Il teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale è uno strumento fondamentale nel calcolo delle probabilità che permette di calcolare la probabilità di un evento considerando diverse possibili “cause” o “condizioni” che possono influenzarlo. In termini semplici, se un evento può verificarsi in diversi modi, il teorema della probabilità totale ci fornisce un metodo per calcolare la probabilità complessiva che quell’evento si verifichi.

Definizione formale:

Sia {B₁, B₂, …, Bₙ} un insieme di eventi che formano una partizione dello spazio campionario Ω (cioè, sono eventi a due a due incompatibili e la loro unione è l’intero spazio campionario). Sia A un evento qualsiasi. Allora, la probabilità di A può essere calcolata come:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + … + P(A|Bₙ)P(Bₙ)

Dove:

• P(A) è la probabilità dell’evento A.
• P(Bᵢ) è la probabilità dell’evento Bᵢ.
• P(A|Bᵢ) è la probabilità condizionata di A dato Bᵢ (cioè, la probabilità che si verifichi A sapendo che si è verificato Bᵢ).

Spiegazione intuitiva:

Immagina di voler calcolare la probabilità di pescare una pallina rossa da un’urna che contiene diverse scatole. Ogni scatola contiene un diverso numero di palline rosse e blu.

• Gli eventi Bᵢ rappresentano la scelta di una specifica scatola.
• L’evento A rappresenta l’estrazione di una pallina rossa.
• P(Bᵢ) è la probabilità di scegliere la scatola i-esima.
• P(A|Bᵢ) è la probabilità di pescare una pallina rossa una volta che hai scelto la scatola i-esima.

Il teorema della probabilità totale ti dice che la probabilità complessiva di pescare una pallina rossa è la somma delle probabilità di pescare una pallina rossa da ciascuna scatola, pesate per la probabilità di scegliere quella scatola.

Esempio pratico:

Supponiamo di avere tre urne:

• Urna 1: 5 palline rosse e 5 blu
• Urna 2: 3 palline rosse e 7 blu
• Urna 3: 2 palline rosse e 8 blu

Scegliamo un’urna a caso (ognuna con probabilità 1/3) e poi estraiamo una pallina. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?

• B₁: scegliamo l’Urna 1. P(B₁) = 1/3
• B₂: scegliamo l’Urna 2. P(B₂) = 1/3
• B₃: scegliamo l’Urna 3. P(B₃) = 1/3
• A: estraiamo una pallina rossa.
• P(A|B₁) = 5/10 = 1/2
• P(A|B₂) = 3/10
• P(A|B₃) = 2/10 = 1/5

Applicando il teorema della probabilità totale:

P(A) = (1/2)(1/3) + (3/10)(1/3) + (1/5)(1/3) = 1/6 + 1/10 + 1/15 = (5 + 3 + 2)/30 = 10/30 = 1/3

Quindi, la probabilità di estrarre una pallina rossa è 1/3.

Esempio pratico:

Un’azienda produce smartphone in tre diverse fabbriche: F1, F2 e F3.

• F1 produce il 40% degli smartphone totali, con una percentuale di difetti del 2%.
• F2 produce il 35% degli smartphone totali, con una percentuale di difetti del 3%.
• F3 produce il 25% degli smartphone totali, con una percentuale di difetti del 1%.

Viene scelto uno smartphone a caso dalla produzione totale. Qual è la probabilità che sia difettoso?

Soluzione:

Definiamo gli eventi:

• F1: lo smartphone è prodotto nella fabbrica F1.
• F2: lo smartphone è prodotto nella fabbrica F2.
• F3: lo smartphone è prodotto nella fabbrica F3.
• D: lo smartphone è difettoso.

Abbiamo le seguenti probabilità:

• P(F1) = 0.40 (40%)
• P(F2) = 0.35 (35%)
• P(F3) = 0.25 (25%)

E le seguenti probabilità condizionate (percentuali di difetti per ogni fabbrica):

• P(D|F1) = 0.02 (2%)
• P(D|F2) = 0.03 (3%)
• P(D|F3) = 0.01 (1%)

Applichiamo il teorema della probabilità totale per calcolare P(D), la probabilità che uno smartphone sia difettoso:

P(D) = P(D|F1)P(F1) + P(D|F2)P(F2) + P(D|F3)P(F3)

Sostituiamo i valori:

P(D) = (0.02 * 0.40) + (0.03 * 0.35) + (0.01 * 0.25) P(D) = 0.008 + 0.0105 + 0.0025 P(D) = 0.021

Quindi, la probabilità che uno smartphone scelto a caso dalla produzione totale sia difettoso è del 2.1%.

Ecco alcuni esempi aggiuntivi che applicano il teorema della probabilità totale in contesti di medicina e finanza:

Esempio 1: Test diagnostico (Medicina)

Scenario:

Una malattia colpisce il 5% della popolazione.

Esiste un test diagnostico che ha le seguenti caratteristiche:

Se una persona è malata, il test risulta positivo nel 90% dei casi (sensibilità).

Se una persona non è malata, il test risulta negativo nel 95% dei casi (specificità).

Una persona viene sottoposta al test e il risultato è positivo. Qual è la probabilità che la persona sia effettivamente malata?

Soluzione:

Definiamo gli eventi:

M: la persona è malata.

S: la persona è sana.

+: il test risulta positivo.

Abbiamo le seguenti probabilità:

P(M) = 0.05 (5%)

P(S) = 0.95 (95%)

P(+|M) = 0.90 (90%)

P(+|S) = 0.05 (5%)

Applichiamo il teorema della probabilità totale per calcolare P(+), la probabilità che il test risulti positivo:

P(+) = P(+|M)P(M) + P(+|S)P(S)

P(+) = (0.90 * 0.05) + (0.05 * 0.95) = 0.045 + 0.0475 = 0.0925

per rispondere alla domanda posta all’inizio, si utilizzerebbe il teorema di Bayes, che si basa sul teorema della probabilità totale.

Conclusione:

La probabilità che il test risulti positivo è del 9.25%.

Esempio 2: Rischio di investimento (Finanza)

Scenario:

Un investitore sta valutando un’azione che può avere tre possibili scenari:

Scenario 1 (crescita economica): probabilità 40%, rendimento 15%.

Scenario 2 (stabilità economica): probabilità 35%, rendimento 5%.

Scenario 3 (recessione economica): probabilità 25%, rendimento -10%.

Qual è il rendimento atteso dell’azione?

Soluzione:

Definiamo gli eventi:

C: scenario di crescita economica.

S: scenario di stabilità economica.

R: scenario di recessione economica.

rendimento: rendimento dell’azione.

Abbiamo le seguenti probabilità e rendimenti:

P(C) = 0.40, rendimento(C) = 0.15

P(S) = 0.35, rendimento(S) = 0.05

P(R) = 0.25, rendimento(R) = -0.10

Applichiamo il teorema della probabilità totale per calcolare il rendimento atteso:

Rendimento atteso = P(C)*rendimento(C) + P(S)*rendimento(S) + P(R)*rendimento(R)

Rendimento atteso = (0.40 * 0.15) + (0.35 * 0.05) + (0.25 * -0.10) = 0.06 + 0.0175 – 0.025 = 0.0525

Conclusione:

Il rendimento atteso dell’azione è del 5.25%.

Relazione con il teorema di Bayes:

Il teorema della probabilità totale è strettamente legato al teorema di Bayes. Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità a posteriori di un evento (ad esempio, la probabilità di aver scelto una specifica urna sapendo che abbiamo estratto una pallina rossa), mentre il teorema della probabilità totale serve per calcolare la probabilità a priori di un evento (ad esempio, la probabilità di estrarre una pallina rossa indipendentemente dall’urna scelta).

In particolare, il denominatore del teorema di Bayes è proprio la probabilità totale calcolata con il teorema della probabilità totale:

P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)] / P(A)

Dove P(A) è calcolato come abbiamo visto prima.

In sintesi:

Il teorema della probabilità totale è uno strumento potente per calcolare la probabilità di un evento quando ci sono diverse possibili “cause” o “scenari” che possono portarlo al verificarsi. È essenziale per comprendere e applicare il teorema di Bayes e in generale per risolvere problemi di probabilità complessi.

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