Problemi di Massimo e Minimo e Scelta Ottimale: 6 Esercizi Risolti
I problemi di massimo e minimo, noti anche come problemi di ottimizzazione, consistono nel trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione, spesso soggetta a determinati vincoli. Questi problemi hanno applicazioni in quasi ogni campo scientifico ed economico. Risolverli richiede l’uso degli strumenti del calcolo differenziale.
Esercizio 1 (Facile) – Massimizzare l’Area di un Orto Rettangolare
Problema: Un contadino ha [math]100[/math] metri di recinzione per creare un orto rettangolare. Quali sono le dimensioni che massimizzano l’area dell’orto?
Note Teoriche:
Questo è un problema di ottimizzazione vincolata. Dobbiamo massimizzare una funzione (l’area) soggetta a un vincolo (il perimetro fisso). In casi semplici, possiamo usare il vincolo per esprimere la funzione obiettivo in termini di una sola variabile e poi usare il calcolo differenziale (derivata prima e test della derivata seconda) per trovare il massimo.
Soluzione:
1. Definire le variabili:
Siano [math]x[/math] e [math]y[/math] le dimensioni (lunghezza e larghezza) del rettangolo, misurate in metri [math]\text{m}[/math].
2. Definire il vincolo:
Il perimetro è la lunghezza totale della recinzione, che è [math]100[/math] [math]\text{m}[/math]. Il vincolo è quindi:
[math]2x + 2y = 100[/math]
Possiamo semplificarlo dividendo per [math]2[/math]: [math]x + y = 50[/math].
Esprimiamo [math]y[/math] in funzione di [math]x[/math] (o viceversa) usando il vincolo: [math]y = 50 – x[/math]. Notiamo che le dimensioni devono essere positive, quindi [math]x > 0[/math] e [math]y > 0[/math], il che implica [math]0 < x < 50[/math].
3. Definire la funzione obiettivo (Area):
L’area del rettangolo è data da [math]A = x \cdot y[/math]. Sostituiamo l’espressione di [math]y[/math] dal vincolo per ottenere l’area in funzione della sola variabile [math]x[/math]:
[math]A(x) = x \cdot (50 – x) = 50x – x^2[/math]
Dobbiamo massimizzare questa funzione per [math]x \in (0, 50)[/math].
4. Trovare i punti critici:
Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata prima di [math]A(x)[/math] e la poniamo uguale a zero:
[math]A'(x) = \frac{d}{dx}(50x – x^2) = 50 – 2x[/math]
[math]A'(x) = 0 \implies 50 – 2x = 0[/math]
[math]2x = 50[/math]
[math]x = 25[/math]
5. Verificare la natura del punto critico:
Possiamo usare il test della derivata seconda. Calcoliamo la derivata seconda:
[math]A”(x) = \frac{d}{dx}(50 – 2x) = -2[/math]
Poiché [math]A”(25) = -2 < 0[/math], il punto critico [math]x=25[/math] corrisponde a un massimo locale. Dato che la funzione Area è una parabola concava verso il basso, questo massimo locale è anche il massimo assoluto nell’intervallo [math](0, 50)[/math].
6. Determinare le dimensioni ottimali:
Abbiamo [math]x = 25[/math] [math]\text{m}[/math]. Usiamo il vincolo per trovare [math]y[/math]:
[math]y = 50 – x = 50 – 25 = 25[/math]
Quindi, [math]y = 25[/math] [math]\text{m}[/math].
Risposte: Le dimensioni che massimizzano l’area dell’orto rettangolare sono [math]25[/math] [math]\text{m}[/math] per [math]25[/math] [math]\text{m}[/math]. L’orto di area massima è un quadrato.
Esercizio 2 (Intermedio) – Minimizzare il Costo di un Cartellone Pubblicitario
Problema: Un cartellone pubblicitario rettangolare deve avere un’area di [math]200[/math] [math]\text{m}^2[/math]. Il materiale per i lati orizzontali costa [math]5[/math] [math]\text{€/m}[/math] e quello per i lati verticali costa [math]3[/math] [math]\text{€/m}[/math]. Trovare le dimensioni del cartellone che minimizzano il costo del materiale.
Note Teoriche:
Anche questo è un problema di ottimizzazione vincolata. Dobbiamo minimizzare la funzione costo soggetta al vincolo dell’area fissa. Come nell’esercizio precedente, useremo il vincolo per ridurre la funzione obiettivo a una singola variabile e poi applicheremo il calcolo differenziale per trovare il minimo.
Soluzione:
1. Definire le variabili:
Siano [math]x[/math] e [math]y[/math] le dimensioni del cartellone, dove [math]x[/math] è la lunghezza dei lati orizzontali e [math]y[/math] è la lunghezza dei lati verticali (in metri [math]\text{m}[/math]).
2. Definire il vincolo:
L’area del cartellone deve essere [math]200[/math] [math]\text{m}^2[/math]. Il vincolo è:
[math]x \cdot y = 200[/math]
Esprimiamo [math]y[/math] in funzione di [math]x[/math]: [math]y = \frac{200}{x}[/math]. Le dimensioni devono essere positive, quindi [math]x > 0[/math] e [math]y > 0[/math], il che implica [math]x > 0[/math].
3. Definire la funzione obiettivo (Costo):
Il costo totale [math]C[/math] è dato dalla somma del costo dei quattro lati. Ci sono due lati orizzontali di lunghezza [math]x[/math] e due lati verticali di lunghezza [math]y[/math].
[math]\text{Costo orizzontale} = 2 \cdot (5 \text{ €/m} \cdot x \text{ m}) = 10x \text{ €}[/math]
[math]\text{Costo verticale} = 2 \cdot (3 \text{ €/m} \cdot y \text{ m}) = 6y \text{ €}[/math]
La funzione costo totale è [math]C(x,y) = 10x + 6y[/math]. Sostituiamo l’espressione di [math]y[/math] dal vincolo:
[math]C(x) = 10x + 6\left(\frac{200}{x}\right) = 10x + \frac{1200}{x}[/math]
Dobbiamo minimizzare questa funzione per [math]x > 0[/math].
4. Trovare i punti critici:
Calcoliamo la derivata prima di [math]C(x)[/math] e la poniamo uguale a zero:
[math]C'(x) = \frac{d}{dx}\left(10x + 1200x^{-1}\right) = 10 – 1200x^{-2} = 10 – \frac{1200}{x^2}[/math]
[math]C'(x) = 0 \implies 10 – \frac{1200}{x^2} = 0[/math]
[math]10 = \frac{1200}{x^2}[/math]
[math]10x^2 = 1200[/math]
[math]x^2 = 120[/math]
[math]x = \sqrt{120}[/math]
Consideriamo solo la soluzione positiva poiché [math]x[/math] è una dimensione. [math]\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}[/math].
[math]x = 2\sqrt{30} \approx 2 \cdot 5.477 \approx 10.954 \text{ m}[/math]
5. Verificare la natura del punto critico:
Usiamo il test della derivata seconda. Calcoliamo la derivata seconda di [math]C(x)[/math]:
[math]C”(x) = \frac{d}{dx}\left(10 – 1200x^{-2}\right) = 0 – 1200(-2)x^{-3} = 2400x^{-3} = \frac{2400}{x^3}[/math]
Per [math]x > 0[/math], [math]C”(x)[/math] è sempre positiva. In particolare, [math]C”(2\sqrt{30}) > 0[/math], il che indica che il punto critico corrisponde a un minimo locale. Poiché è l’unico punto critico nell’intervallo [math]x > 0[/math] e la funzione tende a [math]\infty[/math] per [math]x \to 0^+[/math] e [math]x \to \infty[/math], questo minimo locale è anche il minimo assoluto.
6. Determinare le dimensioni ottimali:
Abbiamo [math]x = 2\sqrt{30}[/math]. Usiamo il vincolo [math]y = \frac{200}{x}[/math] per trovare [math]y[/math]:
[math]y = \frac{200}{2\sqrt{30}} = \frac{100}{\sqrt{30}} = \frac{100\sqrt{30}}{30} = \frac{10\sqrt{30}}{3}[/math]
[math]y \approx \frac{10 \cdot 5.477}{3} \approx \frac{54.77}{3} \approx 18.257 \text{ m}[/math]
Risposte: Le dimensioni che minimizzano il costo del cartellone sono circa [math]10.95[/math] [math]\text{m}[/math] (orizzontale) e [math]18.26[/math] [math]\text{m}[/math] (verticale).
Esercizio 3 (Intermedio) – Scelta Ottimale di Produzione (Due Variabili)
Problema: Un’azienda produce due beni, X e Y. Il ricavo dalla vendita di [math]x[/math] unità del bene X è [math]R_1(x)=30x[/math], e il ricavo dalla vendita di [math]y[/math] unità del bene Y è [math]R_2(y)=50y[/math]. Il costo totale di produzione per entrambe i beni è dato da [math]C(x,y)=x^2+2xy+y^2+1000[/math]. Trovare le quantità [math]x[/math] e [math]y[/math] che massimizzano il profitto totale.
Note Teoriche:
Questo problema di ottimizzazione coinvolge una funzione di due variabili ([math]x[/math] e [math]y[/math]) senza vincoli espliciti (assumiamo [math]x \ge 0[/math], [math]y \ge 0[/math]). Per trovare i punti critici di una funzione di più variabili, si calcolano le derivate parziali rispetto a ogni variabile e si pongono tutte uguali a zero. Questo forma un sistema di equazioni.
Soluzione:
1. Definire la funzione obiettivo (Profitto):
Il profitto totale [math]P(x,y)[/math] è dato dalla somma dei ricavi meno il costo totale:
[math]P(x,y) = R_1(x) + R_2(y) – C(x,y)[/math]
[math]P(x,y) = 30x + 50y – (x^2 + 2xy + y^2 + 1000)[/math]
[math]P(x,y) = 30x + 50y – x^2 – 2xy – y^2 – 1000[/math]
Dobbiamo massimizzare questa funzione per [math]x \ge 0[/math], [math]y \ge 0[/math].
2. Trovare i punti critici:
Calcoliamo le derivate parziali prime rispetto a [math]x[/math] e [math]y[/math] e le poniamo uguali a zero:
[math]\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(30x + 50y – x^2 – 2xy – y^2 – 1000) = 30 – 2x – 2y[/math]
[math]\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(30x + 50y – x^2 – 2xy – y^2 – 1000) = 50 – 2x – 2y[/math]
Poniamo le derivate parziali uguali a zero per trovare i punti critici:
(1) [math]30 – 2x – 2y = 0[/math]
(2) [math]50 – 2x – 2y = 0[/math]
3. Risolvere il sistema di equazioni:
Proviamo a risolvere questo sistema. Dalla prima equazione, [math]2x + 2y = 30[/math]. Dalla seconda equazione, [math]2x + 2y = 50[/math]. Questo implica che [math]30 = 50[/math], il che è impossibile.
4. Interpretazione:
Il sistema di equazioni per le derivate parziali non ha soluzioni. Questo significa che non esistono punti critici interni al dominio [math]x > 0, y > 0[/math]. Poiché la funzione profitto è una funzione quadratica (e il termine [math]-x^2 – 2xy – y^2 = -(x+y)^2[/math] indica che tende a diminuire allontanandosi dall’origine) e non ha massimi interni, il massimo profitto (se esiste) deve verificarsi sul bordo del dominio ([math]x=0[/math] o [math]y=0[/math]). Per analizzare il bordo, dovremmo studiare la funzione profitto ponendo [math]x=0[/math] o [math]y=0[/math] e trovare il massimo per le funzioni di una variabile risultanti.
Nell’esempio fornito, l’impossibilità di trovare un punto critico interno suggerisce che la struttura dei costi e dei ricavi porta a una soluzione ottimale sul confine del dominio di produzione.
Risposte: Non esistono punti critici interni ([math]x>0, y>0[/math]) che massimizzino il profitto. La massimizzazione deve essere cercata sul bordo del dominio di produzione ([math]x=0[/math] o [math]y=0[/math]).
Esercizio 4 (Difficile) – Ottimizzazione del Profitto e Decisione di Produzione
Problema: Un’azienda ha una funzione di costo totale [math]C(q)=1000+10q+q^2[/math], dove [math]q[/math] è la quantità prodotta. La funzione di ricavo totale è [math]R(q)=200q[/math]. Trovare la quantità [math]q[/math] che massimizza il profitto dell’azienda e verificare se, a questa quantità ottimale, conviene effettivamente produrre (cioè, se il profitto è positivo).
Note Teoriche:
Il profitto ([math]\pi[/math]) è definito come Ricavo Totale ([math]R[/math]) meno Costo Totale ([math]C[/math]). Per massimizzare il profitto in funzione della quantità [math]q[/math], usiamo il calcolo differenziale per trovare il punto critico ponendo la derivata prima del profitto uguale a zero. In economia, questo punto critico corrisponde alla quantità in cui il ricavo marginale ([math]R'(q)[/math], la derivata del ricavo) è uguale al costo marginale ([math]C'(q)[/math], la derivata del costo). Conviene produrre solo se il profitto massimo è maggiore di zero (cioè, maggiore del costo fisso sostenuto anche senza produrre).
Soluzione:
1. Definire la funzione di profitto:
[math]\pi(q) = R(q) – C(q)[/math]
[math]\pi(q) = 200q – (1000 + 10q + q^2)[/math]
[math]\pi(q) = 200q – 1000 – 10q – q^2[/math]
[math]\pi(q) = -q^2 + 190q – 1000[/math]
Dobbiamo massimizzare questa funzione per [math]q \ge 0[/math].
2. Trovare la quantità che massimizza il profitto:
Calcoliamo la derivata prima della funzione di profitto e la poniamo uguale a zero per trovare i punti critici:
[math]\pi'(q) = \frac{d}{dq}(-q^2 + 190q – 1000) = -2q + 190[/math]
[math]\pi'(q) = 0 \implies -2q + 190 = 0[/math]
[math]2q = 190[/math]
[math]q = 95[/math]
Questo è l’unico punto critico. La funzione di profitto è una parabola concava verso il basso, quindi questo punto critico corrisponde a un massimo.
3. Calcolare il profitto massimo:
Sostituiamo la quantità ottimale [math]q=95[/math] nella funzione di profitto per trovare il profitto massimo:
[math]\pi(95) = -(95)^2 + 190(95) – 1000[/math]
[math]\pi(95) = -9025 + 18050 – 1000[/math]
[math]\pi(95) = 9025 – 1000 = 8025[/math]
Il profitto massimo è [math]8025[/math] [math]\text{€}[/math].
4. Verificare se conviene produrre:
Conviene produrre se il profitto massimo è maggiore del costo fisso, che in questo caso è [math]1000[/math] [math]\text{€}[/math] (il costo quando [math]q=0[/math]).
Poiché il profitto massimo [math]\pi(95) = 8025[/math] [math]\text{€}[/math] è maggiore di zero ([math]8025 > 0[/math]), conviene produrre.
Risposte: La quantità che massimizza il profitto è [math]q=95[/math] unità. Il profitto massimo è [math]8025[/math] [math]\text{€}[/math]. Conviene produrre poiché il profitto massimo è positivo.
Esercizio 5 (Avanzato) – Ottimizzazione Vincolata con Moltiplicatori di Lagrange
Problema: Massimizzare la funzione [math]f(x,y)=xy[/math] sotto il vincolo [math]x+2y=100[/math].
Note Teoriche:
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è una tecnica potente per risolvere problemi di ottimizzazione vincolata multivariabile. Introduciamo una nuova variabile, il moltiplicatore di Lagrange [math]\lambda[/math], e costruiamo una funzione ausiliaria, la Lagrangiana [math]L(x,y,\lambda)[/math], che combina la funzione obiettivo e il vincolo. Troviamo quindi i punti critici della Lagrangiana ponendo le sue derivate parziali rispetto a [math]x[/math], [math]y[/math] e [math]\lambda[/math] uguali a zero. La soluzione di questo sistema fornisce i punti candidati per gli estremi vincolati.
Soluzione:
1. Definire la funzione di Lagrange:
La funzione obiettivo è [math]f(x,y)=xy[/math]. Il vincolo è [math]x+2y=100[/math], che possiamo scrivere come [math]x+2y-100=0[/math]. La funzione di Lagrange è:
[math]L(x,y,\lambda) = f(x,y) – \lambda \cdot (vincolo)[/math]
[math]L(x,y,\lambda) = xy – \lambda(x + 2y – 100)[/math]
2. Trovare i punti critici della Lagrangiana:
Calcoliamo le derivate parziali rispetto a [math]x[/math], [math]y[/math] e [math]\lambda[/math] e le poniamo uguali a zero:
(1) [math]\frac{\partial L}{\partial x} = y – \lambda = 0[/math]
(2) [math]\frac{\partial L}{\partial y} = x – 2\lambda = 0[/math]
(3) [math]\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + 2y – 100) = 0 \implies x + 2y – 100 = 0[/math]
3. Risolvere il sistema di equazioni:
Dalla (1) otteniamo [math]y = \lambda[/math]. Dalla (2) otteniamo [math]x = 2\lambda[/math]. Sostituiamo [math]\lambda = y[/math] in [math]x = 2\lambda[/math], ottenendo [math]x = 2y[/math].
Ora sostituiamo questa relazione tra [math]x[/math] e [math]y[/math] nel vincolo (3):
[math]x + 2y = 100[/math]
[math](2y) + 2y = 100[/math]
[math]4y = 100[/math]
[math]y = 25[/math]
Ora troviamo [math]x[/math] usando [math]x = 2y[/math]:
[math]x = 2(25) = 50[/math]
Abbiamo trovato un punto critico vincolato: [math](x,y)=(50,25)[/math]. (Possiamo anche trovare [math]\lambda = y = 25[/math]).
In questo problema, la regione definita dal vincolo è una retta. La funzione obiettivo [math]f(x,y)=xy[/math] rappresenta iperboli. Geometricamente, stiamo cercando il punto sulla retta [math]x+2y=100[/math] che tocca l’iperbole [math]xy=costante[/math] con la costante più grande possibile. Questo punto è [math](50,25)[/math], che corrisponde a un massimo vincolato. Il valore massimo di [math]f(x,y)[/math] soggetto al vincolo è [math]f(50,25)=50 \times 25 = 1250[/math].
Risposte: Il punto che massimizza [math]f(x,y)=xy[/math] sotto il vincolo [math]x+2y=100[/math] è [math](x,y)=(50,25)[/math].
Esercizio 6 (Molto Avanzato) – Massimizzazione del Profitto in Monopolio
Problema: Un monopolista ha una funzione di costo totale [math]C(q)=500+2q[/math], dove [math]q[/math] è la quantità prodotta e venduta. La funzione di domanda inversa è data da [math]p=100-\sqrt{q}[/math], dove [math]p[/math] è il prezzo per unità. Trovare la quantità [math]q[/math] e il prezzo [math]p[/math] che massimizzano il profitto del monopolista.
Note Teoriche:
Un monopolista massimizza il profitto producendo la quantità [math]q[/math] in cui il ricavo marginale ([math]R'(q)[/math]) è uguale al costo marginale ([math]C'(q)[/math]). Il ricavo totale [math]R(q)[/math] è dato dal prezzo per unità [math]p[/math] moltiplicato per la quantità [math]q[/math], ma il prezzo stesso dipende da [math]q[/math] secondo la funzione di domanda. Dobbiamo quindi esprimere il ricavo totale in funzione di [math]q[/math] prima di calcolare il profitto e massimizzarlo.
Soluzione:
1. Definire la funzione di ricavo totale:
Il ricavo totale è [math]R(q) = p \cdot q[/math]. Sostituiamo l’espressione di [math]p[/math] dalla funzione di domanda inversa:
[math]R(q) = (100 – \sqrt{q}) \cdot q[/math]
[math]R(q) = 100q – q\sqrt{q} = 100q – q^{3/2}[/math]
Questa funzione è valida per [math]q \ge 0[/math]. Dalla domanda [math]p = 100 – \sqrt{q}[/math], per avere un prezzo non negativo ([math]p \ge 0[/math]), dobbiamo avere [math]\sqrt{q} \le 100[/math], ovvero [math]q \le 10000[/math]. Quindi dobbiamo considerare [math]q \in [0, 10000][/math].
2. Definire la funzione di profitto:
Il profitto è [math]\pi(q) = R(q) – C(q)[/math].
[math]\pi(q) = (100q – q^{3/2}) – (500 + 2q)[/math]
[math]\pi(q) = 100q – q^{3/2} – 500 – 2q[/math]
[math]\pi(q) = 98q – q^{3/2} – 500[/math]
3. Trovare la quantità che massimizza il profitto:
Calcoliamo la derivata prima della funzione di profitto e la poniamo uguale a zero per trovare i punti critici:
[math]\pi'(q) = \frac{d}{dq}(98q – q^{3/2} – 500) = 98 – \frac{3}{2}q^{(3/2 – 1)} = 98 – \frac{3}{2}q^{1/2}[/math]
[math]\pi'(q) = 0 \implies 98 – \frac{3}{2}\sqrt{q} = 0[/math]
[math]98 = \frac{3}{2}\sqrt{q}[/math]
[math]\sqrt{q} = 98 \cdot \frac{2}{3} = \frac{196}{3}[/math]
[math]q = \left(\frac{196}{3}\right)^2 = \frac{196^2}{3^2} = \frac{38416}{9}[/math]
Questo è il punto critico. [math]\frac{38416}{9} \approx 4268.44[/math]. Questo valore si trova nell’intervallo [math][0, 10000][/math]. La funzione di profitto è concava vicino a questo punto (si può verificare con la derivata seconda [math]\pi”(q) = -\frac{3}{4}q^{-1/2} < 0[/math] per [math]q>0[/math]), quindi è un massimo.
4. Determinare il prezzo ottimo:
Sostituiamo la quantità ottimale [math]q = \frac{38416}{9}[/math] nella funzione di domanda inversa per trovare il prezzo corrispondente:
[math]p = 100 – \sqrt{q} = 100 – \sqrt{\frac{38416}{9}} = 100 – \frac{\sqrt{38416}}{\sqrt{9}} = 100 – \frac{196}{3}[/math]
[math]p = \frac{300 – 196}{3} = \frac{104}{3}[/math]
[math]p = \frac{104}{3} \approx 34.67[/math]
Risposte: La quantità che massimizza il profitto è [math]q = \frac{38416}{9}[/math] unità (circa [math]4268.44[/math]). Il prezzo corrispondente è [math]p = \frac{104}{3}[/math] [math]\text{€}[/math] (circa [math]34.67[/math] [math]\text{€}[/math]).
Questi esercizi hanno dimostrato come applicare le tecniche di ottimizzazione basate sul calcolo differenziale, sia per funzioni di una che di più variabili, con o senza vincoli espliciti, in contesti che spaziano dalla geometria all’economia.
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