Serie a termini positivi. Il criterio del confronto

Una serie

è detta a termini positivi quando esiste un indice N ∈ N tale che a_n ≥ 0 per ogni n ≥ N .

In altre parole, a parte un numero finito di termini iniziali che possono avere il segno che vogliono, la successione a_n deve essere “dopo un po’ ” sempre positiva.
Nella maggior parte dei casi avremo sempre N = 1 , ovvero la successione sarà globalmente positiva, ma è bene tenere a mente che tutto quanto diremo vale per successioni che siano solo definitivamente positive, come si suol dire tecnicamente.

Merito delle serie a termini positivi.

Una serie a termini positivi non può oscillare.

Dimostrazione.

La dimostrazione di questo fatto è semplicissima: infatti basta osservare che la successione delle ridotte {s_n} è definitivamente monotona (per ogni n ≥ N si ha infatti s_n+1 ≥ s_n , dato che s_n+1 − s_n = a_n ≥ 0 ) ed è ben noto che ogni successione monotona ammette sempre limite (finito o infinito).

Le uniche due alternative che si hanno dunque per una serie a termini positivi sono che  sia convergente, oppure che sia divergente a +∞ . Inoltre (e grazie a questo fatto) si hanno alcuni criteri molto utili che servono per decidere quale delle due alternative è quella giusta.

Criterio del confronto.

Date due serie a termini positivi

In altre parole se il termine generale a_n di una serie a termini positivi è maggiorato dal termine generale di una serie convergente, allora anche la serie di partenza converge. Per converso, se il termine generale a_n di una serie a termini positivi maggiora il termine generale di una serie divergente, allora anche la serie di partenza e costretta ad esplodere.

Osservazione.

Non è necessario che la disuguaglianza a_n ≤ b_n (o a_n ≥ b_n ) valga per ogni n ∈ N per poter usare il criterio. E’ sufficiente che valga a partire da un certo indice N ∈ N in avanti, ovvero, come si dice, che valga definitivamente.

Esempio

se sapessimo che la serie a termini positivi

converge (cosa che sapremo tra breve), allora potremmo concludere che anche la serie (a termini positivi)

converge. Usando infatti il criterio del confronto abbiamo che

e dato che l’ultima espressione è il termine generale di una serie che, appunto, sappiamo essere convergente, allora anche la serie data converge.

Sempre con lo stesso criterio, una volta noto il fatto che la serie

diverge a ∞,potremo concludere che anche la serie

diverge.

Vediamo come fare.

Vorremmo che 3/(n−1) maggiorasse 1/n.

Se ciò fosse vero, per la seconda parte del criterio del confronto, anche la serie data dovrebbe divergere.
Dunque, rimane da controllare se 3/(n − 1) ≥ 1/n. Questo equivale a 3n ≥ n−1 , ovvero, n ≥ −1/2. Dato che per noi n è intero e parte da 2, certamente la disuguaglianza è vera e quindi la serie data risulta divergere.
Questi esempi rendono evidente un fatto: per poter applicare bene il criterio del confronto (ma lo stesso discorso va fatto per i criteri che seguiranno) è bene disporre di un bagaglio di serie dal comportamento noto. Infatti, negli esempi appena discussi abbiamo citato due serie di cui abbiamo dato per noto il comportamento.

Qui di seguito elenchiamo alcune di queste serie.

Questa tabella va imparata molto bene. Grazie a queste informazioni, possiamo riprendere gli esempi fatti e giustificare quanto detto: nel primo caso avevamo detto che la serie

risultava convergente: ora sappiamo che si tratta di una serie armonica generalizzata con λ = 2 ed in effetti tale serie converge.

Poi avevamo considerato la serie

questa risulta divergente in quanto è la classica serie armonica ( λ = 1 ).

 

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