Esercizi svolti di calcolo combinatorio e delle probabilità: al Lunapark

ESERCIZIO 1

Uno strano gioco sta affascinando i bambini al Luna Park. In un sacchetto ci sono tre palline di colore diverso. Chi scommette di riuscire ad estrarre in 9 prove successive solo palline di esattamente due diversi colori (l’estrazione di palline tutte dello stesso colore non fa quindi vincere la scommessa) rimettendo ogni volta nel sacchetto la pallina estratta vincerà il quintuplo della scommessa. L’ispettrice Bianchetti, informata del gioco fa subito arrestare i criminali. Determinare la probabilità di vittoria del gioco.

SOLUZIONE

Fissati due dei tre colori, in ogni estrazione sarà possibile avere una probabilità pari a 2/3 di estrarre una pallina di uno dei due colori. Quindi

(2/3)⁹

sarà la probabilità che l’evento si verifichi per 9 volte di seguito.
Qui però sono anche contati i casi in cui la pallina estratta è sempre dello stesso colore, per cui si dovrà sottrarre

2(1/3)⁹

Questa differenza va moltiplicata per il numero di modi di fissare due colori a partire da un insieme di tre, ovvero:

ESERCIZIO 2

Qual è la probabilità di vincere o pareggiare tirando un solo dado a sei facce contro un avversario che ne lancia due sommandone i valori?

SOLUZIONE

Facendo 1, si ha già perso. Facendo 2, l’avversario deve per forza fare 2, probabilità del cui caso è 1/36 .

Facendo 3, l’avversario deve fare 2 oppure 3, con probabilità 1/36 +2/36 =3/36 .

Procedendo fino al caso 6, con probabilità tutte e note e facilmente calcolabili, si ottiene il risultato del problema 35/216 .

ESERCIZIO 3

I tre piatti di Rico, Kowalsky e Soldato contengono ciascuno un pesce. Skipper, bendato, per cinque volte consecutive toglie un pesce da un piatto e lo sposta in un altro. Quale è la probabilità che alla fine degli spostamenti i tre piatti contengano tutti solo un pesce?

SOLUZIONE

Per risolvere il problema è sufficiente osservare che le possibili configurazioni di pesci sui piatti, senza tenere conto dell’ordine, sono solamente 3: (1;1;1), (2;1;0) e (3;0;0).
Calcoliamo le probabilità di transizione da una configurazione ad un’altra:

• sia da (1;1;1) che da (3;0;0) si passa sempre alla configurazione (2;1;0);

• da (2;1;0) si può passare a (1;1;1) con probabilità 1/2·1/2 =1/4;

• da (2;1;0) si può passare a (3;0;0) con probabilità 1/2·1/2 =1/4;

• da (2;1;0) si può restare nella medesima configurazione con probabilità 1 ·1/2.

I possibili cammini che in cinque mosse possono portare da (1;1;1) a (1;1;1) sono:

• (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1)
• (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1)
• (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1)
• (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (3; 0; 0) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1)
• (1; 1; 1) → (2; 1; 0) → (3; 0; 0) → (2; 1; 0) → (2; 1; 0) → (1; 1; 1)

Calcolando le probabilità dei singoli percorsi e sommando si ottiene 5/32 .

ESERCIZIO 4

Uno studente si prepara per un orale dove verrà interrogato dall’assistente o dal professore. Nel caso in cui venga interrogato dall’assistente, per ciascuna domanda ha probabilità 0.8 di rispondere correttamente. Nel caso in cui venga interrogato dal professore, tale probabilità è invece pari a 0.4. In entrambe i casi, passera l’esame solo se rispondera a più della metà delle domande. 
a) Se lo studente (che si sente sfortunato) pensa di avere probabilità doppia di fare l’esame con il professore piuttosto che con l’assistente, deve sperare che gli vengano fatte 3 o 5 domande?
b) Sapendo che lo studente ha passato l’esame rispondendo correttamente a 3 domande, qual’è la probabilità che sia stato interrogato dal professore?

SOLUZIONE

Siano dati gli eventi
E_k = {lo studente risponde in modo corretto alla k-esima domanda }, con k = 1, . . . , 5
A = {lo studente viene interrogato dal professore} e osserviamo che per ipotesi P(E_k|A) = 2/5 mentre P(E_k|Ã) = 4/5.

a) Per quanto indicato nel testo, lo studente stima che P(A) = 2P(Ã). Poichè  P(A)+P(Ã) = 1, si deduce che

P(A) = 2/3 e P(Ã) = 1/3. Il numero di domande a cui lo studente risponde in modo corretto, su n domande che gli vengono poste, è dato dal numero aleatorio
X_n = E₁ + . . . + E_n

che condizionatamente ad A ha distribuzione Bin(n, 2/5) e condizionatamente ad à ha distribuzione Bin(n, 4/5). Poichè lo studente passa l’esame se risponde a più della metà delle domande, se n = 3, la probabilità di tale evento è data da:

P(X₃ ≥ 2) = P(X₃ ≥ 2|A)P(A) + P(X₃ ≥ 2|Ã)P(Ã) =

mentre se n = 5 è pari a

P(X₅ ≥ 3) = P(X₅ ≥ 3|A)P(A) + P(X₅ ≥ 3|Ã)P(Ã) =

Lo studente deve quindi sperare che gli vengano poste 3 domande.
b) La quantita richiestà è P(A|X₃ ≥ 2). Usando la formula di Bayes, possiamo scrivere

P(A|X₃ ≥ 2) = P(X₃ ≥ 2|A)P(A) / P(X₃ ≥ 2)

di cui rimane da calcolare il termine P(X₃ ≥ 2|A) al numeratore. Come già osservato, subordinatamente all’evento A la variabile aleatoria X₃ ha distribuzione Bin(3,2/5). Ne segue che

P(X₃ ≥ 2|A) =

che sostituito nella formula sopra, insieme alle quantità calcolate al punto precedente, fornisce il risultato.

 

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