Talete & Co

IL TEOREMA DI TALETE

Piccolo Teorema di Talete
Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale, corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.

Dimostrazione
Conduciamo da A la parallela ad r’ e indichiamo con E il suo punto d’intersezione con b.
Conduciamo da C la parallela ad r’ e indichiamo con F il suo punto d’intersezione con d.
I due triangoli ABE e CDF sono congruenti per il II criterio di congruenza dei triangoli.
Pertanto AE ≅ CF .
Ma AEB’A’ e CFD′C′ sono due parallelogrammi (hanno i lati opposti paralleli).
Di conseguenza: A′B′ ≅ AE e CF ≅ C′D′ .
Per la proprietà transitiva si ha: A′B′ ≅ C′D′ .

Corollario
La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.

Dimostrazione
Conduciamo le tre rette parallele alla base BC: passanti per il vertice A, per i punti medi M ed N e per la base BC.
Per il piccolo teorema di Euclide, dall’ipotesi AM ≅ MB si ha la tesi AN ≅ NC .

Teorema dei punti medi

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente metà.

Teorema di Talete

Il piccolo teorema di Talete visto precedentemente può essere così riformulato:
Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, se due segmenti AB e CD su una trasversale hanno rapporto 1 (che equivale a dire che sono congruenti), anche i segmenti A’B’ e C’D’ sulla seconda trasversale hanno rapporto uguale a 1, quindi: AB/CD = A’B’/ C’D’ .
Ora generalizziamo questo risultato, dimostrando che l’uguaglianza tra questi rapporti sussiste anche se i segmenti AB e
CD non sono tra loro congruenti.

Grande teorema di Talete

Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, il rapporto tra due segmenti AB e CD individuati dal
fascio su una trasversale è uguale al rapporto tra i loro corrispondenti  A’B’e C’D’ sull’altra trasversale.

Conseguenze del teorema di Talete

Retta parallela ad un lato del triangolo

Se una retta parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, li divide in segmenti proporzionali.

 

Dimostrazione
Tracciamo la retta s, passante per A e parallela al lato BC .
Otteniamo così tre rette parallele r,s e BC tagliate dalle trasversali AB ed AC
Pertanto, per il teorema di Talete, risulta:

Teorema inverso: Retta parallela ad un lato del triangolo

Se una retta interseca due lati di un triangolo in segmenti proporzionali sui due lati, allora la retta è parallela al terzo lato.

Dimostrazione per assurdo
Supponiamo per assurdo che la retta PQ non sia parallela alla retta BC.
Pertanto dovrà esistere un’altra retta passante per B parallela a PQ . Indichiamo con C’ il suo punto d’intersezione con la
retta AC.

Per il teorema precedente sarà valida la seguente proporzione:

Ciò vuol dire che la retta BC ≡ BC’ e quindi la retta BC risulterebbe parallela alla retta PQ , contro quanto supposto.

Teorema della bisettrice

In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati.

Dimostrazione
Tracciamo da C la retta parallela alla bisettrice BD e indichiamo con E il suo punto d’intersezione con il prolungamento del lato AB.

Pertanto il triangolo BEC è isoscele sulla base CE, ossia BC ≅ BE.

 

(1808)

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