Esercizi svolti su utilità, vincolo di bilancio e saggio marginale di sostituzione

ESERCIZIO

La funzione di utilità di Aldo è data da U(X,Y) = XY dove X rappresenta lo yogurt e Y la frutta. I prezzi di questi due beni sono rispettivamente:
p_X = 2, p_Y = 5 mentre il reddito a disposizione di Aldo è M = 180 euro.

(a) Scrivere l’equazione del vincolo di bilancio di Aldo e rappresentarlo in un grafico, indicando anche le intercette.

SOLUZIONE

La generica equazione del vincolo di bilancio è

p_X X + p_Y Y = M.

Nel caso considerato si avrà perciò

2X + 5Y = 180

Per rappresentare graficamente il vincolo è necessario trovare, prima di tutto, i punti di intersezione con gli assi cartesiani, sui quali sono rappresentate le quantità dei beni X e Y. Poniamo a sistema il vincolo di bilancio, rispettivamente, con le equazioni X = 0 e Y = 0 e otteniamo le coordinate delle intercette:

I valori trovati di X e Y ci indicano le quantità di tali beni che verrebbero acquistate nel caso in cui il consumatore decidesse di destinare l’intero reddito solo ad uno dei due beni.

(b) Calcolare il saggio marginale di sostituzione tra i due beni.

SOLUZIONE

Il saggio marginale di sostituzione è dato dal rapporto delle utilità marginali dei due beni, ovvero delle derivate parziali della funzione utilità. Nel caso specifico:

(c) Calcolare il paniere di equilibrio di Aldo e rappresentarlo graficamente

SOLUZIONE

Per determinare la scelta ottimale dell’individuo è necessario uguagliare il saggio marginale di sostituzione al rapporto dei prezzi e porre a sistema l’equazione con il vincolo di bilancio. In questo caso, il rapporto dei prezzi dei due beni è

Quindi, possiamo risolvere il seguente sistema di equazioni che ci permette di considerare contemporaneamente la condizione di ottimo e il vincolo di bilancio:

Graficamente:

(d) Calcolare la spesa di Aldo per i due beni.

SOLUZIONE

Il paniere ottimo di Aldo comprende 45 yogurt (bene X), al costo di 2 l’uno, e 18 frutti (bene Y), al costo di 5 l’uno. La spesa per ogni singolo bene risulta:

S_X = 45·2 = 90
S_Y = 18·5 = 90

La spesa totale sarà uguale a

S = S_X + S_Y = 90+ 90 = 180

(e) Ipotizzando che nel supermercato siano disponibili soltanto 30 yogurt, si rappresenti il nuovo vincolo di bilancio.

SOLUZIONE

In questo caso, siamo in presenza di razionamento. Aldo non potrà comprare più di 30 yogurt. Sappiamo che il vincolo di bilancio risulterà spezzato poichè ogni unità di yogurt superiore a 30 non è accessibile per il consumatore. Possiamo rappresentare il nuovo vincolo di bilancio come segue ed è rappresentato dalla curva in blu:

(f) Date le preferenze descritte inizialmente dove sarà il nuovo paniere di equilibrio? Indicarlo sul grafico precedente.

SOLUZIONE

Chiaramente, non potendo consumare 45 yogurt, Aldo consumerà il numero massimo di yogurt disponibili nel supermercato. La spesa per l’acquisto di yogurt sarà di 30 · 2 = 60 euro, lasciando ad Aldo 180 − 60 = 120 euro da spendere per l’acquisto di frutti. Al prezzo di 5 euro l’uno, Aldo comprerà dunque 120/5 = 24 frutti. Possiamo rappresentare il nuovo paniere di equilibrio come segue:

 

 

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