Funzione di Domanda in Microeconomia: Esercizi e Guida Completa per l’Esame

Comprendere la Domanda di Mercato: Esercizi Pratici di Microeconomia

Capire come i consumatori rispondono ai prezzi non è solo un esercizio accademico; è la chiave per prendere decisioni nel mondo degli affari e della politica. Immagina di poter anticipare quanto venderà un nuovo prodotto, o come una modifica di prezzo influenzerà i tuoi guadagni. Queste intuizioni sono al centro della microeconomia, in particolare quando si esplora la funzione di domanda.

Questo articolo ti guiderà passo dopo passo, attraverso una serie di esercizi pratici, per scoprire i segreti della domanda di mercato. Partiremo dalle basi, interpretando le semplici relazioni lineari, per poi addentrarci in concetti più sofisticati come l’elasticità, il surplus del consumatore e l’interazione con altri beni.

👉 Le funzioni di domanda

Esercizio 1 – Livello Base: Interpretazione di una Funzione di Domanda Lineare

TESTO:

Un negozio di elettronica ha osservato che la domanda settimanale di smartphone di un particolare modello segue la relazione:

[math]Q = 200 – 4P[/math],

dove Q rappresenta la quantità domandata (numero di telefoni) e P il prezzo in euro.

• Calcola la quantità domandata quando il prezzo è di 30€
• Determina il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare
• Qual è la quantità massima che verrebbe richiesta se il prodotto fosse gratuito?

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: La funzione di domanda [math]Q = a – bP[/math] rappresenta la relazione inversa tra prezzo e quantità domandata. Il parametro ‘a’ indica la domanda massima (quando P=0), mentre ‘b’ misura la sensibilità della domanda alle variazioni di prezzo.

a) Calcolo della quantità domandata a P = 30€:

[math]\begin{aligned} \displaystyle Q &= 200 – 4P \\ Q &= 200 – 4(30) \\ Q &= 200 – 120 \\ Q &= 80 \text{ smartphone} \end{aligned}[/math]

Sostituendo il prezzo di 30€ nella funzione, otteniamo che i consumatori domanderebbero 80 smartphone a settimana a questo prezzo.

b) Prezzo massimo (prezzo di riserva):

Il prezzo massimo si ottiene ponendo Q = 0:

[math]\begin{aligned} \displaystyle 0 &= 200 – 4P \\ 4P &= 200 \\ P &= 50€ \end{aligned}[/math]

Il prezzo di riserva (50€) rappresenta il prezzo massimo oltre il quale nessun consumatore è disposto ad acquistare. È un concetto fondamentale che indica la disponibilità a pagare del consumatore marginale.

c) Quantità massima (quando P = 0):

[math]\begin{aligned} \displaystyle Q &= 200 – 4(0) \\ Q &= 200 \text{ smartphone} \end{aligned}[/math]

Se il prodotto fosse gratuito, la domanda sarebbe di 200 unità. Questo rappresenta il limite fisico della domanda, dovuto a vincoli di reddito, bisogni, o altre limitazioni del mercato.

Questo esercizio è il punto di partenza per chiunque si avvicini alla microeconomia. In un contesto reale, un’azienda di elettronica potrebbe usare una funzione simile, derivata da dati storici di vendita, per prevedere le quantità domandate a diversi livelli di prezzo. Comprendere il prezzo massimo (o prezzo di riserva) aiuta a definire la fascia di prezzo accettabile per il mercato, mentre la quantità massima a prezzo zero offre un’idea del potenziale teorico di mercato in assenza di vincoli di costo.

La sua semplicità permette di cogliere immediatamente la relazione inversa tra prezzo e quantità, e introduce i concetti fondamentali di intercetta verticale (prezzo massimo) e orizzontale (quantità massima), che sono le basi per successive analisi più complesse come il surplus del consumatore.

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Esercizio 2 – Livello Base-Intermedio: Elasticità della Domanda

TESTO:

Una catena di caffetterie ha rilevato che quando il prezzo del caffè è di 2€, vende 1000 tazzine al giorno. Dopo aver aumentato il prezzo a 2,50€, le vendite sono scese a 800 tazzine al giorno.

• Calcola l’elasticità della domanda rispetto al prezzo
• Interpreta economicamente il risultato
• Cosa accadrebbe ai ricavi se il prezzo aumentasse ulteriormente?

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: L’elasticità della domanda rispetto al prezzo misura la reattività della quantità domandata alle variazioni di prezzo. Si calcola come: [math]\varepsilon_d = \frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P} = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \times \frac{P}{Q}[/math].

a) Calcolo dell’elasticità:

Dati:

• [math]P_1 = 2€[/math], [math]Q_1 = 1000[/math]
• [math]P_2 = 2,50€[/math], [math]Q_2 = 800[/math]

Usando la formula dell’elasticità punto-media:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon_d &= [(Q_2 – Q_1)/(Q_1 + Q_2)/2] / [(P_2 – P_1)/(P_1 + P_2)/2] \\ \varepsilon_d &= [(800 – 1000)/(1000 + 800)/2] / [(2,50 – 2)/(2 + 2,50)/2] \\ \varepsilon_d &= [-200/900] / [0,50/2,25] \\ \varepsilon_d &= -0,222 / 0,222 = -1 \end{aligned}[/math]

L’elasticità di -1 indica una domanda a elasticità unitaria. Il segno negativo conferma la legge della domanda (relazione inversa prezzo-quantità).

b) Interpretazione economica:

Con [math]\varepsilon_d = -1[/math], un aumento del prezzo dell’1% causa una diminuzione della quantità domandata dell’1%. La domanda è moderatamente reattiva alle variazioni di prezzo.

c) Effetto sui ricavi:

• Ricavi iniziali: [math]R_1 = 2 \times 1000 = 2000€[/math]
• Ricavi finali: [math]R_2 = 2,50 \times 800 = 2000€[/math]

Con elasticità unitaria, i ricavi rimangono costanti. Questo è un risultato teorico importante: quando [math]|\varepsilon_d| = 1[/math], le variazioni di prezzo non influenzano i ricavi totali.

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Esercizio 3 – Livello Intermedio: Funzione di Domanda Inversa e Surplus del Consumatore

TESTO:

Il mercato dei tablet in una città segue la funzione di domanda: [math]Q = 800 – 2P[/math]. Il prezzo di mercato si è stabilizzato a 150€.

• Ricava la funzione di domanda inversa
• Calcola il surplus del consumatore
• Se il governo introducesse una tassa di 50€ per tablet, quale sarebbe il nuovo surplus del consumatore?

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: La funzione di domanda inversa esprime il prezzo in funzione della quantità: [math]P = f(Q)[/math]. Il surplus del consumatore rappresenta il beneficio netto che i consumatori traggono dal mercato, misurato come l’area tra la curva di domanda e il prezzo di mercato.

a) Funzione di domanda inversa:

Partendo da [math]Q = 800 – 2P[/math], risolviamo per P:

[math]\displaystyle \begin{aligned} Q &= 800 – 2P \\ 2P &= 800 – Q \\ P &= 400 – 0,5Q \end{aligned}[/math]

La funzione inversa è fondamentale per calcolare il surplus del consumatore e per analisi grafiche.

b) Calcolo del surplus del consumatore:

Prima determiniamo la quantità domandata al prezzo di 150€:

[math]Q = 800 – 2(150) = 800 – 300 = 500 \text{ tablet}[/math]

Il surplus del consumatore è l’area del triangolo tra la curva di domanda e il prezzo di mercato:

• Prezzo massimo (quando Q = 0): [math]P = 400€[/math]
• Surplus = ½ × base × altezza
• [math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Surplus} &= \frac{1}{2} \times 500 \times (400 – 150) \\ \text{Surplus} &= \frac{1}{2} \times 500 \times 250 = 62.500€ \end{aligned}[/math]

Il surplus di 62.500€ rappresenta il beneficio netto totale che i consumatori ottengono acquistando tablet a 150€ invece del loro prezzo di riserva.

c) Effetto della tassa:

Con una tassa di 50€, il nuovo prezzo per i consumatori diventa 200€:

[math]\begin{aligned} \displaystyle Q &= 800 – 2(200) = 400 \text{ tablet} \\ \text{Nuovo surplus} &= \frac{1}{2} \times 400 \times (400 – 200) = \frac{1}{2} \times 400 \times 200 = 40.000€ \\ \text{Perdita di surplus} &= 62.500 – 40.000 = 22.500€ \end{aligned}[/math]

La tassa riduce sia la quantità scambiata che il surplus del consumatore, evidenziando il costo sociale delle imposte.

La funzione di domanda inversa è essenziale per la rappresentazione grafica e il calcolo del surplus del consumatore, un indicatore chiave del benessere dei consumatori. Le aziende, sebbene non calcolino direttamente il surplus, beneficiano indirettamente di un elevato surplus, poiché indica un mercato sano e consumatori soddisfatti. L’introduzione di una tassa mostra chiaramente come le politiche governative possano impattare sul benessere dei consumatori, riducendo il loro surplus.

L’esercizio collega la rappresentazione algebrica (funzione di domanda inversa) con un concetto di benessere economico (surplus del consumatore). La simulazione dell’impatto di una tassa rende tangibile il “costo sociale” delle imposte, introducendo il tema dell’efficienza di mercato e delle distorsioni causate dagli interventi esterni.

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Esercizio 4 – Livello Intermedio-Avanzato: Domanda con Beni Sostituti

TESTO:

Un’azienda di trasporti ha stimato che la domanda di biglietti per autobus dipende dal proprio prezzo e dal prezzo dei treni secondo la funzione: [math]Q = 1000 – 5P + 2P_t[/math], dove P è il prezzo dell’autobus e [math]P_t[/math] è il prezzo del treno.

• Calcola la domanda quando P = 10€ e [math]P_t = 25€[/math]
• Determina l’elasticità della domanda rispetto al prezzo dell’autobus
• Calcola l’elasticità incrociata rispetto al prezzo del treno
• Interpreta economicamente i risultati

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: In presenza di beni sostituti, la domanda dipende non solo dal prezzo del bene stesso ma anche dai prezzi dei beni alternativi. L’elasticità incrociata misura la reattività della domanda di un bene alle variazioni del prezzo di un altro bene.

a) Calcolo della domanda:

[math]\begin{aligned} \displaystyle Q &= 1000 – 5P + 2P_t \\ Q &= 1000 – 5(10) + 2(25) \\ Q &= 1000 – 50 + 50 \\ Q &= 1000 \text{ biglietti} \end{aligned}[/math]

La domanda risulta essere 1000 biglietti, equilibrando l’effetto negativo del prezzo dell’autobus con l’effetto positivo del prezzo del treno.

b) Elasticità della domanda rispetto al prezzo dell’autobus:

[math]\begin{aligned} \displaystyle \varepsilon_d &= (\partial Q/\partial P) \times (P/Q) \\ \partial Q/\partial P &= -5 \\ \varepsilon_d &= -5 \times (10/1000) = -0,05 \end{aligned}[/math]

L’elasticità di -0,05 indica una domanda molto rigida. Un aumento del prezzo dell’autobus del 10% riduce la quantità domandata solo dello 0,5%.

c) Elasticità incrociata:

[math]\begin{aligned} \displaystyle \varepsilon_c &= (\partial Q/\partial P_t) \times (P_t/Q) \\ \partial Q/\partial P_t &= 2 \\ \varepsilon_c &= 2 \times (25/1000) = 0,05 \end{aligned}[/math]

L’elasticità incrociata positiva (0,05) conferma che autobus e treni sono beni sostituti. Un aumento del prezzo del treno del 10% aumenta la domanda di autobus dello 0,5%.

d) Interpretazione economica:

• La domanda di autobus è rigida rispetto al proprio prezzo
• Autobus e treni sono beni sostituti, ma la sostituibilità è limitata
• L’azienda ha un certo potere di mercato dato che la domanda è anelastica

In un mercato reale, pochissimi prodotti esistono in isolamento. Le decisioni di acquisto sono influenzate dai prezzi dei beni correlati. Per un’azienda di trasporti, sapere che autobus e treni sono sostituti (e in che misura) è vitale per la strategia di prezzo. Se il prezzo dei treni aumenta, l’azienda di autobus sa che può aspettarsi un aumento della domanda, anche a parità di proprio prezzo, o potrebbe considerare di aumentare i propri prezzi senza perdere troppi clienti.

Questo esercizio introduce il concetto di elasticità incrociata, un parametro fondamentale per analizzare le relazioni tra prodotti. La derivata parziale ([math]\partial Q/\partial P[/math]) evidenzia come, in funzioni di domanda multivariabili, si isoli l’effetto di una singola variabile mantenendo le altre costanti. La dimostrazione che l’elasticità incrociata è positiva conferma la natura di sostituto, un’informazione preziosa per le strategie di marketing e concorrenza.

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Esercizio 5 – Livello Avanzato: Domanda Segmentata e Discriminazione di Prezzo

TESTO:

Un cinema ha due tipi di clienti: studenti universitari e lavoratori. Ha stimato le seguenti funzioni di domanda:

• Studenti: [math]Q_s = 100 – 2P_s[/math]
• Lavoratori: [math]Q_l = 200 – P_l[/math]

Il costo marginale per biglietto è costante e pari a 5€.

• Calcola il prezzo ottimale per ciascun segmento se il cinema può praticare discriminazione di prezzo
• Determina i ricavi totali e il surplus del consumatore per ciascun segmento
• Confronta con il caso di prezzo unico per entrambi i segmenti

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: La discriminazione di prezzo consente di massimizzare i profitti applicando prezzi diversi a segmenti con elasticità differenti. La regola ottimale è: Ricavo Marginale = Costo Marginale per ogni segmento.

a) Prezzi ottimali con discriminazione:

Per gli studenti:

Funzione di domanda inversa: [math]P_s = 50 – 0,5Q_s[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Ricavo Marginale}: RM_s &= 50 – Q_s \\ \text{Condizione di ottimo}: RM_s &= CM \\ 50 – Q_s &= 5 \\ Q_s &= 45 \text{ studenti} \\ P_s &= 50 – 0,5(45) = 27,5€ \end{aligned}[/math]

Per i lavoratori:

Funzione di domanda inversa: [math]P_l = 200 – Q_l[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Ricavo Marginale}: RM_l &= 200 – 2Q_l \\ \text{Condizione di ottimo}: RM_l &= CM \\ 200 – 2Q_l &= 5 \\ 2Q_l &= 195 \\ Q_l &= 97,5 \text{ lavoratori} \\ P_l &= 200 – 97,5 = 102,5€ \end{aligned}[/math]

Gli studenti pagano meno perché hanno una domanda più elastica, mentre i lavoratori pagano di più avendo una domanda meno elastica.

b) Ricavi e surplus per segmento:

Studenti:

• Ricavi: [math]R_s = 27,5 \times 45 = 1.237,5€[/math]
• Surplus: [math]SC_s = \frac{1}{2} \times 45 \times (50 – 27,5) = 506,25€[/math]

Lavoratori:

• Ricavi: [math]R_l = 102,5 \times 97,5 = 9.993,75€[/math]
• Surplus: [math]SC_l = \frac{1}{2} \times 97,5 \times (200 – 102,5) = 4.753,125€[/math]

Ricavi totali: [math]1.237,5 + 9.993,75 = 11.231,25€[/math]

c) Confronto con prezzo unico:

Domanda aggregata: [math]Q = Q_s + Q_l = (100 – 2P) + (200 – P) = 300 – 3P[/math]

Domanda inversa: [math]P = 100 – Q/3[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Ricavo Marginale}: RM &= 100 – 2Q/3 \\ \text{Condizione di ottimo}: 100 – 2Q/3 &= 5 \\ 2Q/3 &= 95 \\ Q &= 142,5 \\ P &= 100 – 142,5/3 = 52,5€ \end{aligned}[/math]

Ricavi con prezzo unico: [math]52,5 \times 142,5 = 7.481,25€[/math]

La discriminazione di prezzo aumenta i ricavi da 7.481,25€ a 11.231,25€ (+50%), dimostrando l’efficacia di questa strategia quando i segmenti hanno elasticità diverse.

Questo è un esercizio avanzato con profonde implicazioni manageriali. Molte aziende, dai cinema alle compagnie aeree, praticano la discriminazione di prezzo per massimizzare i profitti. Capire che segmenti diversi (studenti vs. lavoratori) hanno diverse sensibilità al prezzo (elasticità diverse) permette di ottimizzare i ricavi totali. Se il cinema applicasse un prezzo unico, perderebbe una significativa quota di ricavi.

L’esercizio applica il principio di uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale (RM=CM) a segmenti di mercato separati. Dimostra numericamente come la discriminazione di prezzo, pur riducendo il surplus per alcuni consumatori, aumenti i profitti totali per l’impresa, sollevando anche questioni etiche e di equità che possono essere oggetto di discussione. È un ottimo esempio di come la teoria microeconomica supporti decisioni strategiche complesse.

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Esercizio 6 – Livello Avanzato: Domanda con Vincolo di Reddito e Beni Complementari

TESTO:

Una famiglia ha un reddito mensile di 3000€ da destinare a due categorie di beni: alimentari (A) e intrattenimento (I). La funzione di utilità è [math]U = A^{0,6} \times I^{0,4}[/math], dove [math]P_A = 10€[/math] e [math]P_I = 20€[/math].

• Deriva la funzione di domanda per entrambi i beni
• Calcola l’elasticità della domanda rispetto al reddito
• Analizza cosa accade se il prezzo dell’intrattenimento aumenta del 25%
• Determina l’effetto sostituzione e l’effetto reddito

RISOLUZIONE:

Richiami teorici: Con funzione di utilità Cobb-Douglas [math]U = A^{\alpha} \times I^{\beta}[/math], la domanda ottimale è data dalla regola: [math]\alpha/(\alpha+\beta)[/math] del reddito va al bene A, [math]\beta/(\alpha+\beta)[/math] va al bene I. Gli effetti di prezzo si decompongono in effetto sostituzione (movimento lungo la curva di indifferenza) ed effetto reddito (spostamento tra curve).

a) Funzioni di domanda:

Con [math]\alpha = 0,6[/math] e [math]\beta = 0,4[/math]:

• Share di reddito per A: [math]\alpha/(\alpha+\beta) = 0,6/(0,6+0,4) = 0,6[/math]
• Share di reddito per I: [math]\beta/(\alpha+\beta) = 0,4/(0,6+0,4) = 0,4[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Spesa per A}: 0,6 \times 3000 &= 1800€ \\ \text{Spesa per I}: 0,4 \times 3000 &= 1200€ \end{aligned}[/math]

Quantità domandate:

[math]\displaystyle \begin{aligned} Q_A &= 1800/10 = 180 \text{ unità} \\ Q_I &= 1200/20 = 60 \text{ unità} \end{aligned}[/math]

Funzioni di domanda:

[math]\displaystyle \begin{aligned} Q_A &= 0,6 \times (R/P_A) = 0,6 \times (3000/10) = 1800/P_A \\ Q_I &= 0,4 \times (R/P_I) = 0,4 \times (3000/20) = 1200/P_I \end{aligned}[/math]

Con preferenze Cobb-Douglas, la quota di reddito destinata a ciascun bene rimane costante indipendentemente dai prezzi.

b) Elasticità della domanda rispetto al reddito:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon_{R,A} &= (\partial Q_A/\partial R) \times (R/Q_A) \\ \varepsilon_{R,A} &= (1800/P_A^2) \times (R/Q_A) \\ \varepsilon_{R,A} &= (1800/10^2) \times (3000/180) = 18 \times 16,67 = 1 \end{aligned}[/math]

Per entrambi i beni, l’elasticità rispetto al reddito è unitaria, caratteristica tipica delle preferenze Cobb-Douglas. Sono beni normali con elasticità costante.

c) Effetto dell’aumento del prezzo dell’intrattenimento:

Nuovo prezzo: [math]P_I’ = 20 \times 1,25 = 25€[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \text{Nuova quantità}: Q_I’ &= 1200/25 = 48 \text{ unità} \\ \text{Variazione}: \Delta Q_I &= 48 – 60 = -12 \text{ unità (-20%)} \end{aligned}[/math]

L’elasticità rispetto al prezzo è unitaria (variazione percentuale uguale a quella del prezzo), caratteristica delle funzioni Cobb-Douglas.

d) Scomposizione degli effetti:

• Effetto sostituzione: Con utilità Cobb-Douglas, l’effetto sostituzione è nullo perché le quote di reddito rimangono costanti.
• Effetto reddito: L’intero effetto è dovuto alla riduzione del potere d’acquisto.
  • Reddito reale iniziale: 3000€
  • Reddito reale finale: 3000€ ma con prezzi più alti
  • Perdita di potere d’acquisto: equivalente a riduzione del reddito nominale

Questo è un caso particolare delle preferenze Cobb-Douglas: tutto l’effetto prezzo è effetto reddito, non c’è effetto sostituzione perché le preferenze sono omotetiche.

Questo esercizio si sposta su un’analisi più profonda delle decisioni del consumatore, introducendo il concetto di funzione di utilità e vincolo di bilancio. Per un’azienda, capire come il reddito dei consumatori influenzi la domanda dei propri prodotti (elasticità al reddito) è cruciale per la pianificazione a lungo termine. Se l’elasticità al reddito è elevata, il prodotto è sensibile ai cicli economici. L’analisi degli effetti di prezzo (sostituzione e reddito) aiuta a comprendere la vera ragione dietro un cambiamento nella quantità domandata.

La scelta di una funzione di utilità Cobb-Douglas è significativa. Permette di derivare le funzioni di domanda in modo elegante, mostrando che per questi beni la quota di spesa per ciascuno è costante rispetto al reddito. La peculiarità più interessante è che, con le preferenze Cobb-Douglas, l’effetto sostituzione è nullo (o meglio, viene assorbito dall’effetto reddito, poiché la proporzione di spesa rimane fissa). Questo rende l’esercizio un caso speciale utile per sottolineare le caratteristiche specifiche di certe funzioni di utilità. L’analisi è più astratta ma fondamentale per un’analisi di microeconomia avanzata.

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Suggerimenti per l’Esame

• Memorizza le formule chiave: elasticità, surplus del consumatore, condizioni di ottimo
• Pratica la derivazione: sia algebrica che grafica delle funzioni di domanda
• Comprendi i concetti: non solo calcola, ma interpreta economicamente i risultati
• Attenzione ai casi speciali: Cobb-Douglas, domanda lineare, beni perfetti sostituti/complementari
• Controlla sempre le unità di misura e la coerenza dei risultati economici