Esercizi sul Modello di Hotelling: Posizionamento di Due Imprese

Il modello di Hotelling analizza come le imprese scelgono le loro posizioni in un mercato lineare per massimizzare i profitti, considerando la concorrenza e le preferenze dei consumatori. Attraverso esercizi pratici, l’articolo  mira a chiarire i principi del modello e le sue applicazioni nel contesto della localizzazione commerciale.

Esercizio 1: Posizionamento di Due Imprese

Immagina un mercato lineare lungo un’unità di lunghezza (da 0 a 1). Due imprese, A e B, devono scegliere le loro posizioni. Se l’impresa A si posiziona a 0.2 e l’impresa B a 0.8, calcola la quota di mercato di ciascuna impresa.

Soluzione

• Analisi Approfondita dell’Esercizio 1:

  Scenario:

  Mercato lineare di lunghezza 1 (da 0 a 1).
  Impresa A posizionata a a = 0.2
  Impresa B posizionata a b = 0.8
  Costo di trasporto per unità di distanza: t (assumeremo t = 1 per semplicità, ma il ragionamento è generale).
  Caso 1: Prezzi Uguali (P_A = P_B)

  Se i prezzi sono uguali, il consumatore indifferente si trova esattamente a metà strada tra le due imprese:

  x = (a + b)/2 = (0.2 + 0.8)/2 = 0.5

  Quota di mercato di A: 0.5 (50%) – Tutti i consumatori tra 0 e 0.5 comprano da A.
  Quota di mercato di B: 0.5 (50%) – Tutti i consumatori tra 0.5 e 1 comprano da B.

Il modello di Hotelling diventa più interessante (e complesso) quando consideriamo la possibilità che le imprese applichino prezzi diversi. Approfondiamo quindi l’esercizio considerando anche questo aspetto.

• Caso 2: Prezzi Diversi (P_A ≠ P_B)

Qui le cose si complicano un po’. Applichiamo la formula per trovare il consumatore indifferente:

x = (a + b)/2 + (P_B – P_A)/(2*t)

x = (0.2 + 0.8)/2 + (P_B – P_A)/(2*1)

x = 0.5 + (P_B – P_A)/2

Analizziamo nel dettaglio il Caso 2 (Prezzi Diversi) nel modello di Hotelling, con particolare attenzione alla formula per il consumatore indifferente:

Ricapitoliamo le Variabili:

x: Posizione del consumatore indifferente (il consumatore che è ugualmente soddisfatto di acquistare da A o da B).
a: Posizione dell’impresa A (0.2 nell’esercizio).
b: Posizione dell’impresa B (0.8 nell’esercizio).
P_A: Prezzo praticato dall’impresa A.
P_B: Prezzo praticato dall’impresa B.
t: Costo di trasporto per unità di distanza (assunto uguale a 1 per semplicità nell’esercizio, ma manteniamolo generico per la spiegazione).

Derivazione della Formula del Consumatore Indifferente:

L’idea fondamentale è che il consumatore indifferente x è colui per il quale il costo totale di acquisto da A è uguale al costo totale di acquisto da B. Il costo totale è composto dal prezzo del prodotto più il costo di trasporto.

Costo totale da A: P_A + t|x – a|
Costo totale da B: P_B + t|x – b|

Imponiamo l’uguaglianza:

P_A + t|x – a| = P_B + t|x – b|

Dato che stiamo considerando il caso in cui il consumatore indifferente si trova tra le due imprese (a < x < b), possiamo semplificare i valori assoluti:

P_A + t(x – a) = P_B + t(b – x)

Ora risolviamo l’equazione per x:

P_A + tx – ta = P_B + tb – tx
2tx = P_B – P_A + ta + tb
x = (P_B – P_A + ta + tb)/(2*t)
x = (P_B – P_A)/(2*t) + (a + b)/2
Questa è la formula generale per il consumatore indifferente.

Applicazione all’Esercizio (t = 1, a = 0.2, b = 0.8):

Sostituendo i valori dell’esercizio (t = 1, a = 0.2, b = 0.8) nella formula generale, otteniamo:

x = (P_B – P_A)/(2*1) + (0.2 + 0.8)/2

x = (P_B – P_A)/2 + 0.5

che è la formula vista sopra.

Interpretazione Dettagliata:

0.5: Questo termine rappresenta il punto medio tra le due imprese. Se i prezzi fossero uguali (P_A = P_B), il consumatore indifferente si troverebbe esattamente a metà strada.
(P_B – P_A)/2: Questo termine rappresenta lo spostamento del consumatore indifferente a causa della differenza di prezzo.
Se P_B > P_A (il prezzo di B è maggiore del prezzo di A), questo termine è positivo, quindi x aumenta. Il consumatore indifferente si sposta verso destra (più vicino a B). Questo significa che A conquista una quota di mercato maggiore, poiché anche alcuni consumatori che si trovano più vicini a B preferiranno comprare da A a causa del prezzo più basso.
Se P_A > P_B (il prezzo di A è maggiore del prezzo di B), questo termine è negativo, quindi x diminuisce. Il consumatore indifferente si sposta verso sinistra (più vicino a A). B conquista una quota di mercato maggiore.
Esempio Numerico Chiarificatore (con t=1, a=0.2, b=0.8):

Supponiamo che P_A = 1 e P_B = 1.5.

x = (1.5 – 1)/2 + 0.5 = 0.25 + 0.5 = 0.75

Il consumatore indifferente si trova a 0.75. Questo significa che:

I consumatori tra 0 e 0.75 (75% del mercato) comprano da A.
I consumatori tra 0.75 e 1 (25% del mercato) comprano da B.
Nonostante B sia posizionato più a destra, A conquista una quota di mercato maggiore grazie al suo prezzo inferiore.

In Conclusione:

La formula x = (a + b)/2 + (P_B – P_A)/(2*t) è fondamentale nel modello di Hotelling con prezzi variabili. Permette di determinare come la differenza di prezzo tra le imprese influenzi la divisione del mercato, date le loro posizioni. Comprendere questa formula è cruciale per analizzare le strategie di prezzo e di posizionamento delle imprese in contesti di concorrenza spaziale o di differenziazione del prodotto.

Altri Esempi con Prezzi Diversi:

Esempio 2a: P_A = 1, P_B = 2
x = 0.5 + (2 – 1)/2 = 0.5 + 0.5 = 1

In questo caso, poiché il prezzo di B è significativamente più alto, tutti i consumatori (fino a x = 1) preferiscono comprare da A.

Quota di mercato di A: 1 (100%)

Quota di mercato di B: 0 (0%)

Esempio 2b: P_A = 2, P_B = 1

x = 0.5 + (1 – 2)/2 = 0.5 – 0.5 = 0

In questo caso, poiché il prezzo di A è significativamente più alto, tutti i consumatori (da x = 0) preferiscono comprare da B.

Quota di mercato di A: 0 (0%)

Quota di mercato di B: 1 (100%)

Esempio 2c: P_A = 1.2, P_B = 1.4

x = 0.5 + (1.4 – 1.2)/2 = 0.5 + 0.1 = 0.6

Quota di mercato di A: 0.6 (60%)
Quota di mercato di B: 0.4 (40%)

L’esercizio mostra chiaramente come il posizionamento influenzi le quote di mercato, ma anche come i prezzi giochino un ruolo cruciale.

Posizionamento: Se le imprese si posizionano simmetricamente rispetto al centro (come in questo esercizio), in caso di prezzi uguali si spartiscono equamente il mercato.
Prezzi: Differenze di prezzo possono spostare significativamente le quote di mercato, anche a parità di posizionamento. Un prezzo più basso attrae più consumatori, ma l’impresa deve considerare anche i suoi costi e il profitto.

Implicazioni per il Marketing:

Questo esercizio illustra importanti concetti di marketing:

Segmentazione: Le imprese si rivolgono a segmenti di consumatori diversi in base alla loro posizione.
Pricing: La strategia di prezzo è fondamentale e deve essere coordinata con la strategia di posizionamento.
Differenziazione: In questo caso, la differenziazione è data dalla posizione. In altri contesti, potrebbe essere data da caratteristiche del prodotto, qualità, immagine del marchio, ecc.
Per un’analisi ancora più completa, si dovrebbe considerare anche come le imprese scelgono ottimamente la loro posizione e il loro prezzo per massimizzare il profitto, tenendo conto della reazione dell’altra impresa (questo porta a concetti di equilibrio di Nash e curve di reazione, più complessi da calcolare ma concettualmente molto importanti).

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