La parabola: tangenti, corde focali e triangolo tangenziale – 3 esercizi svolti

Nel precedente approfondimento abbiamo studiato la parabola attraverso la sua definizione geometrica, il rapporto tra fuoco e direttrice, le equazioni delle tangenti e alcuni problemi relativi ai luoghi geometrici. Questa seconda parte prosegue il percorso, affrontando proprietà che richiedono un uso più articolato della parametrizzazione e collegano tra loro diversi elementi della curva.

I tre esercizi proposti aumentano progressivamente il livello di difficoltà. Nel primo si dimostrano alcune proprietà geometriche della tangente, dalla relazione con il punto medio di un segmento alla proprietà ottica, fino alla condizione che rende perpendicolari due tangenti. Nel secondo si studiano le corde focali, si determina la loro lunghezza minima e si ricava il luogo geometrico descritto dai rispettivi punti medi. Nell’ultimo esercizio, di livello olimpionico, si considera il triangolo formato dalle intersezioni delle tangenti condotte in tre punti distinti della parabola, dimostrando una relazione tra le aree di due triangoli e una proprietà della circonferenza circoscritta.

Il filo conduttore è la parametrizzazione della parabola, che consente di trasformare condizioni geometriche in relazioni algebriche relativamente semplici. Il passaggio più interessante consiste però nell’interpretare nuovamente queste relazioni dal punto di vista geometrico, riconoscendo come risultati apparentemente indipendenti possano derivare dalla stessa struttura.

Gli esercizi sono pensati per studenti che hanno già acquisito familiarità con le coniche e con la geometria analitica e desiderano affrontare dimostrazioni più articolate, nelle quali coordinate, prodotti scalari, determinanti e identità algebriche diventano strumenti di ragionamento.

Richiamo delle formule fondamentali

Consideriamo la parabola con asse coincidente con l’asse delle ascisse:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Gamma:y^2=4px,\qquad p>0 \end{aligned}[/math]

Il vertice è [math]V=(0,0)[/math], il fuoco è [math]F=(p,0)[/math] e la direttrice ha equazione [math]x=-p[/math].

Un punto generico della parabola può essere rappresentato mediante il parametro reale [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} P(t)=(pt^2,2pt) \end{aligned}[/math]

La tangente in questo punto ha equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ty=x+pt^2 \end{aligned}[/math]

Se consideriamo due punti distinti [math]P(t_1)[/math] e [math]P(t_2)[/math], le rispettive tangenti si incontrano nel punto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} T_{12}=\left(pt_1t_2,\ p(t_1+t_2)\right) \end{aligned}[/math]

Queste relazioni saranno utilizzate nei tre esercizi, con particolare attenzione al caso [math]p=1[/math], che permette di semplificare i calcoli senza perdere generalità nei risultati geometrici.

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ESERCIZIO 4 – Tre proprietà della tangente

Livello: difficile

Testo

Sia data la parabola

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Gamma:y^2=4x \end{aligned}[/math]

e sia [math]P(t)=(t^2,2t)[/math] un suo punto. Il fuoco è [math]F=(1,0)[/math] e la direttrice è [math]x=-1[/math].

1. Scrivi l’equazione della tangente in [math]P[/math] e indica con [math]N[/math] la sua intersezione con l’asse [math]x[/math]. Sia [math]M[/math] il piede della perpendicolare condotta da [math]P[/math] all’asse [math]x[/math]. Dimostra che [math]V=(0,0)[/math] è il punto medio di [math]MN[/math].
2. Dimostra la proprietà ottica della parabola: un raggio che parte dal fuoco e raggiunge [math]P[/math], riflettendosi sulla tangente in [math]P[/math], prosegue parallelamente all’asse della parabola. Precisa il significato della tangente come bisettrice: a seconda del punto [math]P[/math], essa biseca l’angolo interno o quello esterno formato dalle rette [math]FP[/math] e dall’asse.
3. Dimostra che le tangenti nei punti di parametri distinti [math]t_1,t_2[/math] sono perpendicolari se e solo se [math]t_1t_2=-1[/math]. In tal caso, dimostra che il loro punto d’intersezione appartiene alla direttrice.

Richiamo delle formule

La tangente in [math]P(t)=(t^2,2t)[/math] ha equazione

[math]\displaystyle \begin{aligned} ty=x+t^2, \end{aligned}[/math]

ossia

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=ty-t^2. \end{aligned}[/math]

Un suo vettore direttore è [math]\vec d=(t,1)[/math].

Le tangenti nei punti di parametri [math]t_1,t_2[/math] si incontrano in

[math]\displaystyle \begin{aligned} T=(t_1t_2,\,t_1+t_2). \end{aligned}[/math]

1. Il vertice è il punto medio di [math]MN[/math]

Per trovare l’intersezione [math]N[/math] della tangente con l’asse [math]x[/math], poniamo [math]y=0[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=-t^2, \quad N=(-t^2,0). \end{aligned}[/math]

Poiché [math]M[/math] è il piede della perpendicolare da [math]P=(t^2,2t)[/math] all’asse [math]x[/math],

[math]\displaystyle \begin{aligned} M=(t^2,0). \end{aligned}[/math]

Il punto medio di [math]MN[/math] è

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{t^2-t^2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(0,0)=V. \end{aligned}[/math]

La proprietà vale per ogni [math]t\in\mathbb R[/math]. Per [math]t=0[/math], [math]M[/math] e [math]N[/math] coincidono con il vertice.

2. La proprietà ottica

Il vettore che indica la direzione del raggio incidente, da [math]F[/math] verso [math]P[/math], è

[math]\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{FP}=(t^2-1,2t). \end{aligned}[/math]

La sua lunghezza è

[math]\displaystyle \begin{aligned} |\overrightarrow{FP}|=\sqrt{(t^2-1)^2+4t^2}=t^2+1. \end{aligned}[/math]

Quindi il versore nella direzione del raggio incidente è

[math]\displaystyle \begin{aligned} \vec u=\left(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right). \end{aligned}[/math]

Un versore lungo la tangente è

[math]\displaystyle \begin{aligned} \vec e=\frac{(t,1)}{\sqrt{t^2+1}}. \end{aligned}[/math]

La riflessione di un vettore [math]\vec u[/math] rispetto alla retta di direzione unitaria [math]\vec e[/math] si ottiene con la formula

[math]\displaystyle \begin{aligned} \vec r=2(\vec u\cdot\vec e)\vec e-\vec u. \end{aligned}[/math]

In questo caso,

[math]\displaystyle \begin{aligned} \vec u\cdot\vec e=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}, \end{aligned}[/math]

e pertanto

[math]\displaystyle \begin{aligned} \vec r&=2\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\frac{(t,1)}{\sqrt{t^2+1}}-\left(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right)\\ &=(1,0). \end{aligned}[/math]

La direzione del raggio riflesso è dunque quella dell’asse [math]x[/math] positivo: la parabola riflette il raggio proveniente dal fuoco parallelamente al proprio asse.

Questa dimostrazione chiarisce anche il ruolo della tangente come bisettrice. La riflessione in una retta scambia la direzione del raggio incidente con quella del raggio riflesso; di conseguenza, la tangente biseca l’angolo tra le direzioni dei due raggi. La scelta tra bisettrice interna ed esterna dipende dalla posizione di [math]P[/math]: non è corretto affermare senza precisazioni che si tratti sempre della bisettrice interna dell’angolo minore tra le semirette [math]FP[/math] e [math]+x[/math].

Per [math]t=2[/math], ad esempio, [math]P=(4,4)[/math], [math]\overrightarrow{FP}=(3,4)[/math] e la tangente ha direzione [math](2,1)[/math]. In questa configurazione la tangente è la bisettrice interna dell’angolo tra la direzione [math]FP[/math] e quella positiva dell’asse. Per altri valori di [math]t[/math], può invece corrispondere alla bisettrice esterna. Nel caso [math]t=0[/math], il raggio incidente è diretto verso sinistra, quello riflesso verso destra e la tangente verticale divide l’angolo piatto in due angoli retti.

3. Perpendicolarità tra due tangenti

Per [math]t_i\neq0[/math], la tangente si può scrivere nella forma

[math]\displaystyle \begin{aligned} y=\frac{x}{t_i}+t_i, \end{aligned}[/math]

quindi il suo coefficiente angolare è [math]m_i=1/t_i[/math]. Due tangenti non verticali sono perpendicolari se e solo se

[math]\displaystyle \begin{aligned} m_1m_2=-1, \end{aligned}[/math]

ossia

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{t_1t_2}=-1 \iff t_1t_2=-1. \end{aligned}[/math]

Se uno dei parametri è zero, la tangente corrispondente è verticale; nessun’altra tangente della parabola è orizzontale. Questo caso non produce quindi una coppia perpendicolare, coerentemente con la condizione [math]t_1t_2=-1[/math].

Quando [math]t_1t_2=-1[/math], il punto d’intersezione delle tangenti è

[math]\displaystyle \begin{aligned} T=(t_1t_2,\,t_1+t_2)=(-1,\,t_1+t_2), \end{aligned}[/math]

la cui ascissa è [math]-1[/math]. Dunque [math]T[/math] appartiene alla direttrice [math]x=-1[/math]. Viceversa, se il punto d’intersezione appartiene alla direttrice, la sua ascissa è [math]t_1t_2=-1[/math], e le tangenti sono perpendicolari.

Osservazione

Le tre proprietà collegano la tangente a diversi aspetti della parabola: una relazione di simmetria rispetto al vertice, la riflessione dei raggi e la perpendicolarità tra tangenti. In ciascun caso, la parametrizzazione trasforma la configurazione geometrica in relazioni algebriche semplici, che poi si interpretano geometricamente.

Domande di riflessione

• Quale ruolo ha la tangente nella riflessione del raggio proveniente dal fuoco?
• Perché bisogna distinguere tra bisettrice interna ed esterna quando si descrive la proprietà ottica?
• Che cosa accade per [math]t=0[/math]? La formula della tangente è ancora valida? Quali sono le coordinate di [math]M[/math] e [math]N[/math]?

Risposte

Per [math]t=0[/math], la tangente è [math]x=0[/math], il segmento [math]FP[/math] è diretto verso sinistra e il raggio riflesso procede verso destra, parallelamente all’asse. La tangente verticale è la bisettrice dell’angolo piatto tra queste due direzioni. Inoltre [math]M=N=V=(0,0)[/math], quindi il segmento [math]MN[/math] degenera nel vertice.

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ESERCIZIO 5 – Corda focale e luogo dei punti medi

Livello: difficile

Testo

Sia data la parabola:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Gamma:y^2=4px,\qquad p>0 \end{aligned}[/math]

con fuoco [math]F=(p,0)[/math], e siano:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A=A(t_1),\qquad B=B(t_2) \end{aligned}[/math]

due suoi punti distinti.

1. Dimostra che i punti [math]A,F,B[/math] sono allineati se e solo se:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1t_2=-1 \end{aligned}[/math]

2. Per una corda focale, esprimi la lunghezza [math]AB[/math] in funzione di [math]t_1[/math] e dimostra che il suo valore minimo è [math]4p[/math], corrispondente al latus rectum.
3. Determina il luogo geometrico descritto dal punto medio [math]M[/math] delle corde focali, precisando eventuali restrizioni.

Teoria utile

Una corda che passa per il fuoco di una conica viene chiamata corda focale.

Per la parabola considerata, i punti generici hanno coordinate:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A(t_1)=(pt_1^2,2pt_1) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} B(t_2)=(pt_2^2,2pt_2) \end{aligned}[/math]

La corda focale perpendicolare all’asse della parabola prende il nome di latus rectum e ha lunghezza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4p \end{aligned}[/math]

Risoluzione

Primo punto – Condizione di allineamento

I punti [math]A,F,B[/math] sono allineati quando i vettori [math]\overrightarrow{FA}[/math] e [math]\overrightarrow{FB}[/math] sono proporzionali.

Possiamo esprimere questa condizione imponendo che il determinante dei due vettori sia nullo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} pt_1^2-p & 2pt_1\\ pt_2^2-p & 2pt_2 \end{vmatrix}=0 \end{aligned}[/math]

Sviluppando il determinante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2p^2t_1(t_2^2-1)-2p^2t_2(t_1^2-1)=0 \end{aligned}[/math]

Dividendo per [math]2p^2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1t_2^2-t_1-t_2t_1^2+t_2=0 \end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1t_2(t_2-t_1)+(t_2-t_1)=0 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} (t_2-t_1)(t_1t_2+1)=0 \end{aligned}[/math]

Poiché i punti [math]A[/math] e [math]B[/math] sono distinti e la parametrizzazione della parabola è univoca, si ha:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1\neq t_2 \end{aligned}[/math]

Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{t_1t_2=-1} \end{aligned}[/math]

La condizione è necessaria e sufficiente per l’allineamento dei tre punti.

La dimostrazione tramite determinante comprende anche i casi in cui la retta focale è verticale, evitando le difficoltà che si incontrerebbero utilizzando soltanto i coefficienti angolari.

Secondo punto – Lunghezza della corda focale

La distanza tra i punti [math]A[/math] e [math]B[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \end{aligned}[/math]

Sostituendo le coordinate parametriche:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB^2=p^2(t_1^2-t_2^2)^2+4p^2(t_1-t_2)^2 \end{aligned}[/math]

Raccogliendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB^2=p^2(t_1-t_2)^2\left[(t_1+t_2)^2+4\right] \end{aligned}[/math]

Per una corda focale sappiamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_2=-\frac1{t_1} \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1-t_2=t_1+\frac1{t_1} \end{aligned}[/math]

e:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1+t_2=t_1-\frac1{t_1} \end{aligned}[/math]

Sostituendo nella formula della distanza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB^2=p^2\left(t_1+\frac1{t_1}\right)^2\left[\left(t_1-\frac1{t_1}\right)^2+4\right] \end{aligned}[/math]

Osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left(t_1-\frac1{t_1}\right)^2+4=\left(t_1+\frac1{t_1}\right)^2 \end{aligned}[/math]

Infatti, sviluppando entrambi i membri, si ottiene la stessa espressione.

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB^2=p^2\left(t_1+\frac1{t_1}\right)^4 \end{aligned}[/math]

Essendo [math]p>0[/math], possiamo estrarre la radice:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{AB=p\left(t_1+\frac1{t_1}\right)^2} \end{aligned}[/math]

Per determinare il valore minimo utilizziamo la disuguaglianza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left|t_1+\frac1{t_1}\right|\geq2 \end{aligned}[/math]

valida per ogni [math]t_1\neq0[/math].

Elevando al quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left(t_1+\frac1{t_1}\right)^2\geq4 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{AB\geq4p} \end{aligned}[/math]

L’uguaglianza si verifica quando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1=\pm1 \end{aligned}[/math]

e, poiché [math]t_2=-1/t_1[/math], i due parametri sono opposti.

I punti estremi della corda sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A=(p,2p) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} B=(p,-2p) \end{aligned}[/math]

La corda giace sulla retta verticale [math]x=p[/math], passa per il fuoco ed è perpendicolare all’asse della parabola.

La sua lunghezza è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB=2p-(-2p)=4p \end{aligned}[/math]

Si tratta proprio del latus rectum.

Abbiamo quindi dimostrato che il latus rectum è la corda focale di lunghezza minima.

Terzo punto – Luogo geometrico del punto medio

Determiniamo ora il luogo descritto dal punto medio [math]M[/math] della corda focale [math]AB[/math].

Le coordinate sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x_M=\frac{pt_1^2+pt_2^2}{2} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} y_M=\frac{2pt_1+2pt_2}{2} \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x_M=\frac p2(t_1^2+t_2^2) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} y_M=p(t_1+t_2) \end{aligned}[/math]

Introduciamo una nuova variabile:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s=t_1+t_2 \end{aligned}[/math]

Poiché per una corda focale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1t_2=-1 \end{aligned}[/math]

possiamo scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1^2+t_2^2=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2 \end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1^2+t_2^2=s^2+2 \end{aligned}[/math]

Le coordinate del punto medio diventano:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x_M=\frac p2(s^2+2) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} y_M=ps \end{aligned}[/math]

Dalla seconda relazione ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s=\frac{y_M}{p} \end{aligned}[/math]

Sostituendo nella prima:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x_M=\frac p2\left(\frac{y_M^2}{p^2}+2\right) \end{aligned}[/math]

Semplificando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x_M=\frac{y_M^2}{2p}+p \end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{y_M^2=2p(x_M-p)} \end{aligned}[/math]

Eliminando gli indici delle coordinate, l’equazione del luogo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{y^2=2p(x-p)} \end{aligned}[/math]

Si tratta di una parabola con asse coincidente con l’asse delle ascisse e vertice:

[math]\displaystyle \begin{aligned} V’=(p,0) \end{aligned}[/math]

che coincide esattamente con il fuoco della parabola iniziale.

La restrizione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{x\geq p} \end{aligned}[/math]

perché il primo membro dell’equazione è sempre non negativo.

Per verificare che tutti i punti della parabola ottenuta siano effettivamente raggiungibili, osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s=t_1-\frac1{t_1} \end{aligned}[/math]

Al variare di [math]t_1>0[/math], questa funzione è continua, strettamente crescente e assume tutti i valori reali, poiché tende a [math]-\infty[/math] per [math]t_1\to0^+[/math] e a [math]+\infty[/math] per [math]t_1\to+\infty[/math].

Di conseguenza, ogni valore reale di [math]s[/math] è raggiungibile e il luogo descritto coincide con l’intera parabola:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{y^2=2p(x-p),\qquad x\geq p} \end{aligned}[/math]

L’uguaglianza [math]x=p[/math] si verifica per [math]s=0[/math], cioè quando [math]t_1=1[/math] e [math]t_2=-1[/math], corrispondenti agli estremi del latus rectum.

Osservazione

Il risultato è particolarmente interessante perché una famiglia di corde tutte passanti per il fuoco genera, attraverso i rispettivi punti medi, una seconda parabola.

Il vertice di questa nuova curva coincide con il fuoco della parabola iniziale, ma le due parabole non hanno lo stesso parametro focale.

Infatti, confrontando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y^2=2p(x-p) \end{aligned}[/math]

con la forma canonica:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y^2=4a(x-p) \end{aligned}[/math]

otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4a=2p \end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a=\frac p2 \end{aligned}[/math]

La nuova parabola ha dunque fuoco:

[math]\displaystyle \begin{aligned} F’=\left(\frac{3p}{2},0\right) \end{aligned}[/math]

e direttrice:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=\frac p2 \end{aligned}[/math]

La relazione tra le due curve può essere descritta anche attraverso una trasformazione delle coordinate: se un punto della parabola iniziale ha coordinate [math](u,v)[/math], il corrispondente punto del luogo dei punti medi ha coordinate:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=2u+p,\qquad y=v \end{aligned}[/math]

Si tratta di una dilatazione orizzontale di fattore 2, seguita da una traslazione di [math]p[/math] lungo l’asse delle ascisse.

Il vertice del luogo coincide quindi con il fuoco della parabola iniziale per una precisa ragione algebrica e geometrica: il punto medio del latus rectum è proprio il fuoco e, poiché questa è la corda focale di lunghezza minima, il suo punto medio corrisponde al vertice della nuova parabola.

Domande di riflessione

Perché la corda focale di lunghezza minima è proprio il latus rectum? Quale ruolo svolge la disuguaglianza utilizzata nella dimostrazione?

Nel luogo dei punti medi il vertice coincide con il fuoco della parabola iniziale: si tratta di una coincidenza oppure esiste una ragione geometrica?

Risposte alle domande di riflessione

Il minimo della lunghezza della corda focale

La lunghezza di una corda focale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB=p\left(t_1+\frac1{t_1}\right)^2 \end{aligned}[/math]

La disuguaglianza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left|t_1+\frac1{t_1}\right|\geq2 \end{aligned}[/math]

implica che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} AB\geq4p \end{aligned}[/math]

L’uguaglianza si verifica per [math]t_1=\pm1[/math], che individuano gli estremi del latus rectum.

La disuguaglianza dimostra quindi che nessuna corda focale può essere più corta del latus rectum. Il risultato non dipende da una particolare scelta grafica o da una posizione casuale dei punti, ma vale per tutte le corde passanti per il fuoco.

Il vertice del luogo e il fuoco della parabola iniziale

La coincidenza ha una spiegazione geometrica precisa. Il latus rectum ha estremi [math](p,2p)[/math] e [math](p,-2p)[/math], perciò il suo punto medio è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} M=(p,0)=F \end{aligned}[/math]

Inoltre, il luogo dei punti medi ha equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y^2=2p(x-p) \end{aligned}[/math]

e il suo vertice è proprio [math](p,0)[/math].

Il punto medio del latus rectum è quindi il punto del luogo che corrisponde al valore minimo della lunghezza delle corde focali e, contemporaneamente, il vertice della nuova parabola.

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ESERCIZIO 6 – Il triangolo delle tangenti

Livello: olimpionico

Testo

Sia data la parabola:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Gamma:y^2=4px,\qquad p>0 \end{aligned}[/math]

e siano [math]A=A(t_1)[/math], [math]B=B(t_2)[/math], [math]C=C(t_3)[/math] tre suoi punti distinti, con parametri reali distinti.

Le tangenti condotte nei tre punti formano un triangolo tangenziale [math]A’B’C'[/math], i cui vertici sono definiti come segue:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A’&=\text{tangente in }B\cap\text{tangente in }C\\ B’&=\text{tangente in }A\cap\text{tangente in }C\\ C’&=\text{tangente in }A\cap\text{tangente in }B \end{aligned}[/math]

Dimostra che:

• l’area del triangolo tangenziale [math]A’B’C'[/math] è esattamente la metà dell’area del triangolo [math]ABC[/math];
• la circonferenza circoscritta al triangolo [math]A’B’C'[/math] passa sempre per il fuoco [math]F=(p,0)[/math] della parabola.

Teoria utile

La parametrizzazione della parabola è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} P(t)=(pt^2,2pt) \end{aligned}[/math]

La tangente nel punto di parametro [math]t[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ty=x+pt^2 \end{aligned}[/math]

L’intersezione delle tangenti nei punti di parametri [math]t_i[/math] e [math]t_j[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} T_{ij}=\left(pt_it_j,p(t_i+t_j)\right) \end{aligned}[/math]

Per calcolare l’area di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi vertici possiamo utilizzare il determinante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [P_1P_2P_3]=\frac12\big|&x_1(y_2-y_3)+\\ &x_2(y_3-y_1)+\\ &x_3(y_1-y_2)\big| \end{aligned}[/math]

Questa formula permette di determinare le aree senza dover ricavare preventivamente le lunghezze dei lati o l’altezza del triangolo.

Risoluzione

Primo punto – Coordinate dei due triangoli

Per semplificare i calcoli possiamo iniziare ponendo [math]p=1[/math]. La generalizzazione al caso [math]p>0[/math] verrà poi ricavata osservando che tutte le coordinate sono moltiplicate per [math]p[/math], mentre le aree vengono moltiplicate per [math]p^2[/math].

Le coordinate dei tre punti della parabola sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A&=(t_1^2,2t_1)\\ B&=(t_2^2,2t_2)\\ C&=(t_3^2,2t_3) \end{aligned}[/math]

Le coordinate dei vertici del triangolo tangenziale sono invece:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A’&=(t_2t_3,t_2+t_3)\\ B’&=(t_1t_3,t_1+t_3)\\ C’&=(t_1t_2,t_1+t_2) \end{aligned}[/math]

La distinzione tra i due triangoli è importante: [math]ABC[/math] ha i vertici sulla parabola, mentre [math]A’B’C'[/math] è formato dalle intersezioni delle tangenti condotte in quei punti.

Secondo punto – Area del triangolo [math]ABC[/math]

Applichiamo la formula del determinante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2[ABC]=\big|&t_1^2(2t_2-2t_3)+\\ &t_2^2(2t_3-2t_1)+\\ &t_3^2(2t_1-2t_2)\big| \end{aligned}[/math]

Raccogliendo il fattore 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [ABC]=\big|&t_1^2(t_2-t_3)+\\ &t_2^2(t_3-t_1)+\\ &t_3^2(t_1-t_2)\big| \end{aligned}[/math]

L’espressione tra parentesi è un’identità algebrica che può essere fattorizzata:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &t_1^2(t_2-t_3)+t_2^2(t_3-t_1)+t_3^2(t_1-t_2)\\ &=-(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1) \end{aligned}[/math]

Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{[ABC]=|(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)|} \end{aligned}[/math]

Il valore dell’area dipende quindi dal prodotto delle differenze tra i tre parametri.

Terzo punto – Area del triangolo tangenziale [math]A’B’C'[/math]

Applichiamo la stessa formula ai vertici del triangolo tangenziale.

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2[A’B’C’]=\big|&t_1t_2[(t_1+t_3)-(t_2+t_3)]\\ &+t_1t_3[(t_2+t_3)-(t_1+t_2)]\\ &+t_2t_3[(t_1+t_2)-(t_1+t_3)]\big| \end{aligned}[/math]

Semplificando le parentesi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2[A’B’C’]=\big|&t_1t_2(t_1-t_2)+\\ &t_1t_3(t_3-t_1)+\\ &t_2t_3(t_2-t_3)\big| \end{aligned}[/math]

Anche questa espressione può essere ricondotta al prodotto delle differenze tra i parametri. L’identità corretta è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &t_1t_2(t_1-t_2)+t_2t_3(t_2-t_3)+\\ &t_1t_3(t_3-t_1)\\ &=-(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1) \end{aligned}[/math]

Il segno negativo è importante, anche se non modifica il risultato finale perché stiamo calcolando un valore assoluto.

Sostituendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2[A’B’C’]=|(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)| \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{[A’B’C’]=\frac12|(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)|} \end{aligned}[/math]

Confrontando le due espressioni ottenute:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{[A’B’C’]=\frac12[ABC]} \end{aligned}[/math]

Il rapporto tra le aree è dunque sempre uguale a 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{[ABC]=2[A’B’C’]} \end{aligned}[/math]

La relazione non dipende dai valori specifici dei tre parametri, purché siano distinti.

Generalizzazione a [math]p>0[/math]

Nel caso generale, tutte le coordinate dei due triangoli sono moltiplicate per [math]p[/math] rispetto al caso [math]p=1[/math]. Poiché l’area è una grandezza quadratica rispetto alle coordinate, entrambe le aree vengono moltiplicate per [math]p^2[/math].

Il rapporto tra le aree rimane pertanto invariato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{[A’B’C’]=\frac12[ABC]} \end{aligned}[/math]

La proprietà vale per ogni parabola della famiglia [math]y^2=4px[/math], con [math]p>0[/math].

Controllo numerico

Consideriamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p=1,\qquad t_1=1,\quad t_2=2,\quad t_3=3 \end{aligned}[/math]

I vertici del triangolo inscritto sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A=(1,2),\quad B=(4,4),\quad C=(9,6) \end{aligned}[/math]

Applicando la formula del determinante si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [ABC]=2 \end{aligned}[/math]

I vertici del triangolo tangenziale sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A’=(6,5),\quad B’=(3,4),\quad C’=(2,3) \end{aligned}[/math]

La sua area vale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [A’B’C’]=1 \end{aligned}[/math]

Il controllo numerico conferma quindi la relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2=2\cdot1 \end{aligned}[/math]

Quarto punto – La circonferenza circoscritta passa per il fuoco

Dobbiamo ora dimostrare che la circonferenza passante per i tre vertici [math]A'[/math], [math]B'[/math], [math]C'[/math] contiene anche il fuoco della parabola.

Introduciamo le tre funzioni simmetriche dei parametri:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s_1=t_1+t_2+t_3 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_2=t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_3=t_1t_2t_3 \end{aligned}[/math]

Queste quantità permettono di esprimere in forma compatta le relazioni tra i tre parametri, senza dover trattare separatamente ogni prodotto e ogni somma.

Affermiamo che la circonferenza circoscritta al triangolo tangenziale ha equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{x^2+y^2-p(1+\sigma_2)x+p(\sigma_3-s_1)y+p^2\sigma_2=0} \end{aligned}[/math]

Per dimostrare che questa è effettivamente la circonferenza cercata, dobbiamo verificare che vi appartengano il fuoco e i tre vertici del triangolo tangenziale.

Verifica del passaggio per il fuoco

Il fuoco è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} F=(p,0) \end{aligned}[/math]

Sostituiamo le sue coordinate nell’equazione proposta:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^2-p(1+\sigma_2)p+p^2\sigma_2 \end{aligned}[/math]

Sviluppando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^2-p^2-p^2\sigma_2+p^2\sigma_2=0 \end{aligned}[/math]

L’equazione è verificata, quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} F\in\text{circonferenza} \end{aligned}[/math]

Verifica del passaggio per i tre vertici

Consideriamo un vertice generico del triangolo tangenziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} T=(pu,pv) \end{aligned}[/math]

dove:

[math]\displaystyle \begin{aligned} u=t_it_j,\qquad v=t_i+t_j \end{aligned}[/math]

Indichiamo con [math]t_k[/math] il terzo parametro, diverso da [math]t_i[/math] e [math]t_j[/math].

Per definizione delle funzioni simmetriche:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s_1=v+t_k \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_2=u+vt_k \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_3=ut_k \end{aligned}[/math]

Sostituiamo le coordinate [math]x=pu[/math] e [math]y=pv[/math] nell’equazione della circonferenza e dividiamo per [math]p^2[/math], ottenendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} u^2+v^2-(1+\sigma_2)u+(\sigma_3-s_1)v+\sigma_2 \end{aligned}[/math]

Sostituiamo le espressioni delle funzioni simmetriche:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &u^2+v^2-u-(u+vt_k)u\\ &\quad +(ut_k-v-t_k)v+(u+vt_k) \end{aligned}[/math]

Sviluppando i prodotti:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &u^2+v^2-u-u^2-uvt_k\\ &\quad+uvt_k-v^2-vt_k+u+vt_k \end{aligned}[/math]

Tutti i termini si annullano a coppie e rimane:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 0 \end{aligned}[/math]

La verifica è quindi valida per qualsiasi scelta della coppia [math](i,j)[/math], e pertanto tutti e tre i vertici [math]A'[/math], [math]B'[/math], [math]C'[/math] appartengono alla circonferenza.

Poiché i tre parametri sono distinti, il triangolo tangenziale non è degenere e i suoi tre vertici non sono allineati. Esiste dunque un’unica circonferenza passante per essi.

Abbiamo dimostrato che questa circonferenza contiene anche il fuoco:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{F\in\text{circonferenza circoscritta ad }A’B’C’} \end{aligned}[/math]

La proprietà è dimostrata.

Controllo numerico

Riprendiamo i parametri:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p=1,\qquad t_1=1,\quad t_2=2,\quad t_3=3 \end{aligned}[/math]

Calcoliamo le funzioni simmetriche:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s_1=1+2+3=6 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_2=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1=11 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma_3=1\cdot2\cdot3=6 \end{aligned}[/math]

L’equazione della circonferenza diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x^2+y^2-12x+11=0 \end{aligned}[/math]

Completando il quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (x-6)^2+y^2=25 \end{aligned}[/math]

Il centro è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} C_0=(6,0) \end{aligned}[/math]

e il raggio è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} r=5 \end{aligned}[/math]

Il fuoco [math]F=(1,0)[/math] dista dal centro:

[math]\displaystyle \begin{aligned} CF=|6-1|=5 \end{aligned}[/math]

La distanza coincide con il raggio, quindi il fuoco appartiene alla circonferenza, come previsto.

Osservazione

Il rapporto tra le aree dei due triangoli è un risultato notevole perché non dipende né dal parametro [math]p[/math] né dalla particolare scelta dei tre punti sulla parabola. La dimostrazione si basa su un’identità algebrica che emerge direttamente dalla parametrizzazione e che consente di ricondurre entrambe le aree allo stesso prodotto di differenze.

Il secondo risultato mette in relazione oggetti geometrici ancora più diversi: tre tangenti, le loro intersezioni, una circonferenza e il fuoco della parabola. Le funzioni simmetriche dei parametri permettono di descrivere la circonferenza in un’unica equazione e mostrano che il passaggio per il fuoco non è una proprietà legata a una particolare configurazione, ma una conseguenza generale della struttura della parabola.

La parametrizzazione, quindi, non serve soltanto a semplificare i calcoli delle coordinate, ma permette di individuare relazioni geometriche che sarebbero molto meno immediate affrontando separatamente le singole rette e i rispettivi punti d’intersezione.

Domande di riflessione

Il rapporto tra le aree dei due triangoli dipende dal parametro [math]p[/math] o dalla scelta dei tre punti? Cosa accade se due parametri coincidono?

Qual è il significato geometrico del fatto che la circonferenza circoscritta al triangolo tangenziale passi per il fuoco? Quali relazioni tra angoli si possono ricavare utilizzando il teorema della corda?

Risposte alle domande di riflessione

Il rapporto tra le aree

Il rapporto non dipende da [math]p[/math], perché un cambiamento di questo parametro moltiplica tutte le coordinate per lo stesso fattore e, di conseguenza, moltiplica entrambe le aree per [math]p^2[/math].

Non dipende neppure dalla particolare scelta dei tre parametri, purché siano distinti. L’identità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &t_1t_2(t_1-t_2)+t_2t_3(t_2-t_3)+\\ &t_1t_3(t_3-t_1)\\ &=-(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1) \end{aligned}[/math]

è valida per qualsiasi terna di numeri reali.

Se due parametri coincidono, due punti del triangolo [math]ABC[/math] coincidono e il triangolo degenera. Anche due delle tangenti diventano coincidenti e il triangolo tangenziale perde la propria forma ordinaria. Entrambe le aree diventano nulle, ma non ha più significato parlare del rapporto tra esse come rapporto tra aree di due triangoli non degeneri.

La circonferenza e il fuoco

Il fatto che il fuoco appartenga alla circonferenza significa che i quattro punti [math]F,A’,B’,C'[/math] sono conciclici.

Possiamo quindi applicare il teorema della corda per ricavare relazioni tra gli angoli che insistono sulla stessa corda.

Per esempio, gli angoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \angle A’FB’ \end{aligned}[/math]

e:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \angle A’C’B’ \end{aligned}[/math]

insistono entrambi sulla corda [math]A’B'[/math]. Se i loro vertici appartengono allo stesso segmento circolare, gli angoli sono uguali; se appartengono a segmenti circolari opposti, sono supplementari. Utilizzando gli angoli orientati, la relazione può essere espressa in modo uniforme modulo [math]180^\circ[/math].

La proprietà offre quindi ulteriori possibilità di studio delle configurazioni geometriche che coinvolgono le tangenti alla parabola, il triangolo tangenziale e il fuoco.

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Conclusione

I tre esercizi hanno mostrato come la parametrizzazione della parabola possa essere utilizzata per affrontare problemi geometrici di difficoltà crescente, mantenendo un collegamento costante tra il calcolo algebrico e l’interpretazione dei risultati.

Nel primo esercizio abbiamo ricavato tre proprietà della tangente, dimostrando che la relazione tra il parametro e la posizione della retta permette di descrivere sia la proprietà ottica sia la condizione di perpendicolarità tra due tangenti.

Nel secondo abbiamo studiato le corde focali, determinando la loro lunghezza minima e ottenendo un nuovo luogo geometrico: una parabola il cui vertice coincide con il fuoco della curva iniziale.

Nel terzo esercizio abbiamo considerato una configurazione più complessa, dimostrando che il triangolo formato dalle intersezioni delle tangenti ha area pari alla metà di quella del triangolo inscritto nella parabola e che la sua circonferenza circoscritta passa sempre per il fuoco.

Il collegamento tra questi risultati non è soltanto formale. In tutti e tre i casi, le coordinate parametriche consentono di individuare proprietà generali senza dover ricorrere a costruzioni particolari o a verifiche limitate a singoli esempi.

È proprio questo il passaggio che caratterizza lo studio più approfondito della geometria analitica: partire da una configurazione specifica, riconoscere la struttura algebrica che la descrive e arrivare a dimostrare una proprietà valida per un’intera famiglia di configurazioni.

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