Limite destro e sinistro in un punto
In molti casi la definizione di limite, finito od infinito, in un punto x0 , non risulta verificata in un intero intorno di x0 , ma soltanto in un intorno destro, cioè un insieme della forma (x0 ; x0 + δ), oppure in un intorno sinistro, cioè un insieme della forma (x0 ; x0 – δ).
Ad esempio la funzione definita a tratti:
tende a 0 quando x si avvicina a 0 da sinistra, mentre non esiste il limite da destra non essendo possibile l’avvicinamento da quella direzione.
Analogamente la funzione:
tende a +∞ quando ci si avvicina a -3/2 da sinistra, mentre tende a −∞ quando ci si avvicina a -3/2 da destra.
In tutti questi casi diremo che esiste il limite destro oppure che esiste il limite sinistro nel punto X0.
Definizione:
Si dice che:
1) Il limite per x che tende ad x0 da sinistra è ℓ , e si scrive
2) Il limite per x che tende ad x0 da destra è ℓ ,e si scrive
3) Il limite per x che tende ad x0 da sinistra è +∞ (oppure − ∞ ) , e si scrive
4) Il limite per x che tende ad x0 da destra è +∞ (oppure − ∞ ) , e si scrive
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Esempio
Verificare che:
Come si evince anche dal grafico, il limite della funzione logaritmo naturale non esiste avvicinandosi a zero da sinistra, essendo il suo dominio solo l’insieme dei reali positivi. La verifica consiste nel dimostrare che la disequazione ln x < – M è soddisfatta in un intorno destro di 0 . Procediamo sfruttando l’identità:
a = ln ea
passiamo dai logaritmi ai numeri mantenendo il verso della disequazione, dato che la base del logaritmo è maggiore di 1 :
d’altronde il domino della funzione è ℝ+0 : facendo l’intersezione con la soluzione trovata abbiamo:
che come si vede è proprio un intorno destro di 0 , con δM = e -M
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