Equazioni Parametriche: Esercizi Svolti in Fisica, Circuiti Elettrici e Ottimizzazione Aziendale

Certe equazioni non si risolvono: si interpretano.

Quando il parametro cambia, cambia tutto: il numero di soluzioni, il loro significato, persino il contesto fisico o aziendale in cui operano.

In questo set troverai tre esercizi che non chiedono solo di “fare i conti”, ma di capire cosa succede quando un proiettile incontra l’attrito, quando un circuito si comporta in modo imprevedibile, o quando un profitto aziendale dipende da un coefficiente nascosto.

Non serve essere esperti di fisica o economia: serve solo saper leggere tra le righe di un’equazione.

E quando lo fai, ti accorgi che la matematica non è un insieme di regole, è un linguaggio che descrive il mondo.

E se pensi ancora che la matematica sia solo applicare formule, ti invito a metterti alla prova con la 🏆 Sfida Finale in fondo all’articolo: un problema di ingegneria chimica dove un errore di calcolo sul parametro non rovina solo il foglio, ma fa saltare in aria il reattore.

Esercizio 1: Il Moto Parabolico (Parametrico di Secondo Grado)

Testo: In fisica, la traiettoria di un proiettile è spesso descritta da un’equazione di secondo grado. Supponiamo che la quota [math]y[/math] (in metri) sia legata al tempo [math]t[/math] e a un parametro [math]a[/math] (che tiene conto dell’attrito) dall’equazione parametrica in [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(a – 1)t^2 + 2a t + 1 = 0
\end{aligned}[/math]

Determina per quali valori del parametro reale [math]a[/math] l’equazione:

• a) È di secondo grado.
• b) Ammette due soluzioni reali e distinte.

Svolgimento:

Punto a): Condizione di secondo grado.

Un’equazione è di secondo grado se il coefficiente del termine di grado massimo ([math]t^2[/math]) è diverso da zero.

[math]a – 1 \neq 0 \rightarrow a \neq 1[/math]

Per [math]a = 1[/math], l’equazione degenera in [math]2 \cdot 1 \cdot t + 1 = 0 \rightarrow 2t + 1 = 0[/math], che è di primo grado (soluzione [math]t = -1/2[/math]).

Punto b): Condizione per due soluzioni reali e distinte.

Per [math]a \neq 1[/math], siamo in presenza di un’equazione di secondo grado. Per avere due soluzioni reali e distinte, il discriminante (delta) deve essere maggiore di zero.

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta &= (2a)^2 – 4 \cdot (a-1) \cdot 1 \\
\Delta &= 4a^2 – 4a + 4 \\
\Delta &= 4(a^2 – a + 1)
\end{aligned}[/math]

Studio del segno di [math]\Delta[/math]:

Studiamo il segno del fattore [math](a^2 – a + 1)[/math]. Calcoliamo il suo discriminante (delta dell’espressione in [math]a[/math]):

[math]\Delta_a = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3[/math]

Poiché il coefficiente del termine di secondo grado ([math]a^2[/math]) è positivo e [math]\Delta_a < 0[/math], la parabola [math]a^2 – a + 1[/math] è sempre positiva per ogni [math]a[/math] reale.

Di conseguenza, [math]\Delta = 4 \cdot (\text{valore sempre positivo})[/math] è sempre positivo.

Sintesi dei risultati:

• Per [math]a = 1[/math]: l’equazione è di primo grado (una sola soluzione, non due).
• Per [math]a \neq 1[/math]: il discriminante [math]\Delta > 0[/math] è sempre vero. Quindi, per ogni [math]a \neq 1[/math], l’equazione ammette sempre due soluzioni reali e distinte.

Esercizio 2: Il Circuito Elettrico (Fratto e Parametrico)

Testo: In un circuito, l’intensità di corrente [math]x[/math] (in ampere) è regolata da una resistenza variabile [math]k[/math] (con [math]k[/math] reale). La relazione è data dall’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{x – k}{x + 2} – 1 = \frac{1}{x+2}
\end{aligned}[/math]

Discuti al variare del parametro reale [math]k[/math] l’esistenza e il valore delle soluzioni.

Svolgimento:

Condizioni di Esistenza (C.E.): L’equazione è fratta e contiene il parametro. Le C.E. riguardano l’incognita [math]x[/math]. Il denominatore è [math]x+2[/math]. Dobbiamo imporre:

[math]x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq -2[/math]

Questa condizione vale per qualsiasi valore di [math]k[/math].

Riduzione a forma intera: Portiamo tutti i termini al primo membro e scriviamo l’equazione come un’unica frazione. Il minimo comune denominatore è [math](x+2)[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{x – k}{x+2} – 1 – \frac{1}{x+2} &= 0 \\
\frac{x – k – (x+2) \cdot 1 – 1}{x+2} &= 0 \\
\frac{x – k – x – 2 – 1}{x+2} &= 0 \\
\frac{-k – 3}{x+2} &= 0
\end{aligned}[/math]

Equazione equivalente: Una frazione è zero se il suo numeratore è zero (e il denominatore, come già sappiamo dalle C.E., è diverso da zero). Quindi dobbiamo risolvere:

[math]-k – 3 = 0[/math]

Questa non è più un’equazione in [math]x[/math], ma una condizione sul parametro [math]k[/math] affinché esista una soluzione. L’equazione si riduce a:

[math]-k = 3 \rightarrow k = -3[/math]

Discussione e confronto con le C.E.:

• Se [math]k = -3[/math]: Il numeratore è zero. L’equazione diventa [math]\frac{0}{x+2} = 0[/math]. Questo è vero per qualsiasi [math]x[/math] che non annulli il denominatore. Quindi, per [math]k = -3[/math], l’equazione è soddisfatta per tutti gli [math]x[/math] reali tranne [math]x = -2[/math]. L’equazione è indeterminata (ha infinite soluzioni: [math]\forall x \in \mathbb{R}, x \neq -2[/math]).
• Se [math]k \neq -3[/math]: Il numeratore [math](-k – 3)[/math] è una costante diversa da zero. L’equazione [math]\frac{\text{costante non nulla}}{x+2} = 0[/math] non ha soluzioni reali, perché una frazione può essere zero solo se il numeratore è zero. Non esiste alcun valore di [math]x[/math] che possa rendere zero una frazione con numeratore non nullo. L’equazione è quindi impossibile.

Tabella riassuntiva:

💡 Osservazione: Questo esercizio mostra un caso interessante: la soluzione non dipende da [math]x[/math] ma dal parametro. Il parametro determina se l’equazione ha senso e quante soluzioni ha.

Esercizio 3: Il Problema di Ottimizzazione (Difficile – Condizioni sulle Radici)

Testo: In un’azienda, il profitto [math]P[/math] (in migliaia di euro) in funzione delle unità prodotte [math]x[/math] (in centinaia) è dato da [math]P(x) = -x^2 + (2k+1)x – (k^2 + k – 2)[/math], dove [math]k[/math] è un parametro reale che dipende dall’efficienza dei macchinari.

Si vuole che il profitto sia nullo per due precisi livelli di produzione, [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math], e che questi livelli siano tali che [math]x_1 \cdot x_2 = 2[/math]. Determina il valore del parametro [math]k[/math] che soddisfa questa condizione e verifica che le soluzioni siano accettabili.

Svolgimento:

Impostazione: “Profitto nullo” significa [math]P(x) = 0[/math]. Quindi abbiamo l’equazione di secondo grado (parametrica):

[math]-x^2 + (2k+1)x – (k^2 + k – 2) = 0[/math]

Per comodità, cambiamo segno a tutti i termini (moltiplicando per -1):

[math]x^2 – (2k+1)x + (k^2 + k – 2) = 0[/math]

Condizioni di esistenza delle radici (reali): Per parlare di due livelli di produzione [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math], questi devono essere numeri reali. Quindi, il discriminante dell’equazione deve essere maggiore o uguale a zero.

Calcoliamo [math]\Delta[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta &= [-(2k+1)]^2 – 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + k – 2) \\
\Delta &= (4k^2 + 4k + 1) – 4k^2 – 4k + 8 \\
\Delta &= (4k^2 – 4k^2) + (4k – 4k) + (1 + 8) \\
\Delta &= 9
\end{aligned}[/math]

Il discriminante è 9, una costante positiva. Ciò significa che, per qualsiasi valore di [math]k[/math] reale, l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte. La prima condizione è sempre verificata.

Utilizzo della relazione tra radici e coefficienti (Formule di Viète): Il problema ci fornisce una condizione sul prodotto delle radici: [math]x_1 \cdot x_2 = 2[/math]. Ricordando che per un’equazione [math]ax^2 + bx + c = 0[/math], il prodotto delle radici è [math]\frac{c}{a}[/math], nella nostra equazione [math]x^2 – (2k+1)x + (k^2 + k – 2) = 0[/math] abbiamo:

• [math]a = 1[/math]
• [math]b = -(2k+1)[/math]
• [math]c = k^2 + k – 2[/math]

Quindi:

[math]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = k^2 + k – 2[/math]

Impostazione e risoluzione dell’equazione in [math]k[/math]: Uguagliamo il prodotto trovato al valore richiesto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
k^2 + k – 2 &= 2 \\
k^2 + k – 4 &= 0
\end{aligned}[/math]

Risolviamo questa equazione di secondo grado in [math]k[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
k &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 – 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} \\
k &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} \\
k &= \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \end{aligned}[/math]

Verifica di accettabilità: I due valori trovati, [math]k_1 = \frac{-1 – \sqrt{17}}{2}[/math] e [math]k_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}[/math], sono entrambi numeri reali. Non ci sono altre condizioni da verificare (come C.E. su [math]x[/math], perché l’equazione è intera). Il discriminante dell’equazione in [math]x[/math] è sempre positivo, quindi non introduce ulteriori restrizioni.

Conclusione: Entrambi i valori di [math]k[/math] soddisfano la condizione richiesta.

Soluzione: [math]k = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}[/math]

💡 Osservazione strategica: Le formule di Viète (somma e prodotto delle radici) sono uno strumento potentissimo per risolvere problemi parametrici senza dover calcolare esplicitamente le radici, specialmente quando il discriminante è semplice come in questo caso.

Risposte ai Mini Quiz

QUIZ (a risposta singola)

Q&A (pronte per lo studio)

🏆 Sfida Finale: L’equazione che decide se il reattore esplode (Livello Pro)

La Tua Missione:

1. Determina per quali valori di [math]k[/math] esistono soluzioni reali.
2. Trova il valore di [math]k[/math] tale che la distanza tra le radici sia [math]|x_1 – x_2| = 3[/math].
3. Discussione Critica: Verifica se, per quel valore di [math]k[/math], le temperature di equilibrio sono positive (fisicamente accettabili).

Svolgimento

1. Condizione di Esistenza (Il Discriminante)

Perché il sistema non collassi, il [math]\Delta[/math] deve essere [math]\ge 0[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta &= [-(k+4)]^2 – 4(4k + 1) \\
\Delta &= k^2 + 8k + 16 – 16k – 4 \\
\Delta &= k^2 – 8k + 12
\end{aligned}[/math]

Poniamo [math]k^2 – 8k + 12 \ge 0[/math]. Le radici dell’associata sono [math]k=2[/math] e [math]k=6[/math].

Risultato: Il sistema è stabile per [math]k \le 2[/math] oppure [math]k \ge 6[/math].

2. Il Trucco della Distanza (Oltre Viète)

Sappiamo che [math]x_1 + x_2 = k+4[/math] e [math]x_1 \cdot x_2 = 4k+1[/math]. Ma come troviamo la differenza? Usiamo l’identità algebrica:

[math](x_1 – x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 – 4x_1x_2[/math]

Eleviamo al quadrato la richiesta del problema [math]|x_1 – x_2| = 3 \rightarrow (x_1 – x_2)^2 = 9[/math]. Sostituiamo i valori di Viète:

[math]9 = (k+4)^2 – 4(4k+1)[/math]

Noti qualcosa? Il membro di destra è esattamente il nostro [math]\Delta[/math]! Infatti, per ogni equazione di secondo grado vale la relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}
\end{aligned}[/math]

Quindi dobbiamo risolvere: [math]\Delta = 9[/math] (dato che [math]a=1[/math]).

[math]\displaystyle \begin{aligned}
k^2 – 8k + 12 = 9 \rightarrow k^2 – 8k + 3 = 0
\end{aligned}[/math]

Risolvendo con la formula ridotta:

[math]k = 4 \pm \sqrt{16 – 3} = 4 \pm \sqrt{13}[/math]

3. Discussione e Verifica di Realtà

I valori trovati sono [math]k \approx 4 + 3.6 = 7.6[/math] e [math]k \approx 4 – 3.6 = 0.4[/math]. Entrambi rientrano negli intervalli di esistenza trovati al punto 1 ([math]k \ge 6[/math] e [math]k \le 2[/math]).

Tuttavia, dobbiamo assicurarci che le temperature [math]x[/math] siano positive:

• Se [math]k = 4 + \sqrt{13}[/math], la somma [math]x_1+x_2 = k+4[/math] è positiva e il prodotto [math]x_1x_2 = 4k+1[/math] è positivo. Entrambe le temperature sono positive.
• Se [math]k = 4 – \sqrt{13}[/math], la somma [math]x_1+x_2 \approx 4.4[/math] è positiva e il prodotto [math]x_1x_2 \approx 2.6[/math] è positivo. Anche qui, tutto ok.

🧐 Perché questo esercizio è interessante?

• L’identità nascosta: Costringe a manipolare le formule di Viète in modo non banale. La relazione [math](x_1 – x_2)^2 = S^2 – 4P[/math] è uno degli strumenti più potenti nelle gare di matematica.
• Il significato del [math]\Delta[/math]: Qui il discriminante non serve solo a dire “esistono le soluzioni”, ma ne determina quantitativamente la distanza.
• Il filtro fisico: Non basta che la matematica funzioni, deve essere coerente con il dominio reale del problema.

Tabella Finale di Sintesi: Strategie di Risoluzione

Questa tabella riassume i concetti chiave affrontati. Usala come guida rapida per identificare la strategia corretta in base al tipo di problema.