Equazioni reciproche: test di autovalutazione con 10 quesiti svolti

Le equazioni reciproche hanno una caratteristica che permette di riconoscerle prima ancora di iniziare i calcoli: i coefficienti del polinomio seguono una precisa simmetria.

Questa proprietà non è soltanto una curiosità algebrica, perché consente di ridurre il grado dell’equazione, individuare alcune radici senza risolvere tutto il polinomio e scegliere sostituzioni che semplificano i passaggi.

Il problema, quando si affrontano equazioni di terzo, quarto o sesto grado, consiste nel capire quale proprietà utilizzare e quali condizioni controllare dopo aver trasformato l’equazione.

Una sostituzione corretta, infatti, non garantisce automaticamente che tutte le soluzioni dell’equazione trasformata corrispondano a soluzioni reali di quella iniziale.

Questo test propone dieci quesiti progressivi, con difficoltà crescente, per verificare la capacità di riconoscere le due specie di equazioni reciproche, risolvere i casi più comuni e affrontare situazioni in cui compaiono parametri o radici multiple.

Le soluzioni commentate si trovano nella seconda parte dell’articolo, così puoi provare a rispondere senza leggere subito il procedimento.

Prima di cominciare: le proprietà da ricordare

Consideriamo un polinomio di grado effettivo [math]n[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,
\qquad a_n\neq 0.
\end{aligned}[/math]

Un’equazione reciproca è caratterizzata da una relazione precisa tra i coefficienti equidistanti dagli estremi. Le due principali categorie si distinguono in base al tipo di simmetria presente.

Equazioni reciproche di prima specie

Un’equazione è reciproca di prima specie quando i coefficienti equidistanti dagli estremi sono uguali:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a_k=a_{n-k}.
\end{aligned}[/math]

Per esempio, i coefficienti del polinomio

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2x^4-5x^3+6x^2-5x+2
\end{aligned}[/math]

sono [math]2,-5,6,-5,2[/math], una sequenza che rimane invariata se viene letta al contrario.

Quando il grado è pari, la sostituzione più utile è generalmente

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=x+\frac1x.
\end{aligned}[/math]

La sostituzione è possibile dopo aver escluso [math]x=0[/math], che non può essere radice di un polinomio reciproco con termine noto non nullo. Le potenze si possono esprimere mediante [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+\frac1{x^2}=t^2-2,
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3+\frac1{x^3}=t^3-3t.
\end{aligned}[/math]

In questo modo, un’equazione reciproca di quarto grado si riduce a un’equazione al massimo di secondo grado in [math]t[/math], mentre una di sesto grado si riduce a un’equazione al massimo di terzo grado.

Occorre però controllare quali valori di [math]t[/math] siano compatibili con soluzioni reali. Se [math]x[/math] è reale e diverso da zero, infatti,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{t\leq -2\quad\text{oppure}\quad t\geq 2.}
\end{aligned}[/math]

La condizione deriva dal fatto che [math]x[/math] e [math]1/x[/math] hanno lo stesso segno e che la loro somma non può essere compresa tra [math]-2[/math] e [math]2[/math].

Se il grado è dispari, invece, un’equazione reciproca di prima specie ammette sempre [math]x=-1[/math] come radice. Si può quindi applicare la regola di Ruffini per dividere il polinomio per [math]x+1[/math] e ottenere un’equazione di grado inferiore.

Equazioni reciproche di seconda specie

Un’equazione è reciproca di seconda specie quando i coefficienti equidistanti dagli estremi sono opposti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a_k=-a_{n-k}.
\end{aligned}[/math]

Per esempio, il polinomio

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-3x^3+0x^2+3x-1
\end{aligned}[/math]

ha coefficienti [math]1,-3,0,3,-1[/math], che soddisfano la relazione richiesta.

Se il grado è pari, il coefficiente centrale deve essere necessariamente nullo, perché deve essere uguale al proprio opposto.

Le radici note dipendono dalla parità del grado:

• Se il grado è pari, [math]x=1[/math] e [math]x=-1[/math] sono sempre radici, perciò il polinomio è divisibile per [math]x^2-1[/math].
• Se il grado è dispari, [math]x=1[/math] è sempre radice e si può iniziare dividendo per [math]x-1[/math]. Nel caso di un polinomio di grado dispari e di seconda specie, il quoziente è un polinomio reciproco di prima specie di grado pari.

Queste proprietà permettono di ridurre i calcoli prima di ricorrere a formule più impegnative.

Una proprietà comune alle due specie

Per un’equazione reciproca di prima specie vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(x)=x^nP\left(\frac1x\right),
\end{aligned}[/math]

mentre per una di seconda specie vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(x)=-x^nP\left(\frac1x\right).
\end{aligned}[/math]

Di conseguenza, se [math]\alpha\neq0[/math] è una radice, anche [math]1/\alpha[/math] è una radice. Le radici reali e complesse non nulle si presentano quindi in coppie reciproche, salvo il caso particolare in cui la radice coincida con il proprio reciproco, come accade per [math]1[/math] e [math]-1[/math].

Il test di autovalutazione

Per ogni quesito scegli una sola risposta, anche quando l’esercizio richiede di determinare più soluzioni. Le domande di riflessione servono a verificare se hai compreso la proprietà utilizzata, non soltanto se hai individuato il risultato corretto.

Livello iniziale — Riconoscere e risolvere

Q1 — Riconoscere una reciproca di prima specie

Quale delle seguenti equazioni è reciproca di prima specie?

A) [math]x^4-3x^3+2x^2+3x+1=0[/math]
B) [math]2x^3-5x^2-5x+2=0[/math]
C) [math]x^3+2x^2-2x-1=0[/math]
D) [math]x^4+x^3+x^2+x+2=0[/math]

Riflessione:

quale relazione tra i coefficienti hai utilizzato per distinguere la prima specie dalla seconda?

---

Q2 — Una quadratica reciproca

Risolvi l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3x^2-10x+3=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]x=-3,\quad x=-\frac13[/math]
B) [math]x=1,\quad x=3[/math]
C) [math]x=\frac{5\pm\sqrt7}{3}[/math]
D) [math]x=3,\quad x=\frac13[/math]

Riflessione: perché il prodotto delle radici deve essere uguale a [math]1[/math]?

---

Q3 — Una cubica reciproca di prima specie

Risolvi l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-4x^2-4x+1=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]x=1,\quad x=2\pm\sqrt3[/math]
B) [math]x=-1,\quad x=2\pm\sqrt3[/math]
C) [math]x=-1,\quad x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2[/math]
D) [math]x=1,\quad x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2[/math]

Riflessione: se la stessa equazione fosse reciproca di seconda specie, quale radice nota potresti cercare subito?

Livello intermedio — Sostituzioni e fattorizzazioni

Q4 — Una reciproca di quarto grado

Trova tutte le soluzioni reali dell’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]x=2\pm\sqrt3[/math]
B) [math]x=\frac{1\pm\sqrt3}{2}[/math]
C) [math]x=1,\quad x=4[/math]
D) [math]x=\pm1,\quad x=2\pm\sqrt3[/math]

Riflessione: perché il valore [math]t=1[/math], ottenuto con la sostituzione [math]t=x+1/x[/math], non produce soluzioni reali?

---

Q5 — Quarto grado con due coppie reciproche

Risolvi l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]\left\{-\frac13,-3,-\frac12,-2\right\}[/math]
B) [math]\left\{\frac13,3,\frac12,2\right\}[/math]
C) [math]\left\{\frac13,3,\frac16,6\right\}[/math]
D) [math]\left\{\frac12,2,\frac52,\frac{10}{3}\right\}[/math]

Riflessione: quale passaggio algebrico permette di individuare le coppie reciproche senza risolvere direttamente il polinomio di quarto grado?

---

Q6 — Una reciproca di seconda specie di grado pari

Risolvi l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-3x^3+3x-1=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]x=1,\quad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}[/math]
B) [math]x=-1,\quad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}[/math]
C) [math]x=1,-1,\quad x=2\pm\sqrt3[/math]
D) [math]x=1,-1,\quad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}[/math]

Riflessione: perché in una reciproca di seconda specie di grado pari sia [math]1[/math] sia [math]-1[/math] sono radici?

Livello avanzato — Parametri, radici multiple e dominio

Q7 — Determinare un parametro

Determina il valore di [math]k[/math] affinché l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-2x^2+kx-1=0
\end{aligned}[/math]

sia reciproca di seconda specie e individua le sue soluzioni reali.

A) [math]k=-2[/math], con unica radice reale [math]x=-1[/math]
B) [math]k=2[/math], con unica radice reale [math]x=1[/math]
C) [math]k=1[/math], con radici reali [math]x=1,-1[/math]
D) [math]k=2[/math], con radici reali [math]x=1,\ x=\pm i[/math]

Riflessione: perché la seconda specie garantisce una radice reale senza garantire che tutte le radici siano reali?

---

Q8 — Un’equazione reciproca di sesto grado

Trova tutte le soluzioni reali dell’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+1=0.
\end{aligned}[/math]

A) [math]x=1,\quad x=-1[/math]
B) Nessuna soluzione reale
C) [math]x=1[/math] doppia
D) [math]x=1,\quad x=\pm i[/math]

Riflessione: perché il fatto che [math]t=2[/math] sia una radice semplice dell’equazione trasformata non implica che anche [math]x=1[/math] sia una radice semplice?

---

Q9 — Una reciproca senza soluzioni reali

Quante soluzioni reali ha l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4+x^3+x^2+x+1=0?
\end{aligned}[/math]

A) Due
B) Quattro
C) Una
D) Nessuna

Riflessione: che cosa devi concludere quando una radice dell’equazione in [math]t[/math] non appartiene all’insieme [math](-\infty,-2]\cup[2,+\infty)[/math]?

---

Sfida finale — Parametro e numero di soluzioni reali

Q10 — Quando ci sono quattro soluzioni reali distinte?

Per quali valori reali di [math]m[/math] l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-(m+1)x^3+(2m-2)x^2-(m+1)x+1=0
\end{aligned}[/math]

ha esattamente quattro soluzioni reali distinte?

A) [math]m>-\frac12[/math]
B) [math]m=-\frac12[/math]
C) [math]m<-\frac12[/math]
D) Per ogni [math]m\in\mathbb R[/math]

Riflessione: perché calcolare il segno della funzione trasformata nei punti [math]t=-2[/math] e [math]t=2[/math] permette di stabilire se entrambe le sue radici producono soluzioni reali?

---

Soluzioni commentate

Se hai completato il test, confronta ora le tue risposte con i procedimenti seguenti. L’obiettivo non è soltanto individuare gli eventuali errori, ma riconoscere quale proprietà avresti dovuto utilizzare e in quale passaggio il ragionamento avrebbe potuto prendere una direzione diversa.

Q1 — Risposta corretta: B

Nell’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2x^3-5x^2-5x+2=0
\end{aligned}[/math]

i coefficienti, letti in ordine decrescente, sono [math]2,-5,-5,2[/math]. I coefficienti agli estremi sono uguali e lo stesso accade per quelli interni, quindi l’equazione è reciproca di prima specie.

Nell’opzione C, invece, i coefficienti [math]1,2,-2,-1[/math] sono opposti a coppie, perciò si tratta di una reciproca di seconda specie.

Le opzioni A e D non soddisfano nessuna delle due condizioni per tutte le coppie di coefficienti.

La proprietà da ricordare: la classificazione richiede di controllare ogni coppia di coefficienti equidistanti dagli estremi, non soltanto il primo e l’ultimo.

Q2 — Risposta corretta: D

Partiamo dall’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3x^2-10x+3=0.
\end{aligned}[/math]

Applicando la formula risolutiva otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}6
=\frac{10\pm8}{6}.
\end{aligned}[/math]

Le due soluzioni sono quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x_1=3,\qquad x_2=\frac13.}
\end{aligned}[/math]

Il loro prodotto è uguale a [math]1[/math], come previsto anche dalle relazioni tra coefficienti e radici: il prodotto delle radici di una quadratica [math]ax^2+bx+a=0[/math] è [math]a/a=1[/math].

Perché una radice è il reciproco dell’altra?

Se una radice è [math]\alpha[/math], la simmetria dei coefficienti garantisce che anche [math]1/\alpha[/math] sia una radice, purché [math]\alpha\neq0[/math].

Q3 — Risposta corretta: C

L’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-4x^2-4x+1=0
\end{aligned}[/math]

è reciproca di prima specie e ha grado dispari. Possiamo quindi verificare subito che [math]x=-1[/math] è una radice.

Dividendo il polinomio per [math]x+1[/math] con la regola di Ruffini si ottiene

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-4x^2-4x+1=(x+1)(x^2-5x+1).
\end{aligned}[/math]

Le altre due soluzioni derivano dall’equazione quadratica

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-5x+1=0,
\end{aligned}[/math]

da cui

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{5\pm\sqrt{25-4}}2
=\frac{5\pm\sqrt{21}}2.
\end{aligned}[/math]

Le tre soluzioni reali sono pertanto

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x=-1,\qquad x=\frac{5\pm\sqrt{21}}2.}
\end{aligned}[/math]

Se fosse di seconda specie: per un’equazione reciproca di seconda specie di grado dispari, la radice garantita sarebbe [math]x=1[/math], quindi la prima verifica da effettuare sarebbe [math]P(1)=0[/math].

Q4 — Risposta corretta: A

L’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0
\end{aligned}[/math]

è reciproca di prima specie. Poiché il termine noto è diverso da zero, [math]x=0[/math] non è una soluzione e possiamo dividere per [math]x^2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+\frac1{x^2}
-5\left(x+\frac1x\right)+6=0.
\end{aligned}[/math]

Ponendo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=x+\frac1x,\qquad
x^2+\frac1{x^2}=t^2-2,
\end{aligned}[/math]

otteniamo l’equazione di secondo grado

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2-5t+4=0,
\end{aligned}[/math]

che si scompone in

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(t-1)(t-4)=0.
\end{aligned}[/math]

Le possibili soluzioni sono [math]t=1[/math] e [math]t=4[/math], ma dobbiamo verificare quali siano compatibili con [math]x[/math] reale.

Se [math]t=1[/math], abbiamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=1
\quad\Longrightarrow\quad
x^2-x+1=0.
\end{aligned}[/math]

Il discriminante è [math]\Delta=1-4=-3[/math], quindi non esistono soluzioni reali.

Se [math]t=4[/math], invece,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=4
\quad\Longrightarrow\quad
x^2-4x+1=0,
\end{aligned}[/math]

da cui

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x=2\pm\sqrt3.}
\end{aligned}[/math]

Perché [math]t=1[/math] non è accettabile? Per ogni [math]x[/math] reale diverso da zero, la somma [math]x+1/x[/math] è sempre minore o uguale a [math]-2[/math], oppure maggiore o uguale a [math]2[/math]. Il valore [math]1[/math] è quindi fuori dal dominio effettivo della sostituzione.

Q5 — Risposta corretta: B

L’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0
\end{aligned}[/math]

è reciproca di prima specie. Dividendo per [math]x^2[/math] e introducendo [math]t=x+1/x[/math], si ottiene

[math]\displaystyle \begin{aligned}
6\left(t^2-2\right)-35t+62=0,
\end{aligned}[/math]

ossia

[math]\displaystyle \begin{aligned}
6t^2-35t+50=0.
\end{aligned}[/math]

Il discriminante è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=(-35)^2-4\cdot6\cdot50=25.
\end{aligned}[/math]

Le due radici sono

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=\frac{35\pm5}{12},
\end{aligned}[/math]

quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=\frac{10}{3}
\qquad\text{oppure}\qquad
t=\frac52.
\end{aligned}[/math]

Per [math]t=10/3[/math], risolviamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=\frac{10}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
3x^2-10x+3=0,
\end{aligned}[/math]

ottenendo [math]x=3[/math] e [math]x=1/3[/math].

Per [math]t=5/2[/math], invece,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=\frac52
\quad\Longrightarrow\quad
2x^2-5x+2=0,
\end{aligned}[/math]

da cui [math]x=2[/math] e [math]x=1/2[/math].

Le soluzioni sono

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{\left\{\frac13,3,\frac12,2\right\}.}
\end{aligned}[/math]

Perché compaiono coppie reciproche?

La sostituzione trasforma il problema in due equazioni quadratiche, ciascuna delle quali ha radici con prodotto uguale a [math]1[/math]. Si ritrovano quindi le coppie [math]3,1/3[/math] e [math]2,1/2[/math].

Q6 — Risposta corretta: D

I coefficienti dell’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-3x^3+3x-1=0
\end{aligned}[/math]

sono [math]1,-3,0,3,-1[/math], quindi i coefficienti equidistanti dagli estremi sono opposti. L’equazione è reciproca di seconda specie e ha grado pari.

Possiamo dunque raccogliere il fattore [math]x^2-1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-3x^3+3x-1
=(x^2-1)(x^2-3x+1).
\end{aligned}[/math]

Il primo fattore dà

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-1=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=\pm1.
\end{aligned}[/math]

Il secondo fattore dà

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-3x+1=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.
\end{aligned}[/math]

Le quattro soluzioni reali sono

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x=-1,\quad x=1,\quad
x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad
x=\frac{3+\sqrt5}{2}.}
\end{aligned}[/math]

Perché [math]1[/math] e [math]-1[/math] sono sempre radici?

Nella seconda specie, le coppie di coefficienti si annullano nella somma [math]P(1)[/math]. Quando il grado è pari, si annullano anche nella somma alternata che determina [math]P(-1)[/math]. Di conseguenza, entrambi i valori annullano il polinomio.

Q7 — Risposta corretta: B

L’equazione è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-2x^2+kx-1=0.
\end{aligned}[/math]

Per essere reciproca di seconda specie, i coefficienti equidistanti dagli estremi devono essere opposti. In questo caso la condizione è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
k=-(-2)=2.
\end{aligned}[/math]

L’equazione diventa quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-2x^2+2x-1=0.
\end{aligned}[/math]

Essendo reciproca di seconda specie e di grado dispari, ammette [math]x=1[/math] come radice. Applicando Ruffini otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-2x^2+2x-1
=(x-1)(x^2-x+1).
\end{aligned}[/math]

Il discriminante del secondo fattore è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=1-4=-3<0,
\end{aligned}[/math]

perciò il trinomio non ha radici reali.

L’unica soluzione reale è dunque

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x=1.}
\end{aligned}[/math]

Perché la seconda specie non garantisce altre radici reali?

La simmetria dei coefficienti assicura la presenza di alcune radici note, ma non determina la natura di tutte le altre radici. In questo caso, il fattore quadratico ha due radici complesse non reali.

Q8 — Risposta corretta: C

L’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+1=0
\end{aligned}[/math]

è reciproca di prima specie. Dividendo per [math]x^3[/math] e ponendo [math]t=x+1/x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left(t^3-3t\right)
-2\left(t^2-2\right)+3t-4=0.
\end{aligned}[/math]

Semplificando,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^3-2t^2=0,
\end{aligned}[/math]

quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2(t-2)=0.
\end{aligned}[/math]

Le possibili radici trasformate sono [math]t=0[/math] e [math]t=2[/math].

Se [math]t=0[/math], abbiamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=0
\quad\Longrightarrow\quad
x^2+1=0,
\end{aligned}[/math]

che non produce soluzioni reali.

Se [math]t=2[/math], invece,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+\frac1x=2
\quad\Longrightarrow\quad
x^2-2x+1=0,
\end{aligned}[/math]

ossia

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x-1)^2=0.
\end{aligned}[/math]

L’unica soluzione reale è quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{x=1,\quad\text{con molteplicità }2.}
\end{aligned}[/math]

Perché la radice è doppia?

La relazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t-2=x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}
\end{aligned}[/math]

mostra che il fattore [math]t-2[/math], quando viene riportato alla variabile [math]x[/math], contiene il fattore [math](x-1)^2[/math]. La radice semplice [math]t=2[/math] dell’equazione trasformata genera pertanto una radice doppia in [math]x=1[/math].

Q9 — Risposta corretta: D

Consideriamo l’equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4+x^3+x^2+x+1=0.
\end{aligned}[/math]

È reciproca di prima specie. Dividendo per [math]x^2[/math] e ponendo [math]t=x+1/x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2-2+t+1=0,
\end{aligned}[/math]

quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2+t-1=0.
\end{aligned}[/math]

Le due radici dell’equazione trasformata sono

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.
\end{aligned}[/math]

Numericamente, i valori sono circa [math]0{,}618[/math] e [math]-1{,}618[/math], entrambi compresi tra [math]-2[/math] e [math]2[/math].

Nessuno dei due appartiene al dominio ammissibile della sostituzione per [math]x[/math] reale, perciò l’equazione non ha soluzioni reali.

La risposta è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{0\text{ soluzioni reali}.}
\end{aligned}[/math]

Che cosa significa trovare una radice trasformata non ammissibile?

Significa che quel valore di [math]t[/math] non può essere scritto come [math]x+1/x[/math] con [math]x[/math] reale diverso da zero. Non è quindi possibile ricavare soluzioni reali dall’equazione trasformata, anche se le sue radici sono perfettamente valide nel campo dei numeri complessi.

Q10 — Risposta corretta: C

L’equazione è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^4-(m+1)x^3+(2m-2)x^2-(m+1)x+1=0.
\end{aligned}[/math]

È reciproca di prima specie e di grado pari. Dividendo per [math]x^2[/math] e introducendo [math]t=x+1/x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2-(m+1)t+2m-4=0.
\end{aligned}[/math]

Indichiamo con

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t)=t^2-(m+1)t+2m-4
\end{aligned}[/math]

il polinomio trasformato. Per ottenere quattro soluzioni reali distinte in [math]x[/math], occorre che entrambe le radici in [math]t[/math] siano esterne all’intervallo [math](-2,2)[/math], una minore di [math]-2[/math] e l’altra maggiore di [math]2[/math]. Ciascuna produrrà infatti due soluzioni reali distinte.

Calcoliamo il valore della funzione nei due estremi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(2)=4-2(m+1)+2m-4=-2<0,
\end{aligned}[/math]

e

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-2)=4+2(m+1)+2m-4=4m+2.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]f(t)[/math] è una parabola con concavità verso l’alto, il fatto che [math]f(2)<0[/math] garantisce che [math]2[/math] si trovi tra le due radici: una radice è sempre maggiore di [math]2[/math], mentre l’altra è minore di [math]2[/math].

Perché anche la seconda radice sia minore di [math]-2[/math], occorre che

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-2)<0.
\end{aligned}[/math]

Sostituendo il valore calcolato,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
4m+2<0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{m<-\frac12.}
\end{aligned}[/math]

La disuguaglianza deve essere stretta, perché nel caso [math]m=-1/2[/math] si ottiene [math]t=-2[/math], che corrisponde a [math]x=-1[/math] con molteplicità due. In quel caso le soluzioni reali distinte sono soltanto tre, non quattro.

Perché è utile studiare [math]f(-2)[/math] e [math]f(2)[/math]?

I due valori permettono di stabilire la posizione delle radici dell’equazione trasformata rispetto al dominio ammissibile. In questo modo si distingue il caso in cui entrambe le radici generano due soluzioni reali dal caso in cui soltanto una delle due è accettabile.

Valuta il tuo risultato

Assegna un punto per ogni risposta corretta, per un massimo di dieci punti. Considera corretta una risposta soltanto se hai individuato tutte le soluzioni richieste dal quesito, compreso il valore del parametro quando necessario.

Punteggio	Come interpretarlo
0–3 punti	È utile riprendere la definizione delle due specie e gli esercizi introduttivi, concentrandosi sul riconoscimento dei coefficienti simmetrici.
4–6 punti	Le proprietà di base sono presenti, ma conviene esercitarsi sulla sostituzione [math]t=x+1/x[/math], sul controllo del dominio e sulle fattorizzazioni.
7–8 punti	La preparazione è buona; gli errori rimasti potrebbero riguardare i parametri, la molteplicità delle radici o le condizioni per avere soluzioni reali distinte.
9–10 punti	Hai mostrato una buona capacità di scegliere il metodo risolutivo e interpretare le condizioni algebriche, comprese quelle meno immediate.

Questa valutazione è indicativa e serve soprattutto a capire quali argomenti richiedono un ulteriore ripasso, non a stabilire in modo assoluto il livello di preparazione.

Quali argomenti ripassare in base agli errori

Se hai sbagliato Q1, Q2 o Q3, torna sulla definizione delle due specie e sulle proprietà delle radici reciproche, perché sono le basi che permettono di scegliere il procedimento prima di iniziare i calcoli.

Se gli errori riguardano Q4, Q5 o Q6, concentrati sulle sostituzioni e sulle fattorizzazioni, prestando attenzione al fatto che non tutti i valori di [math]t[/math] producono soluzioni reali e che le equazioni di seconda specie di grado pari hanno due radici note.

Se hai incontrato difficoltà con Q7, Q8 o Q9, ripassa il rapporto tra simmetria dei coefficienti, radici reali e complesse e molteplicità delle soluzioni, perché questi esercizi richiedono di distinguere ciò che è garantito dalla struttura del polinomio da ciò che deve essere verificato.

Se hai sbagliato Q10, torna allo studio del segno di una funzione quadratica e al significato dell’intervallo ammissibile per [math]t[/math]. Il punto decisivo consiste nel collegare la posizione delle radici trasformate al numero di soluzioni reali distinte dell’equazione originaria.

Per continuare lo studio

Le equazioni reciproche sono un buon esempio di come una proprietà strutturale possa rendere più semplice un problema algebrico apparentemente complesso. La simmetria dei coefficienti permette di ridurre il grado, ma la scelta del metodo deve essere accompagnata dal controllo delle condizioni che rendono valide le soluzioni ottenute.

Per approfondire gli argomenti incontrati nel test, puoi proseguire con questi contenuti:

• Come risolvere le equazioni reciproche: teoria ed esercizi pratici spiegati, per riprendere le definizioni e i metodi di risoluzione.
• Come risolvere le equazioni reciproche di quarto grado senza Ruffini, per lavorare sulla sostituzione [math]t=x+1/x[/math] e sulla riduzione del grado.
• Quando le equazioni escono dal libro: 6 problemi e 2 sfide Hero tra matematica e realtà.
• Tutti gli articoli sulle equazioni reciproche, per trovare ulteriori esercizi e approfondimenti.

Il risultato più importante del test non è il punteggio finale, ma la capacità di spiegare perché un metodo funziona, quali condizioni devono essere rispettate e come riconoscere una soluzione che, pur comparendo nei calcoli, non appartiene all’insieme dei numeri reali.

 

 

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