Il criterio di Raabe, noto anche come criterio di Raabe-Duhamel, è un criterio per determinare la convergenza di serie a termini positivi. È una generalizzazione del criterio del rapporto di D’Alembert e viene utilizzato in particolare quando il criterio del rapporto è inconcludente (cioè fornisce 1 come limite del rapporto tra termini successivi).

Enunciato del Criterio di Raabe

Sia [math]\sum a_n[/math] una serie a termini positivi, cioè [math]a_n > 0[/math] per ogni [math]n[/math]. Supponiamo che esista il limite (o limite superiore) del seguente rapporto modificato:

[math]R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right)[/math]

Allora:

• Se [math]\lim_{n \to \infty} R_n > 1[/math], la serie converge.
• Se [math]\lim_{n \to \infty} R_n < 1[/math], la serie diverge.
• Se [math]\lim_{n \to \infty} R_n = 1[/math], il criterio è inconcludente.

Interpretazione Intuitiva

Il criterio di Raabe confronta la serie in esame con una serie armonica generalizzata, cioè con [math]\sum \frac{1}{n^p}[/math]. Quando [math]R_n > 1[/math], è come se la serie [math]a_n[/math] stesse decrescendo più velocemente di una serie armonica convergente (cioè con [math]p > 1[/math]).

Connessione con il Criterio del Rapporto

Il criterio del rapporto esamina:

[math]L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}[/math]

Se [math]L < 1[/math], la serie converge; se [math]L > 1[/math], diverge; se [math]L = 1[/math], è inconcludente.

Raabe “raffina” questo caso inconcludente con:

[math]R_n = n\left( \frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} – 1 \right) = n\left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right)[/math]

Esempio 1 – Serie Convergente

Considera:

[math]\sum \frac{1}{n!}[/math]

Sappiamo che converge. Applichiamo il criterio di Raabe:

[math]a_n = \frac{1}{n!}, \quad a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}[/math]

[math]\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = n+1[/math]

[math]\Rightarrow R_n = n(n+1 – 1) = n^2[/math]

Quindi, [math]\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty[/math]. Poiché [math]\infty > 1[/math], la serie converge (come già noto).

Esempio 2 – Serie Divergente

Considera:

[math]\sum \frac{1}{n}[/math]

Sappiamo che diverge (serie armonica). Applichiamo il criterio di Raabe:

[math]a_n = \frac{1}{n}, \quad a_{n+1} = \frac{1}{n+1}[/math]

[math]\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}[/math]

[math]\Rightarrow R_n = n\left( \left(1 + \frac{1}{n}\right) – 1 \right) = n\left( \frac{1}{n} \right) = 1[/math]

Quindi, [math]\lim_{n \to \infty} R_n = 1[/math] → inconcludente, coerente con l’ambiguità del caso limite.

Quando Usare il Criterio di Raabe

Usalo quando il criterio del rapporto dà limite 1 e vuoi ulteriori indizi su convergenza o divergenza. È particolarmente utile per:

• Serie con fattoriali
• Serie con prodotti di polinomi
• Serie simili alla serie armonica generalizzata

 

Esercizi Risolti con il Criterio di Raabe

Questi esercizi mostrano l’applicazione del criterio di Raabe per determinare la convergenza di serie, specialmente quando il criterio del rapporto o della radice risulta inconcludente (limite uguale a 1).

Esercizio 1: Serie con fattoriale e parametro

Studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3n-1)}[/math]

Soluzione:

Termine generale:

[math]a_n = \frac{n!}{\prod_{k=1}^{n} (3k-1)}[/math]

Applichiamo il criterio del rapporto:

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)! / \prod_{k=1}^{n+1} (3k-1)}{n! / \prod_{k=1}^{n} (3k-1)}[/math]

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{\prod_{k=1}^{n} (3k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1} (3k-1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{3(n+1)-1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{3n+2} = \frac{1}{3}[/math]

Commento: In questo caso, [math]L = \frac{1}{3} < 1[/math], quindi la serie converge per il criterio del rapporto. Non è necessario applicare il criterio di Raabe. L’esercizio è stato proposto per illustrare un caso in cui il criterio del rapporto è conclusivo.

Esercizio 2: Serie dove il criterio del rapporto dà [math]L=1[/math]

Studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{1}{n}[/math]

dove [math](2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)[/math] e [math](2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)[/math].

Soluzione:

Termine generale:

[math]a_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{1}{n}[/math]

Criterio del rapporto:

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(2(n+1)-1)!! / (2(n+1))!! \cdot 1/(n+1)}{(2n-1)!! / (2n)!! \cdot 1/n}[/math]

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{2n+2} \cdot \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + n}{2n^2 + 4n + 2} = 1[/math]

Commento: Il criterio del rapporto è inconcludente perché [math]L=1[/math]. Applichiamo quindi il criterio di Raabe.

Criterio di Raabe:

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{n+1}{n} – 1\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{2n+2}{2n+1} \cdot \frac{n+1}{n} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{(2n+2)(n+1)}{n(2n+1)} – 1\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{2n^2 + 4n + 2}{2n^2 + n} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{2n^2 + 4n + 2 – (2n^2 + n)}{2n^2 + n}\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{3n + 2}{2n^2 + n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n}{2n^2 + n} = \frac{3}{2}[/math]

Commento: Poiché [math]R = \frac{3}{2} > 1[/math], la serie converge per il criterio di Raabe.

Esercizio 3: Serie dipendente da un parametro (caso critico)

Determinare per quali [math]\alpha > 0[/math] converge la serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)}[/math]

Soluzione:

Termine generale:

[math]a_n = \frac{n!}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)}[/math]

Criterio del rapporto:

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)! / ((\alpha+1)\cdots(\alpha+n)(\alpha+n+1))}{n! / ((\alpha+1)\cdots(\alpha+n))}[/math]

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(\alpha+1)\cdots(\alpha+n)}{(\alpha+1)\cdots(\alpha+n)(\alpha+n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{\alpha+n+1} = 1[/math]

Commento: Il criterio del rapporto è inconcludente perché [math]L=1[/math]. Applichiamo quindi il criterio di Raabe.

Criterio di Raabe:

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{(\alpha+1)\cdots(\alpha+n)(\alpha+n+1)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(\alpha+1)\cdots(\alpha+n)} – 1\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{\alpha+n+1}{n+1} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{\alpha+n+1 – (n+1)}{n+1}\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{\alpha}{n+1}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{\alpha n}{n+1} = \alpha[/math]

Commento: Per il criterio di Raabe, la serie converge se [math]R = \alpha > 1[/math] e diverge se [math]R = \alpha < 1[/math]. Se [math]\alpha = 1[/math], il criterio è inconcludente. Tuttavia, se [math]\alpha = 1[/math], la serie diventa [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}[/math], che è la serie armonica (escluso il primo termine) e quindi diverge. Pertanto, la serie converge solo per [math]\alpha > 1[/math].

Esercizio 4: Serie con coefficienti binomiali

Studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\right)^2[/math]

Soluzione:

Termine generale:

[math]a_n = \left(\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\right)^2 = \left(\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}\right)^2 = \frac{((2n)!)^2}{(n!)^4 16^n}[/math]

Criterio del rapporto:

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(((2(n+1)))!)^2 / (((n+1)!)^4 16^{n+1})}{((2n)!)^2 / ((n!)^4 16^n} = \frac{((2n+2)!)^2}{((n+1)!)^4 16^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^4 16^n}{((2n)!)^2}[/math]

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((2n+2)(2n+1)(2n)!)^2}{((n+1)n!)^4 16} \cdot \frac{(n!)^4}{((2n)!)^2} = \frac{(2n+2)^2 (2n+1)^2}{(n+1)^4 \cdot 16} = \frac{4(n+1)^2 (2n+1)^2}{(n+1)^4 \cdot 16} = \frac{(2n+1)^2}{4(n+1)^2} = \frac{4n^2 + 4n + 1}{4n^2 + 8n + 4}[/math]

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2 + 4n + 1}{4n^2 + 8n + 4} = 1[/math]

Commento: Il criterio del rapporto è inconcludente perché [math]L=1[/math]. Applichiamo quindi il criterio di Raabe.

Criterio di Raabe:

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{4(n+1)^2}{(2n+1)^2} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{4(n^2 + 2n + 1)}{4n^2 + 4n + 1} – 1\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{4n^2 + 8n + 4 – (4n^2 + 4n + 1)}{4n^2 + 4n + 1}\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{4n + 3}{4n^2 + 4n + 1}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2 + 3n}{4n^2 + 4n + 1} = 1[/math]

Commento: Anche il criterio di Raabe dà [math]R=1[/math] in questo caso, quindi è inconcludente. Per risolvere questa serie, si potrebbe utilizzare l’approssimazione di Stirling o altri metodi più avanzati.

Esercizio 5: Serie con termine generale complesso

Studiare la convergenza della serie con termine generale:

[math]a_n = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}[/math]

Soluzione:

Criterio del rapporto:

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))!! / (2(n+1)+1)!!}{(2n)!! / (2n+1)!!} = \frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!} \cdot \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!} = \frac{2n+2}{2n+3}[/math]

[math]L = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n+2}{2n+3} = 1[/math]

Commento: Il criterio del rapporto è inconcludente. Applichiamo il criterio di Raabe.

Criterio di Raabe:

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{(2n+3)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} – 1\right)[/math]

[math]R = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{2n+3}{2n+2} – 1\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{2n+3 – (2n+2)}{2n+2}\right) = \lim_{n \to +\infty} n\left(\frac{1}{2n+2}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n+2} = \frac{1}{2}[/math]

Commento: Poiché [math]R = \frac{1}{2} < 1[/math], la serie diverge per il criterio di Raabe.

 

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