Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
Mentre tutti sappiamo cos’è la media aritmetica, diamo un occhio alla definizione di media geometrica:
La media geometrica
La media geometrica è simile, eccetto che è definita solo per una lista di numeri non negativi, e usa la moltiplicazione e la radice n-esima invece della somma e divisione:
La disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista e, inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso.
Esercizio
Sia
con a,b,c > 0, a,b,c ∈ ℵ .
Trovare il minimo di
Soluzione
Siano s = a + b +c
e p = abc
Sfruttiamo la disuguaglianza AM ≥ GM:
Sfruttiamo di nuovo la disuguaglianza AM ≥ GM:
Dunque 3/10 è il minimo cercato.
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