Studio di funzione completo: analisi di una funzione arcoseno esponenziale

Funzione data

[math]f(x)=\arcsin\!\Big(\sqrt{2e^{x}-e^{2x}}\Big)=\arcsin\!\Big(\sqrt{e^{x}\,(2-e^{x})}\Big)[/math]

Vogliamo:

• (a) dominio, limiti e asintoti;
• (b) punti di derivabilità;
• (c) monotonia ed estremi;
• (d) grafico qualitativo;
• (e) estensione continua su [math]\mathbb{R}[/math];
• (f) grafico di [math]g(t)=\operatorname{card}\{f^{-1}(t)\}[/math].

a) Dominio, limiti, asintoti

Passo 1 – Radice e [math]\arcsin[/math].

Per la radice serve [math]2e^{x}-e^{2x}\ge 0[/math]. Poiché [math]e^{x}>0[/math] per ogni [math]x[/math],

[math]\displaystyle \begin{aligned} e^{x}(2-e^{x})\ge 0 \iff 2-e^{x}\ge 0 \iff e^{x}\le 2 \iff x\le \ln 2 . \end{aligned}[/math]

Per l’[math]\arcsin[/math] serve argomento in [math][-1,1][/math]. Qui l’argomento è [math]\sqrt{\cdot}\ge 0[/math], quindi basta verificare [math]\sqrt{2e^{x}-e^{2x}}\le 1[/math], cioè

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2e^{x}-e^{2x}\le 1 \iff -(e^{x}-1)^2\le 0, \end{aligned}[/math]

sempre vera.

Conclusione dominio

[math]\boxed{D_f=(-\infty,\ln 2] }[/math]

Passo 2 – Limiti agli estremi del dominio.

Quando [math]x\to -\infty[/math]: [math]e^{x}\to 0^+\Rightarrow 2e^{x}-e^{2x}\to 0\Rightarrow f(x)\to\arcsin 0=0.[/math]

Quando [math]x\to (\ln 2)^-[/math]: [math]e^{x}\to 2\Rightarrow 2e^{x}-e^{2x}\to 0\Rightarrow f(x)\to 0.[/math]

In [math]x=\ln 2[/math] la funzione è definita e vale [math]f(\ln 2)=\arcsin 0=0[/math].

Asintoti.

C’è un asintoto orizzontale a sinistra: [math]y=0[/math] per [math]x\to -\infty[/math].

Nessun asintoto verticale in [math]x=\ln 2[/math] (il limite è finito).

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b) Derivabilità

Scriviamo [math]y=e^{x}>0[/math] e

[math]u(x)=\sqrt{2y-y^2}.[/math]

Per la catena:

[math]\displaystyle \begin{aligned} u'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{2y-y^2}}\cdot (2y-2y^2) \\ &=\frac{y(1-y)}{\sqrt{2y-y^2}}. \end{aligned}[/math]

Poi

[math]\displaystyle \begin{aligned} f'(x)&=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}} \\ &=\frac{y(1-y)}{\sqrt{2y-y^2}\,\sqrt{1-(2y-y^2)}} \\ &=\frac{y(1-y)}{\sqrt{2y-y^2}\,|y-1|}. \end{aligned}[/math]

Su [math](-\infty,\ln 2)[/math] tutti i fattori sono finiti [math]\Rightarrow[/math] derivabile.

In [math]x=0[/math] (dove [math]y=1[/math]) il denominatore contiene [math]|y-1|\to 0[/math]. Calcoliamo i limiti laterali:

[math]\lim_{x\to 0^-}f'(x)=+1,\qquad \lim_{x\to 0^+}f'(x)=-1.[/math]

Derivata non esiste (cuspide). La funzione però è continua e raggiunge il massimo lì.

In [math]x=\ln 2[/math] non è punto interno [math]\Rightarrow[/math] la derivata non è richiesta; la funzione è continua.

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c) Monotonia ed estremi

Dal segno di [math]f'[/math]:

• se [math]0<y<1[/math] (cioè [math]x<0[/math]): [math]f'(x)>0[/math] [math]\Rightarrow[/math] crescente su [math](-\infty,0)[/math];
• se [math]1<y\le 2[/math] (cioè [math]0<x\le\ln 2[/math]): [math]f'(x)<0[/math] [math]\Rightarrow[/math] decrescente su [math](0,\ln 2][/math].

Valori notevoli:

[math]f(0)=\arcsin 1=\frac{\pi}{2}\quad\text{(massimo assoluto)},[/math]

[math]f(\ln 2)=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=0.[/math]

Non ci sono minimi interni; il valore minimo globale [math]0[/math] si ha al bordo [math]x=\ln 2[/math] (e “al limite” a [math]-\infty[/math]).

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d) Grafico qualitativo

• Dominio: [math](-\infty,\ln 2][/math].
• Sale da [math]0[/math] (asintoto [math]y=0[/math]) fino a [math]\pi/2[/math] in [math]x=0[/math], poi scende a [math]0[/math] in [math]x=\ln 2[/math].
• Cuspide in [math]x=0[/math] (derivate laterali [math]+1[/math] e [math]-1[/math]).

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e) Un’estensione continua su tutto [math]\mathbb{R}[/math]

Un’estensione naturale è “tagliare a zero” la parte sotto radice quando diventa negativa:

[math]\boxed{\;\tilde f(x)=\arcsin\!\Big(\sqrt{\max\{\,2e^{x}-e^{2x},\,0\,\}}\Big)\;, \qquad x\in\mathbb{R}. \;}[/math]

Per [math]x\le \ln 2[/math] coincide con [math]f[/math]; per [math]x>\ln 2[/math] vale [math]0[/math]. È continua perché [math]\lim_{x\to(\ln 2)^-} f(x)=0=\tilde f(\ln 2)=\tilde f((\ln 2)^+)[/math].

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f) Disegnare il grafico di [math]g(x)=\operatorname{card}\{ f^{-1}(x)\}[/math], [math]f(x)=\arcsin\!\Big(\sqrt{2e^x – e^{2x}}\Big)[/math]

Interpretazione

[math]g(x)[/math] conta quante soluzioni esistono all’equazione [math]f(t)=x[/math]. In altre parole, per ogni valore [math]x[/math] sull’asse verticale di [math]f[/math], guardiamo quante volte il grafico di [math]f[/math] viene “tagliato” da una retta orizzontale [math]y=x[/math].

Passo 1 – Immagine di [math]f[/math]

Abbiamo trovato che [math]f(x)[/math] assume valori solo in [math][0,\tfrac{\pi}{2}][/math].

Quindi [math]g(x)=0[/math] per ogni [math]x[/math] fuori da questo intervallo.

Passo 2 – Numero di soluzioni interne

Il grafico di [math]f[/math] è a “gobba”: sale da [math]0[/math] a [math]\pi/2[/math] e poi riscende a [math]0[/math].

Se prendo un valore [math]x[/math] strettamente compreso tra [math]0[/math] e [math]\pi/2[/math], la retta orizzontale interseca il grafico in due punti (uno a sinistra di [math]0[/math], uno a destra).

👉 quindi [math]g(x)=2[/math].

Se prendo [math]x=0[/math], c’è un solo punto del dominio che realizza quel valore ([math]t=\ln 2[/math]), perché il limite a [math]-\infty[/math] non fa parte del dominio effettivo.

👉 quindi [math]g(0)=1[/math].

Se prendo [math]x=\pi/2[/math], il valore è raggiunto solo in [math]t=0[/math].

👉 quindi [math]g(\pi/2)=1[/math].

Passo 3 – Scrittura finale di [math]g[/math]

[math]\displaystyle g(x)= \begin{cases} 0, & x<0 \ \text{o}\ x>\tfrac{\pi}{2},\\[6pt] 1, & x=0 \ \text{o}\ x=\tfrac{\pi}{2},\\[6pt] 2, & 0<x<\tfrac{\pi}{2}. \end{cases}[/math]

Passo 4 – Grafico qualitativo

Una linea orizzontale al livello [math]y=2[/math] sull’intervallo [math](0,\pi/2)[/math].

Due puntini neri in [math](0,1)[/math] e [math](\pi/2,1)[/math].

Altrove la funzione vale zero.

👉 Grafico a gradino (a valori discreti), senza curve continue.

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💡 Osservazione (massimo dell’argomento).

Il radicando [math]2e^{x}-e^{2x}=-\,(e^{x}-1)^2+1[/math] è massimo quando [math]e^{x}=1\Rightarrow x=0[/math], vale [math]1[/math] e da lì discende l’altezza massima [math]f(0)=\arcsin 1=\pi/2[/math].

💡 Osservazione (cuspide in 0).

La presenza di [math]\arcsin[/math] con argomento che tocca [math]1[/math] produce [math]\sqrt{1-u^2}[/math] al denominatore di [math]f'[/math]. Se [math]u(0)=1[/math] e il numeratore cambia segno, le derivate laterali sono finite ma diverse: cuspide.

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Mini-quiz di consolidamento

• Qual è la proprietà usata per trovare il dominio di [math]f[/math]?
• Perché [math]y=0[/math] è un asintoto orizzontale solo a sinistra?
• In quali passaggi hai utilizzato la composizione di funzioni e la regola della catena?
• Se sostituisco [math]\arcsin[/math] con [math]\arccos[/math] mantenendo lo stesso argomento, come cambia l’immagine e il punto di massimo?
• Osserva [math]g(t)[/math]: perché i livelli interni a [math](0,\pi/2)[/math] hanno due soluzioni mentre agli estremi una sola?

Di seguito trovi le risposte ai mini-quiz di consolidamento, che spiegano i passaggi chiave per analizzare la funzione data.

1) Qual è la proprietà usata per trovare il dominio di f?

Per trovare il dominio di [math]f(x)=\arcsin!\Big(\sqrt{2e^x – e^{2x}}\Big)[/math], abbiamo applicato due proprietà fondamentali:

• Il radicando di una radice quadrata non può essere negativo: [math]2e^x – e^{2x} \ge 0[/math].
• L’argomento della funzione [math]\arcsin[/math] deve essere compreso nell’intervallo [math][-1,1][/math].

Soddisfare entrambe le condizioni ci ha permesso di determinare l’intervallo del dominio in cui la funzione è definita.

2) Perché y=0 è un asintoto orizzontale solo a sinistra?

La funzione [math]y=0[/math] è un asintoto orizzontale solo per [math]x \to -\infty[/math] perché il limite della funzione per [math]x[/math] che tende a meno infinito è uguale a zero: [math]\lim_{x\to -\infty} f(x)=0[/math].

Dato che il dominio della funzione termina in [math]\ln 2[/math], non possiamo calcolare il limite per [math]x \to +\infty[/math]. Pertanto, non esiste un asintoto orizzontale destro.

3) In quali passaggi hai utilizzato la composizione di funzioni e la regola della catena?

Abbiamo usato la regola della catena per derivare la funzione [math]f(x)=\arcsin(u(x))[/math], dove [math]u(x)=\sqrt{2e^x-e^{2x}}[/math].

La derivata prima di [math]f(x)[/math] è:

[math]\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-[u(x)]^2}}\cdot u'(x).[/math]

A sua volta, la funzione [math]u(x)[/math] è una composizione di una radice quadrata con una funzione esponenziale. Abbiamo quindi dovuto applicare nuovamente la regola della catena per calcolare la sua derivata, [math]u'(x)[/math].

4) Se sostituisco arcsin con arccos, come cambia l’immagine e il punto di massimo?

Se sostituiamo [math]\arcsin[/math] con [math]\arccos[/math], l’immagine della nuova funzione cambierebbe, passando dall’intervallo [math][0, \pi/2][/math] a [math][0, \pi][/math].

Considerando la relazione [math]\arccos(z)+\arcsin(z)=\pi/2[/math], la nuova funzione sarebbe un riflesso di quella originale rispetto alla retta [math]y=\pi/2[/math].

Di conseguenza, il punto che in precedenza era un massimo in [math]y=\pi/2[/math] diventerebbe un minimo in [math]y=\pi/2[/math]. Il nuovo massimo della funzione verrebbe raggiunto ai bordi, dove [math]\arccos 0 = \pi/2[/math] e [math]\arccos 1=0[/math].

5) Osserva g(t): perché i livelli interni a (0,π/2) hanno due soluzioni mentre agli estremi una sola?

La funzione [math]g(t)[/math] rappresenta il numero di soluzioni per l’equazione [math]f(x) = t[/math]. Il grafico di [math]f(x)[/math] ha una forma “a gobba” . Questo significa che la funzione cresce fino a un punto di massimo e poi decresce.

Se tracciamo una retta orizzontale con un’altezza [math]t[/math] compresa tra [math]0[/math] e [math]\pi/2[/math], essa interseca il grafico di [math]f(x)[/math] in due punti: uno sul ramo crescente e uno su quello decrescente. Di conseguenza, ci sono due soluzioni per [math]f(x) = t[/math], e quindi [math]g(t)=2[/math].

Agli estremi, quando [math]t=0[/math] e [math]t=\pi/2[/math], la retta orizzontale tocca il grafico in un solo punto (il punto di inizio/fine della funzione o il massimo). Per questo motivo, la cardinalità passa da [math]2[/math] a [math]1[/math].