Esercizio

In un’economia chiusa esistono due tipologie di famiglie:

• 40 famiglie di impiegati (I), ciascuna delle quali possiede 10 unità di capitale e nessuna unità di lavoro. Ogni unità di capitale fornisce un reddito [math]r[/math].
• 50 famiglie di operai (O), ciascuna delle quali fornisce 20 unità di lavoro e nessuna unità di capitale. Ogni unità di lavoro fornisce un reddito [math]w[/math].

Funzioni di domanda:

Le famiglie I domandano:

• Energia: [math]X_I = \frac{0{,}8 M_I}{P_X}[/math]
• Cibo: [math]Y_I = \frac{0{,}2 M_I}{P_Y}[/math]

Le famiglie O domandano:

• Energia: [math]X_O = \frac{0{,}5 M_O}{P_X}[/math]
• Cibo: [math]Y_O = \frac{0{,}5 M_O}{P_Y}[/math]

dove [math]M_I = 10r[/math] è il reddito di ogni impiegato e [math]M_O = 20w[/math] è il reddito di ogni operaio.

Produzione:

• L’energia è prodotta solo con capitale: 1 unità di capitale produce 1 unità di energia.
• Costo marginale: [math]r[/math]
• Prezzo di equilibrio: [math]P_X = r[/math]
• Il cibo è prodotto solo con lavoro: 1 unità di lavoro produce 1 unità di cibo.
• Costo marginale: [math]w[/math]
• Prezzo di equilibrio: [math]P_Y = w[/math]

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✅ Domande

1. Mostrare che in equilibrio il lavoro domandato e offerto sarà pari a 1000 unità, e il capitale domandato e offerto sarà pari a 400 unità.
2. Scrivere le condizioni di equilibrio nei mercati di energia e di cibo.
3. Calcolare il rapporto d’equilibrio [math]\frac{P_X}{P_Y}[/math].
4. Calcolare il rapporto tra il reddito delle famiglie di impiegati e il reddito delle famiglie di operai.

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Soluzione

a) Lavoro e capitale: quantità offerte e domandate

Offerta di capitale totale:
Ogni famiglia I possiede 10 unità di capitale → 40 famiglie:

[math]K = 40 \times 10 = \boxed{400} \text{ unità di capitale}[/math]

Offerta di lavoro totale:
Ogni famiglia O offre 20 unità di lavoro → 50 famiglie:

[math]L = 50 \times 20 = \boxed{1000} \text{ unità di lavoro}[/math]

Non ci sono imprese diverse dalle famiglie, quindi il capitale e il lavoro sono interamente forniti dalle famiglie.

Poiché l’energia richiede solo capitale, se si utilizzano tutte le 400 unità → 400 unità di energia disponibili.

Analogamente, il cibo si produce solo col lavoro → 1000 unità di cibo disponibili.

Quindi la quantità domandata dovrà uguagliare queste offerte.

✅ Risposta:

• Quantità di lavoro offerto e domandato in equilibrio: 1000
• Quantità di capitale offerto e domandato in equilibrio: 400

b) Condizioni di equilibrio nei mercati di energia e cibo

Energia:

La domanda totale di energia è data da:

[math]\text{Domanda energia} = 40 \cdot X_I + 50 \cdot X_O = 40 \cdot \frac{0{,}8 M_I}{P_X} + 50 \cdot \frac{0{,}5 M_O}{P_X}[/math]

Sostituendo: [math]M_I = 10r[/math], [math]M_O = 20w[/math], [math]P_X = r[/math]

[math]X = \frac{40 \cdot 0{,}8 \cdot 10r + 50 \cdot 0{,}5 \cdot 20w}{r} = \frac{320r + 500w}{r}[/math]

[math]X = 320 + \frac{500w}{r}[/math]

Ma l’offerta di energia è 400 unità, perché ci sono 400 unità di capitale.
Condizione di equilibrio nel mercato dell’energia:

[math]\boxed{320 + \frac{500w}{r} = 400}[/math]

Cibo:

Domanda totale di cibo:

[math]Y = 40 \cdot Y_I + 50 \cdot Y_O = 40 \cdot \frac{0{,}2 M_I}{P_Y} + 50 \cdot \frac{0{,}5 M_O}{P_Y}[/math]

Sostituisco i redditi e [math]P_Y = w[/math]:

[math]Y = \frac{40 \cdot 0{,}2 \cdot 10r + 50 \cdot 0{,}5 \cdot 20w}{w} = \frac{80r + 500w}{w}[/math]

[math]Y = \frac{80r}{w} + 500[/math]

Ma l’offerta di cibo è 1000 (unità di lavoro).
Condizione di equilibrio nel mercato del cibo:

[math]\boxed{\frac{80r}{w} + 500 = 1000}[/math]

c) Rapporto d’equilibrio tra i prezzi: [math]\frac{P_X}{P_Y}[/math]

Sappiamo che:

• [math]P_X = r[/math]
• [math]P_Y = w[/math]

Quindi: [math]\frac{P_X}{P_Y} = \frac{r}{w}[/math]

Usiamo le due equazioni viste sopra per ricavare [math]\frac{r}{w}[/math]. Partiamo dall’equazione del cibo:

[math]\frac{80r}{w} + 500 = 1000 \Rightarrow \frac{80r}{w} = 500 \Rightarrow \frac{r}{w} = \boxed{6,25}[/math]

Quindi:

[math]\boxed{\frac{P_X}{P_Y} = \frac{r}{w} = 6{,}25}[/math]

d) Rapporto tra i redditi delle famiglie I e O

Ricordiamo:

• Ogni impiegato ha: [math]M_I = 10r[/math]
• Ogni operaio ha: [math]M_O = 20w[/math]

Ma sappiamo da (c) che: [math]\frac{r}{w} = 6{,}25 \Rightarrow r = 6{,}25w[/math]

Sostituiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} M_I &= 10r = 10 \cdot 6{,}25w = 62{,}5w \\ M_O &= 20w \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\frac{M_I}{M_O} = \frac{62{,}5w}{20w} = \boxed{3{,}125}[/math]

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Risposte finali :

• a) Lavoro domandato/offerto = 1000, Capitale domandato/offerto = 400
• b)
  • Energia: [math]320 + \frac{500w}{r} = 400[/math]
  • Cibo: [math]\frac{80r}{w} + 500 = 1000[/math]
• c) Rapporto di prezzo: [math]\frac{P_X}{P_Y} = \boxed{6{,}25}[/math]
• d) Rapporto di redditi: [math]\frac{M_I}{M_O} = \boxed{3{,}125}[/math]