lim x→0+ (2/x – 1/3) = +∞
• lim x→0- (2/x – 1/3) = -∞

Pertanto, il limite non esiste in senso stretto perché dipende dalla direzione da cui x si avvicina a 0. In particolare, poiché i limiti unilaterali sono diversi (tendono a +∞ da destra e a -∞ da sinistra), il limite non esiste.

Conclusione:

Il limite dato non esiste in senso stretto, ma diverge a +∞ quando x tende a 0 da destra e a -∞ quando x tende a 0 da sinistra.

Esercizio 7: Sviluppo di Taylor di una funzione logaritmica

Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 della funzione

[math]{f(x) = \ln(1 + \sin(x))}[/math] centrato in [math]{x = 0}[/math].

Soluzione:

Sviluppo di [math]{\sin(x)}[/math]:

[math]{\sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^4)}[/math]

Sviluppo di [math]{\ln(1 + y)}[/math]:

[math]{\ln(1 + y) = y – \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} – \frac{y^4}{4} + o(y^4)}[/math]

Sostituiamo [math]{y = \sin(x)}[/math]:

[math]{\ln(1 + \sin(x)) = \left(x – \frac{x^3}{6}\right) – \frac{1}{2}\left(x – \frac{x^3}{6}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(x – \frac{x^3}{6}\right)^3 – \frac{1}{4}\left(x – \frac{x^3}{6}\right)^4 + o(x^4)}[/math]

Semplifichiamo i termini:

[math]{\ln(1 + \sin(x)) = x – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} + o(x^4)}[/math].

Esercizio 8: Applicazione avanzata di Taylor per un limite

Calcolare il seguente limite utilizzando gli sviluppi di Taylor:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}}[/math]

Soluzione :

1. Sviluppo di Taylor di [math]{\cos(x)}[/math]:

La funzione [math]{\cos(x)}[/math] ha uno sviluppo di Taylor centrato in [math]{x = 0}[/math] dato da:

[math]{\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)}[/math].

Sostituendo i valori dei fattoriali:

[math]{\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)}[/math].

2. Sviluppo di Taylor di [math]{e^{-\frac{x^2}{2}}}[/math]:

La funzione [math]{e^{-\frac{x^2}{2}}}[/math] può essere sviluppata utilizzando lo sviluppo di Taylor di [math]{e^y}[/math] con [math]{y = -\frac{x^2}{2}}[/math]:

[math]{e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + o(y^2)}[/math].

Sostituendo [math]{y = -\frac{x^2}{2}}[/math]:

[math]{e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2} + o(x^4)}[/math].

Calcoliamo i termini:

[math]{e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)}[/math].

3. Sostituiamo gli sviluppi nel limite:

Ora sostituiamo gli sviluppi di [math]{\cos(x)}[/math] e [math]{e^{-\frac{x^2}{2}}}[/math] nel limite:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) – (1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8})}{x^4}}[/math].

4. Semplifichiamo il numeratore:

Sottraiamo i termini:

[math]{(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) – (1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}) = \frac{x^4}{24} – \frac{x^4}{8}}[/math].

Calcoliamo la differenza:

[math]{\frac{x^4}{24} – \frac{x^4}{8} = \frac{x^4}{24} – \frac{3x^4}{24} = -\frac{2x^4}{24} = -\frac{x^4}{12}}[/math].

5. Calcoliamo il limite:

Ora sostituiamo il numeratore semplificato nel limite:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12}}{x^4} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{12} = -\frac{1}{12}}[/math].

Risultato finale:

Il limite è:

[math]{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} = -\frac{1}{12}}[/math].

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