Equazioni Esponenziali e Logaritmiche: Metodi di Risoluzione (con Esempi Difficili)

Esercizio 1 (Medio-Facile)

Risolvere:

[math]2^{x+1} = 16[/math]

Soluzione:

Riscrivi 16 come potenza di 2:

[math]16 = 2^4[/math]

L’equazione diventa:

[math]2^{x+1} = 2^4[/math]

Uguaglia gli esponenti (stessa base):

Se [math]a^{f(x)} = a^{g(x)}[/math], allora [math]f(x) = g(x)[/math] (con [math]a>0, a \neq 1[/math]).

[math]x+1 = 4[/math]

Risolvi:

[math]x = 4-1[/math]

[math]x = 3[/math]

Risposta:

[math]x=3[/math].

Esercizio 2 (Medio)

Risolvere:

[math]3^{2x} – 4 \cdot 3^x + 3 = 0[/math]

Soluzione:

Sostituzione:

Poni [math]y = 3^x[/math]. L’equazione diventa quadratica:

[math]y^2 – 4y + 3 = 0[/math]

Risolvi l’equazione quadratica:

[math]y = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}[/math]

[math]y_1 = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3[/math]

[math]y_2 = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1[/math]

Ritorna alla variabile originale:

Se [math]y=3[/math]:

[math]3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x=1[/math]

Se [math]y=1[/math]:

[math]3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x=0[/math]

Risposta:

[math]x=0[/math] oppure [math]x=1[/math].

Esercizio 3 (Medio-Difficile)

Risolvere:

[math]5^{x-1} = 25^{x+2}[/math]

Soluzione:

Riscrivi 25 come potenza di 5:

[math]25 = 5^2 \implies 25^{x+2} = (5^2)^{x+2} = 5^{2(x+2)} = 5^{2x+4}[/math]

L’equazione diventa:

[math]5^{x-1} = 5^{2x+4}[/math]

Uguaglia gli esponenti:

[math]x-1 = 2x+4[/math]

Risolvi:

[math]x – 2x = 4+1[/math]

[math]-x = 5 \implies x = -5[/math]

Risposta:

[math]x=-5[/math].

Esercizio 4 (Difficile)

Risolvere:

[math]2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 28[/math]

Soluzione:

Usa le proprietà delle potenze per raccogliere [math]2^x[/math]:

[math]2^x + 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 28[/math]

[math]2^x(1 + 2 + 2^2) = 28[/math]

[math]2^x(1 + 2 + 4) = 28[/math]

[math]2^x \cdot 7 = 28[/math]

Isola [math]2^x[/math]:

[math]2^x = \frac{28}{7}[/math]

[math]2^x = 4[/math]

Riscrivi 4 come potenza di 2:

[math]2^x = 2^2 \implies x=2[/math]

Risposta:

[math]x=2[/math].

Esercizio 5 (Molto Difficile)

Risolvere:

[math]4^x – 3 \cdot 2^x + 2 = 0[/math]

Soluzione:

Riscrivi [math]4^x[/math] come [math](2^2)^x = 2^{2x}[/math]:

[math]2^{2x} – 3 \cdot 2^x + 2 = 0[/math]

Sostituzione:

Poni [math]y = 2^x[/math]. L’equazione diventa quadratica:

[math]y^2 – 3y + 2 = 0[/math]

Risolvi l’equazione quadratica:

[math]y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}[/math]

[math]y_1 = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2[/math]

[math]y_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1[/math]

Ritorna a [math]x[/math]:

Se [math]y=2[/math]:

[math]2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x=1[/math]

Se [math]y=1[/math]:

[math]2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x=0[/math]

Risposta:

[math]x=0[/math] oppure [math]x=1[/math].

Esercizio 6 (Difficile con Logaritmi)

Risolvere:

[math]7^x = 5[/math]

Soluzione:

Applica il logaritmo naturale (ln) ad entrambi i membri:

[math]\ln(7^x) = \ln(5)[/math]

Usa la proprietà dei logaritmi [math]\ln(a^b) = b \ln(a)[/math]:

[math]x \ln(7) = \ln(5)[/math]

Isola [math]x[/math]:

[math]x = \frac{\ln(5)}{\ln(7)}[/math]

Nota: Puoi anche usare il logaritmo in base 10 ([math]\log[/math]) o qualsiasi altra base. Il risultato sarà lo stesso.

Risposta:

[math]x = \frac{\ln(5)}{\ln(7)} \approx 0.827[/math] (approssimato).

---

Nozioni Teoriche Integrate

Definizione di equazione esponenziale:

Un’equazione in cui l’incognita compare all’esponente (es. [math]a^x=b[/math], con [math]a>0, a \neq 1[/math]).

Metodi di risoluzione:

• Stessa base: Se [math]a^{f(x)} = a^{g(x)}[/math], allora [math]f(x) = g(x)[/math]. È fondamentale ricondurre entrambi i membri dell’equazione alla stessa base.
• Sostituzione: Utile quando l’equazione può essere trasformata in una forma polinomiale (spesso quadratica) attraverso una sostituzione del tipo [math]y = a^x[/math]. Ad esempio, [math]k \cdot a^{2x} + m \cdot a^x + n = 0[/math] diventa [math]k y^2 + my + n = 0[/math].
• Logaritmi: Quando non è possibile ricondurre alla stessa base facilmente, si applica un logaritmo (naturale, base 10, o altra base) ad entrambi i membri. Se [math]a^x=b[/math], allora [math]x \log_c(a) = \log_c(b)[/math], da cui [math]x = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}[/math]. Comunemente si usa [math]x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}[/math] o [math]x = \frac{\log(b)}{\log(a)}[/math].

Proprietà delle potenze utili:

• [math]a^{x+y} = a^x \cdot a^y[/math]
• [math]a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}[/math]
• [math](a^x)^y = a^{xy}[/math]
• [math]a^0 = 1[/math] (per [math]a \neq 0[/math])
• [math]a^1 = a[/math]
• [math]a^{-x} = \frac{1}{a^x}[/math]
• [math](a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x[/math]
• [math]\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}[/math]

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Infine, ecco 4 esercizi difficili sulle equazioni esponenziali risolti con i logaritmi

Esercizio 7 (Difficile – Logaritmi e Cambiamento di Base)

Risolvere:
[math]5^{2x-1} = 3^{x+2}[/math]

Soluzione:
Per risolvere questa equazione esponenziale in cui le basi non sono potenze l’una dell’altra, il metodo più efficace è applicare un logaritmo a entrambi i membri dell’equazione. Possiamo usare il logaritmo naturale (ln) o un logaritmo in base 10 (log), o anche un logaritmo in una base specifica. Scegliamo il logaritmo naturale per convenzione, poiché è spesso più comodo nei calcoli avanzati.

1. Applica il logaritmo naturale (ln) a entrambi i membri:
   [math]\ln(5^{2x-1}) = \ln(3^{x+2})[/math]
2. Usa la proprietà dei logaritmi [math]\ln(a^b) = b \ln(a)[/math]: Questa proprietà è fondamentale per “portare giù” gli esponenti, trasformando l’equazione da esponenziale a lineare in termini di [math]x[/math].
   [math](2x-1)\ln(5) = (x+2)\ln(3)[/math]
3. Espandi entrambi i lati dell’equazione: Distribuisci i logaritmi ai termini tra parentesi.
   [math]2x\ln(5) – \ln(5) = x\ln(3) + 2\ln(3)[/math]
4. Raccogli i termini con [math]x[/math] da un lato e i termini costanti dall’altro: Il nostro obiettivo è isolare [math]x[/math].
   [math]2x\ln(5) – x\ln(3) = 2\ln(3) + \ln(5)[/math]
5. Fattorizza [math]x[/math] dal lato sinistro:
   [math]x(2\ln(5) – \ln(3)) = 2\ln(3) + \ln(5)[/math]
6. Isola [math]x[/math] dividendo per il coefficiente di [math]x[/math]:
   [math]x = \frac{2\ln(3) + \ln(5)}{2\ln(5) – \ln(3)}[/math]
7. Forma alternativa (usando proprietà logaritmiche per semplificare l’espressione):
   Possiamo usare le proprietà [math]b\ln(a) = \ln(a^b)[/math] e [math]\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)[/math] e [math]\ln(a) – \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})[/math] per rendere l’espressione più compatta.
   • Numeratore: [math]2\ln(3) + \ln(5) = \ln(3^2) + \ln(5) = \ln(9) + \ln(5) = \ln(9 \times 5) = \ln(45)[/math]
   • Denominatore: [math]2\ln(5) – \ln(3) = \ln(5^2) – \ln(3) = \ln(25) – \ln(3) = \ln(\frac{25}{3})[/math]

   Quindi, la soluzione può essere scritta come:
   [math]x = \frac{\ln(45)}{\ln(\frac{25}{3})}[/math]

Risposta:
[math]x = \frac{2\ln(3) + \ln(5)}{2\ln(5) – \ln(3)} = \frac{\ln(45)}{\ln(\frac{25}{3})}[/math]

Esercizio 8 (Medio – Equazione Quadratica Nascosta)

Questo esercizio non è stato fornito nella richiesta iniziale, ma lo includo come esempio comune di “equazione quadratica nascosta” nelle equazioni esponenziali, come l’esempio fornito nel testo dell’esercizio 10. Assumo un esercizio simile a quello fornito come “Soluzione” nell’Esercizio 8, che è in realtà l’Esercizio 10.

Esercizio (ipotetico, simile a quanto descritto come “Soluzione” per Ex.8):
Risolvere: [math]e^{2x} – 4e^x + 3 = 0[/math]

Soluzione:
Questa equazione, a prima vista esponenziale, può essere trasformata in una forma quadratica tramite una sostituzione.

1. Sostituzione: Poni [math]y = e^x[/math].
   Notiamo che [math]e^{2x} = (e^x)^2 = y^2[/math]. Sostituendo nell’equazione originale:
   [math]y^2 – 4y + 3 = 0[/math]
2. Risolvi l’equazione di secondo grado: Questa è una normale equazione quadratica nella variabile [math]y[/math]. Possiamo risolverla usando la formula quadratica [math]y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}[/math] o fattorizzando. In questo caso, è facilmente fattorizzabile:
   [math](y-3)(y-1) = 0[/math]
   Questo ci dà due possibili soluzioni per [math]y[/math]:
   [math]y_1 = 3[/math]
   [math]y_2 = 1[/math]
3. Ritorna a [math]x[/math]: Ora dobbiamo sostituire nuovamente [math]e^x[/math] al posto di [math]y[/math] per trovare i valori di [math]x[/math].
   • Caso 1: Se [math]y = 3[/math]
     [math]e^x = 3[/math]
     Per risolvere per [math]x[/math], applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i lati:
     [math]\ln(e^x) = \ln(3)[/math]
     [math]x = \ln(3)[/math]
   • Caso 2: Se [math]y = 1[/math]
     [math]e^x = 1[/math]
     Sappiamo che qualsiasi numero elevato a 0 è 1, quindi [math]x=0[/math]. Oppure, applicando il logaritmo naturale:
     [math]\ln(e^x) = \ln(1)[/math]
     [math]x = 0[/math] (poiché [math]\ln(1)=0[/math])

Risposta:
[math]x = 0[/math] oppure [math]x = \ln(3) \approx 1.0986[/math]

Esercizio 9 (Molto Difficile – Logaritmo in Base Diversa)

Risolvere:
[math]2^x = 3^{x-1}[/math]

Soluzione:
Simile all’Esercizio 7, applichiamo un logaritmo. Questa volta, per dimostrare l’uso di basi diverse, useremo il logaritmo in base 2. Si potrebbe usare anche il logaritmo naturale o in base 10, il risultato finale sarebbe equivalente.

1. Applica il logaritmo in base 2 ([math]\log_2[/math]) a entrambi i membri:
   [math]\log_2(2^x) = \log_2(3^{x-1})[/math]
2. Semplifica usando la proprietà [math]\log_a(a^b) = b[/math] e [math]\log_a(b^c) = c \log_a(b)[/math]:
   Il lato sinistro si semplifica direttamente a [math]x[/math].
   [math]x = (x-1)\log_2(3)[/math]
3. Espandi il lato destro:
   [math]x = x\log_2(3) – \log_2(3)[/math]
4. Raccogli i termini con [math]x[/math] da un lato:
   [math]x – x\log_2(3) = -\log_2(3)[/math]
5. Fattorizza [math]x[/math]:
   [math]x(1 – \log_2(3)) = -\log_2(3)[/math]
6. Isola [math]x[/math]:
   [math]x = \frac{-\log_2(3)}{1 – \log_2(3)}[/math]
7. Semplifica l’espressione (eliminando il segno negativo al numeratore e denominatore):
   [math]x = \frac{\log_2(3)}{\log_2(3) – 1}[/math]
8. Forma alternativa (usando il cambiamento di base per esprimere in termini di logaritmo naturale):
   La formula per il cambiamento di base è [math]\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}[/math].
   Quindi, [math]\log_2(3) = \frac{\ln(3)}{\ln(2)}[/math].
   Sostituendo questo nell’espressione per [math]x[/math]:
   [math]
   \begin{align*}
   x &= \frac{\frac{\ln(3)}{\ln(2)}}{\frac{\ln(3)}{\ln(2)} – 1} \\
   &= \frac{\frac{\ln(3)}{\ln(2)} \times \ln(2)}{(\frac{\ln(3)}{\ln(2)} – 1) \times \ln(2)} \\
   &= \frac{\ln(3)}{\ln(3) – \ln(2)}
   \end{align*}
   [/math]
   Usando la proprietà [math]\ln(a) – \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})[/math] al denominatore:
   [math]x = \frac{\ln(3)}{\ln(\frac{3}{2})}[/math]

Risposta:
[math]x = \frac{\log_2(3)}{\log_2(3) – 1} = \frac{\ln(3)}{\ln(\frac{3}{2})} \approx 2.7095[/math]

Esercizio 10 (Estremo – Equazione Mista Esponenziale-Logaritmica)

Risolvere:
[math]2(\log x)^2 – \log(10x) = 0[/math]
*Nota: Assumo [math]\log[/math] sia il logaritmo in base 10, come è comune in questo contesto e come suggerito da [math]\log(10)=1[/math] implicito nella soluzione.*

Soluzione:
Questa equazione mescola termini logaritmici e richiede l’applicazione di proprietà dei logaritmi e una sostituzione per trasformarla in un’equazione polinomiale.

1. Dominio: Prima di tutto, è fondamentale stabilire il dominio dell’equazione. Il termine [math]\log x[/math] implica che [math]x > 0[/math].
2. Semplifica usando proprietà dei logaritmi:
   Il termine [math]\log(10x)[/math] può essere scomposto usando la proprietà [math]\log(ab) = \log a + \log b[/math].
   [math]\log(10x) = \log(10) + \log(x)[/math]
   Poiché stiamo usando il logaritmo in base 10, [math]\log(10) = 1[/math].
   Quindi, [math]\log(10x) = 1 + \log(x)[/math].

   Sostituendo questa espressione nell’equazione originale:
   [math]2(\log x)^2 – (1 + \log x) = 0[/math]
   [math]2(\log x)^2 – 1 – \log x = 0[/math]
   Riscriviamo in ordine decrescente di potenza:
   [math]2(\log x)^2 – \log x – 1 = 0[/math]

3. Sostituzione: Poni [math]y = \log x[/math]. L’equazione diventa un’equazione quadratica in [math]y[/math]:
   [math]2y^2 – y – 1 = 0[/math]
4. Risolvi l’equazione quadratica: Possiamo usare la formula quadratica [math]y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}[/math] con [math]a=2, b=-1, c=-1[/math].
   [math]
   \begin{aligned}
   y &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(2)(-1)}}{2(2)} \\
   y &= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \\
   y &= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \\
   y &= \frac{1 \pm 3}{4}
   \end{aligned}
   [/math]
   Questo ci dà due soluzioni per [math]y[/math]:
   [math]y_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1[/math]
   [math]y_2 = \frac{1 – 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}[/math]
5. Ritorna a [math]x[/math]: Ora dobbiamo sostituire nuovamente [math]\log x[/math] al posto di [math]y[/math] per trovare i valori di [math]x[/math].
   • Caso 1: Se [math]y = 1[/math]
     [math]\log x = 1[/math]
     Per definizione di logaritmo (se [math]\log_b a = c[/math] allora [math]b^c = a[/math]), se la base è 10:
     [math]x = 10^1 = 10[/math]
   • Caso 2: Se [math]y = -\frac{1}{2}[/math]
     [math]\log x = -\frac{1}{2}[/math]
     [math]x = 10^{-\frac{1}{2}}[/math]
     [math]x = \frac{1}{10^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}[/math]
6. Verifica delle soluzioni: Entrambe le soluzioni ([math]x=10[/math] e [math]x=\frac{1}{\sqrt{10}}[/math]) sono maggiori di 0, quindi sono valide nel dominio dell’equazione.

Risposta:
[math]x = 10[/math] oppure [math]x = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316[/math]

Nozioni Teoriche relative a questa sezione:

• Logaritmi e cambio di base:
  La formula per il cambiamento di base [math]\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}[/math] (dove [math]c[/math] può essere qualsiasi base, solitamente [math]e[/math] per [math]\ln[/math] o [math]10[/math] per [math]\log[/math]) è fondamentale per risolvere equazioni esponenziali con basi diverse che non sono potenze l’una dell’altra (come negli Esercizi 7 e 9). Permette di esprimere tutti i logaritmi in una base comune per facilitare i calcoli o per ottenere una forma più compatta del risultato. Ad esempio, [math]\log_2(3) = \frac{\ln(3)}{\ln(2)}[/math].
• Proprietà dei logaritmi usate:
  • Potenza: [math]\log_b(a^c) = c \log_b(a)[/math]. Questa è la proprietà più cruciale per risolvere le equazioni esponenziali, poiché converte gli esponenti in coefficienti, linearizzando l’equazione rispetto alla variabile.
  • Prodotto: [math]\log_b(ab) = \log_b(a) + \log_b(b)[/math]. Usata nell’Esercizio 10 per separare i termini.
  • Quoziente: [math]\log_b(\frac{a}{b}) = \log_b(a) – \log_b(b)[/math]. Utile per semplificare espressioni logaritmiche, come nel caso dell’Esercizio 7 e 9 per ottenere la forma alternativa della risposta.
  • Identità: [math]\log_b(b) = 1[/math]. Questa è stata usata nell’Esercizio 10 ([math]\log(10)=1[/math]) e nell’Esercizio 9 ([math]\log_2(2^x)=x[/math]).
• Equazioni esponenziali miste (o logaritmiche miste):
  Quando un’equazione contiene sia termini esponenziali che logaritmici, o logaritmi con potenze diverse (come [math](\log x)^2[/math]), la strategia comune è cercare una sostituzione che trasformi l’equazione in una forma polinomiale (spesso quadratica). Questo è stato il caso dell’Esercizio 8 (ipotetico) con [math]y=e^x[/math] e dell’Esercizio 10 con [math]y=\log x[/math]. La verifica del dominio (ad esempio [math]x>0[/math] per [math]\log x[/math]) è sempre essenziale.

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