Esercizi svolti sulla funzione di produzione, rendimenti di scala, costo medio, costo marginale

ESERCIZIO 1

Un’impresa produce il bene Q mediante la seguente funzione di produzione

Q = L^½ K^½

dove L e K rappresentano due fattori produttivi.
(a) Determinare la produttività marginale di L e K. Come cambiano le produttività per piccoli incrementi dei fattori?
SOLUZIONE

La produttività marginale misura l’aumento del livello di produzione generato dall’impiego di una ulteriore unità di uno dei due fattori, mantenendo costante la quantità impiegata dell’altro. Si ottiene calcolando la derivata parziale della funzione di produzione rispetto al fattore L e K :

Per il principio della produttività totale dei fattori: aumentando la quantità di tutti gli input, l’output che un’impresa può produrre aumenta strettamente (visto che utilizza metodi di produzione efficienti). Quindi la produttività marginale di ciascun input è sempre strettamente positiva. Questo significa che i fattori produttivi impiegati sono sempre produttivi. Tuttavia, l’incremento della produttività ottenuto aumentando solo uno dei due fattori è via via decrescente (oltre ad una certa soglia).
In altre parole se un fattore di produzione aumenta mentre gli altri rimangono fissi, gli aumenti della produzione finiranno per decrescere. Se volessimo, potremmo vedere questa proprietà derivando ulteriormente la produttività marginale rispetto al fattore che aumentiamo, per dimostrare la legge della produttività marginale decrescente:

Questo implica che per entrambi i fattori L e K, aumentare la quantità di solo uno dei fattori produttivi impiegati porta a ritorni via via decrescenti.

(b) Spiegare se la funzione presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti.

SOLUZIONE

I rendimenti di scala descrivono il comportamento dell’output quando la quantità utilizzata di entrambi i fattori produttivi variano nella stessa proporzione.

Nel nostro caso otteniamo:

ossia la funzione di produzione gode di rendimenti costanti di scala, in quanto moltiplicando per una costante τ positiva i fattori produttivi, la quantità di output che si ottiene risulta moltiplicata anch’essa per τ.
Si noti che, unicamente nel caso della funzione di produzione Cobb-Douglas, avremmo potuto più rapidamente osservare i rendimenti di scala direttamente dalla somma degli esponenti:

1/2 + 1/2= 1 (rendimenti costanti)

(c) Come sarebbe cambiata la risposta nel caso in cui la tecnologia fosse Q = 4LK^½ ? Verificatelo applicando la definizione.

SOLUZIONE
In questo caso la funzione di produzione gode di rendimenti crescenti di scala, in quanto moltiplicando per τ > 1 la quantità utilizzata di entrambi i fattori, la quantità prodotto dall’impresa aumenta più che proporzionalmente:

I rendimenti di scala sono crescenti. Infatti se sommassimo gli esponenti avremmo:
1+1/2 =3/2 > 1.

(d) Supponendo che i prezzi dei due fattori siano rispettivamente w = 4 e r = 16, e che l’impresa intenda produrre il suo output q nel modo più economico, individuate le funzioni di domanda condizionata dei fattori L(q) e K(q) e la funzione di costo totale di lungo periodo.

SOLUZIONE

La quantità di input che permette all’impresa di produrre nel modo più economico possibile dipende dai prezzi e dalla quantità di output che l’impresa intende produrre. Le funzioni di domanda condizionata esprimono la relazione tra i prezzi, l’output e la scelta ottimale dei fattori dell’impresa, condizionata dalla produzione di un certo livello di output. In altre parole le funzioni di domanda condizionata ci consentono di determinare la quantità di ciascun fattore che l’impresa impiegherebbe se intendesse produrre un livello dato di output al minimo costo possibile.
L’impresa sceglierà un punto in corrispondenza del quale l’inclinazione dell’isoquanto è uguale all’inclinazione della retta di isocosto, cioè quel punto in cui MRTS =W/R.
Il saggio marginale di sostituzione tecnica, che misura il saggio al quale è necessario sostituire un fattore produttivo con un altro al fine di mantenere invariato il livello di output prodotto, è pari a:

Sostituendo K con 1/4L nella funzione di produzione otteniamo:

Se esprimiamo quest’ultima equazione in funzione di L, otteniamo la domanda condizionata di L per l’impresa:

L(q) = 2q

Risostituendo questo valore in K =1/4L, otteniamo la domanda condizionata di K:

A questo punto possiamo scrivere la funzione di costo dell’impresa come:

 

(e) Si assuma che il fattore K sia fisso nel breve periodo, con K = 1. Calcolare le funzioni di costo totale, costo medio e costo marginale di breve periodo.

SOLUZIONE

In questo caso la funzione di domanda condizionata del fattore x₁ si può ottenere direttamente dalla funzione di produzione. Infatti nel breve periodo non è necessario calcolare ed ottenere alcuna combinazione ottimale di fattori, da che l’unico fattore produtivo variabile è (per convenzione) L. Sostituendo K = 1 nella funzione di produzione si ottiene

Come prima, la funzione di costo totale di breve periodo si ricava sostituendo la funzione di domanda condizionata nell’espressione per il costo totale:

Dalla funzione di costo totale possiamo ottenere la funzione di costo medio:

Notiamo che AC(q) risulta composta dalla somma della curva del costo medio fisso di breve periodo 16/q e dalla curva del costo medio variabile di breve periodo 4q. Dalla curva di costo totale di breve periodo calcoliamo poi la curva di costo marginale di breve periodo:

Si noti che essa risulta positivamente inclinata: cresce al crescere della produzione.

Dai un occhio a tutti gli altri esercizi di microeconomia:

 

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