Esercizi svolti sulla funzione di produzione con fattori perfetti complementi

ESERCIZIO 1

L’impresa Indigo produce un particolare tipo di vernice, ottenibile con la semplice miscelazione di due soli ingredienti: acqua distillata (A) ed uno speciale pigmento in polvere (P) brevettato dall’impresa. La formula di base per un litro di vernice prevede che si impieghino due litri d’acqua per ogni chilo di pigmento.
(a) Che tipo di tecnologia è seguita dall’impresa Indigo? Rappresentate graficamente la corrispondente mappa di isoquanti.

SOLUZIONE

Essendo i fattori utilizzati in proporzioni fisse, si tratta di una tecnologia con fattori perfetti complementi. Poichè 2 unità di A vanno sempre combinate con 1 unità di P per produrre 1 unità di output, ogni unità di P permette di realizzare il doppio di output rispetto ad ogni unità di A. Pertanto, la forma analitica della funzione di produzione è:

Q = min {½ A, P }

La retta che congiunge i vertici degli isoquanti di produzione ha equazione generica:

(b) È possibile definire un saggio marginale di sostituzione tecnica in questo caso?

SOLUZIONE
Nei punti che rappresentano le combinazioni di fattori rilevanti cioè i punti angolari il saggio marginale di sostituzione tecnica non è definito, mentre è nullo sui tratti orizzontali degli isoquanti ed è infinito sui tratti verticali: non c’è sostituibilità tra i fattori.

(c) Il costo dell’acqua è di 5 unità monetarie al litro, mentre quello del pigmento è di 6 al chilo. Quale costo sarà sostenuto dall’impresa Indigo per produrre in equilibrio 100 litri di vernice? Rappresentate l’equilibrio nel grafico.

SOLUZIONE

L’isoquanto di interesse è 100 = min {½ A, P }. In equilibrio abbiamo che:

Il costo di tale combinazione di fattori è:

C = 5A +6P = 1600

Graficamente troviamo il punto di intersezione tra retta di isocosto e retta che congiunge i vertici degli isoquanti di produzione come segue:

(d) Un cliente dell’impresa Indigo richiede un tipo di vernice più resistente al calore, per la quale è necessario impiegare un diverso tipo di pigmento, dal costo unitario di 8 al chilo. Quale sarà il costo per produrre 100 litri di vernice in questo caso?

SOLUZIONE

L’isoquanto di interesse è 100 = min {½ A, P }, invariato rispetto al punto precedente.
La combinazione ottimale dei fattori produttivi quindi non cambia. Essendo però cambiato il costo unitario del pigmento, il costo per produrre 100 litri di vernice diventa

C'(q) = 5A +8P = 5·200+8·100 = 1800

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