Cos’è un limite? Limite infinito al finito ( III parte)

Tutte le definizioni di limite

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Limite infinito al finito

Si parla di limite infinito al finito quando la variabile tende ad un numero reale e il limite è +∞ o −∞. Anche qui c’è ovviamente la possibilità di un limite solo da destra o solo da sinistra. Ecco la definizione nel caso del limite bilatero.

Definizione

Si scrive

se, per ogni intorno (ε, +∞) del limite +∞, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (ε, +∞).
Nella forma compatta se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, ⇒ f(x) > ε.

Stesse considerazioni di prima sulle differenze tra la prima definizione e la forma compatta: ε può essere qualunque, perchè ha il significato di estremo dell’intorno di +∞, mentre δ torna ad avere il significato di raggio di un intorno e quindi torna ad essere positivo. Nella forma compatta, per semplicità nelle verifiche, è meglio dire ε > 0. Le due forme sono infatti equivalenti.

Fornisco la definizione compatta nel caso del limite da destra e da sinistra.

Definizione

Si scrive

se, per ogni intorno (−∞, ε) del limite −∞, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (−∞, ε).
Nella forma compatta se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, ⇒ f(x) < −ε.

Osservazione

Si noti che qui, nella forma compatta, ho scritto ε > 0 e ho cambiato la disuguaglianza sulle f(x) in f(x) < −ε (si veda l’analogia di tutto questo con quanto fatto nel caso di limite finito all’infinito).

Osservazione operativa:

per una verifica di limite nel caso di limite infinito al finito, ad esempio con limite +∞, basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disuguaglianza f(x) > ε, con ε > 0, contiene un intorno del punto c (c come sempre escluso).
Ovviamente, nel caso di limite −∞, la disequazione da cui partire sarà f(x) < −ε, con ε > 0.

Esempio 1

Proviamo ad esempio che

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle x > 0, la disequazione 1/x > ε, che equivale alla x < 1/ε. Resta quindi individuato l’intervallo (0,1/ε), che è un intorno destro di 0.
Avremo invece

Infatti, fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle x < 0, la disequazione 1/x < −ε, che equivale alla x > −1/ε.
Resta quindi individuato l’intervallo (−1/ε, 0), che è un intorno sinistro di 0.

Osservazione

Se scrivessimo invece

senza precisare se da destra o da sinistra, dovremmo dire che tale limite non esiste.

Tra breve vediamo meglio questo aspetto.

Esempio 2

Quale altro esempio, proviamo che

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione 1/x² > ε, che equivale alla x² < 1/ε. Questa ha per soluzioni l’intervallo (− √1/ε, √1/ε), che è un intorno di 0.

Esempio 3

Proviamo ancora che

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione ln x < −ε. Qui x è positivo, dato che la funzione esiste solo in (0, +∞). La disequazione equivale alla 0 < x < e^−ε. Osservando che la quantità a destra è certamente positiva, si tratta quindi di un intorno destro di 0, privato dell’origine.

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