Distribuzione di Poisson: Guida Pratica con Esercizi Svolti dal Barista al Data Scientist

💡 Osservazione
Quando [math]k = 0[/math], la formula si semplifica sempre in [math]P(X = 0) = e^{-\lambda}[/math]. Questo è un risultato molto utile da ricordare!

💡 Osservazione
Il calcolo manuale di [math]P(X > 15)[/math] sarebbe molto laborioso. È un ottimo esempio di quando usare strumenti computazionali è non solo lecito ma consigliato!

💡 Osservazione
La proprietà di scala della Poisson è fondamentale: se raddoppio l’area, raddoppio automaticamente [math]\lambda[/math]!

Esercizio 4 – Il Sito Web (Livello Intermedio-Alto)

Testo: Un sito di news riceve in media 0.8 accessi al secondo durante le ore di punta. Il server può gestire fino a 3 richieste al secondo.

Qual è la probabilità che in 5 secondi il server non venga mai sovraccaricato?

Qual è il tempo massimo (in secondi) per cui la probabilità di sovraccarico rimane sotto il 5%?

📚 Risoluzione Guidata

Parte 1: 5 secondi senza sovraccarico

Passo 1: Calcoliamo [math]\displaystyle \lambda[/math] per 5 secondi

[math]\displaystyle \lambda = 0.8 \times 5 = 4[/math] richieste

Passo 2: Definiamo “non sovraccarico”

Il server non è sovraccarico se riceve [math]\displaystyle \le 3[/math] richieste al secondo. Ma stiamo guardando 5 secondi!

Attenzione! Dobbiamo essere precisi:

Per 5 secondi, il server può gestire [math]\displaystyle 3 \times 5 = 15[/math] richieste totali

Calcolo: [math]\displaystyle P(X \le 15)[/math] dove [math]\displaystyle \lambda=4[/math]

Usando tabelle o calcolo: [math]\displaystyle P(X \le 15) \approx 0.999996[/math]

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Parte 2: Troviamo il tempo massimo

Strategia: Dobbiamo trovare [math]\displaystyle t[/math] tale che: [math]\displaystyle P(\text{sovraccarico}) < 0.05[/math]

Per un intervallo di [math]\displaystyle t[/math] secondi:

[math]\displaystyle \lambda = 0.8t[/math] richieste

Capacità massima = [math]\displaystyle 3t[/math] richieste

Osservazione chiave: Poiché [math]\displaystyle \lambda = 0.8t[/math] e la capacità è [math]\displaystyle 3t[/math], la capacità è sempre maggiore di [math]\displaystyle \lambda[/math]. Questo significa che [math]\displaystyle P(\text{sovraccarico}) \to 0[/math] per [math]\displaystyle t[/math] grandi!

Riformuliamo il problema:

La domanda probabilmente intende: “Qual è il tempo massimo per cui la probabilità che il numero di richieste superi 3 richieste/secondo è < 5%”

Nuovo approccio:

Per un singolo secondo:

[math]\displaystyle \lambda = 0.8[/math]

Vogliamo [math]\displaystyle P(X > 3) < 0.05[/math]

Calcoliamo:

[math]\displaystyle P(X = 0) = e^{-0.8} = 0.4493[/math]

[math]\displaystyle P(X = 1) = e^{-0.8} \times 0.8 = 0.3595[/math]

[math]\displaystyle P(X = 2) = e^{-0.8} \times \frac{0.8^2}{2} = 0.1438[/math]

[math]\displaystyle P(X = 3) = e^{-0.8} \times \frac{0.8^3}{6} = 0.0383[/math]

[math]\displaystyle P(X \le 3) = 0.4493 + 0.3595 + 0.1438 + 0.0383 = 0.9909[/math]

[math]\displaystyle P(X > 3) = 1 – 0.9909 = 0.0091 < 0.05[/math]

Quindi per un singolo secondo, la probabilità è già sotto il 5%. Questo vale per QUALSIASI intervallo di tempo!

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💡 Osservazione

Questo esercizio mostra l’importanza di leggere attentamente il testo. La formulazione iniziale portava a un problema senza soluzione!

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❓ Quiz di Riflessione

Se la media fosse 2.5 richieste/secondo, il problema avrebbe avuto senso. Come avresti impostato la risoluzione?

Esercizio 5 – Il Supermercato (Livello Avanzato)

Testo: In un supermercato, i clienti arrivano alle casse con queste caratteristiche:

• Tra le 17:00 e 18:00: 30 clienti/ora
• Tra le 18:00 e 19:00: 45 clienti/ora
• Dopo le 19:00: 20 clienti/ora

Il supermercato vuole implementare un sistema di prenotazione che garantisca che almeno il 95% dei clienti non aspetti più di 5 minuti.

Quante casse devono essere aperte alle 17:30?

Se ogni cassa può servire 1 cliente ogni 2 minuti, è sufficiente aprire 4 casse alle 18:30?

📚 Risoluzione Guidata

Parte 1: Casse alle 17:30

Passo 1: Calcoliamo [math]\displaystyle \lambda[/math] per 5 minuti

[math]\displaystyle 30[/math] clienti/ora = [math]\displaystyle 0.5[/math] clienti/minuto

In 5 minuti: [math]\displaystyle \lambda = 0.5 \times 5 = 2.5[/math] clienti

Passo 2: Determiniamo il numero di clienti servibili

Se apriamo [math]\displaystyle n[/math] casse, e ogni cassa serve 1 cliente/2 minuti:

In 5 minuti, ogni cassa serve: [math]\displaystyle 5/2 = 2.5[/math] clienti

[math]\displaystyle n[/math] casse servono: [math]\displaystyle 2.5n[/math] clienti

Passo 3: Troviamo [math]\displaystyle n[/math] tale che [math]\displaystyle P(X \le 2.5n) \ge 0.95[/math]

Calcoliamo le probabilità cumulative:

[math]\displaystyle P(X \le 5) \approx 0.9580[/math] (con [math]\displaystyle \lambda = 2.5[/math])

[math]\displaystyle P(X \le 4) \approx 0.8912[/math]

Soluzione:

[math]\displaystyle 2.5n \ge 5 \Rightarrow n \ge 2[/math]

Quindi servono almeno 2 casse.

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Parte 2: Controllo 4 casse alle 18:30

Passo 1: Parametri alle 18:30

[math]\displaystyle 45[/math] clienti/ora = [math]\displaystyle 0.75[/math] clienti/minuto

In 5 minuti: [math]\displaystyle \lambda = 3.75[/math] clienti

Passo 2: Capacità con 4 casse

[math]\displaystyle 4[/math] casse [math]\displaystyle \times 2.5[/math] clienti = [math]\displaystyle 10[/math] clienti in 5 minuti

Passo 3: Verifica [math]\displaystyle P(X \le 10)[/math] con [math]\displaystyle \lambda=3.75[/math]

Calcolo:

Questa probabilità è praticamente 1 ([math]\displaystyle \approx 0.9999[/math])

Quindi 4 casse sono più che sufficienti!

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💡 Osservazione

Questo esercizio mostra come la Poisson possa essere usata per problemi di pianificazione delle risorse.

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❓ Quiz di Riflessione

Cosa cambierebbe se i tempi di servizio fossero esponenziali invece che costanti?

Esercizio 6 – Il Controllo Qualità (Livello Esperto)

Testo: Un’azienda produce microchip. Il processo ha un tasso di difetti di 0.02 chip difettosi per chip prodotto. Ogni giorno vengono prodotti 5,000 chip.

Qual è la probabilità di avere meno di 80 chip difettosi in un giorno?

Se vengono prodotti 10,000 chip in 2 giorni, qual è la probabilità che il numero di difetti sia compreso tra 190 e 210?

Con quale produzione giornaliera la probabilità di 0 difetti è del 10%?

📚 Risoluzione Guidata

Parte 1: Meno di 80 difetti

Passo 1: Calcoliamo [math]\displaystyle \lambda[/math]

[math]\displaystyle \lambda = 0.02 \times 5,000 = 100[/math] difetti

Passo 2: Usiamo l’approssimazione normale

Per [math]\displaystyle \lambda[/math] grandi ([math]\displaystyle \lambda > 30[/math]), la Poisson può essere approssimata da una normale con:

[math]\displaystyle \mu = \lambda = 100[/math]

[math]\displaystyle \sigma^2 = \lambda = 100 \Rightarrow \sigma = 10[/math]

Passo 3: Correzione di continuità [math]\displaystyle P(X < 80) = P(X \le 79.5)[/math]

Standardizziamo: [math]\displaystyle Z = \frac{79.5 – 100}{10} = -2.05[/math]

[math]\displaystyle P(Z < -2.05) = 0.0202[/math]

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Parte 2: Tra 190 e 210 difetti

Passo 1: Nuovo [math]\displaystyle \lambda[/math]

Per 10,000 chip: [math]\displaystyle \lambda = 0.02 \times 10,000 = 200[/math]

Passo 2: Approssimazione normale

[math]\displaystyle \mu = 200[/math], [math]\displaystyle \sigma = \sqrt{200} \approx 14.14[/math]

Passo 3: Correzione di continuità [math]\displaystyle P(190 \le X \le 210) = P(189.5 \le X \le 210.5)[/math]

Standardizziamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} Z_1 &= \frac{189.5 – 200}{14.14} = -0.742 \\ Z_2 &= \frac{210.5 – 200}{14.14} = 0.742 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle P(-0.742 \le Z \le 0.742) = 0.5418[/math]

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Parte 3: Produzione per P(0) = 10%

Impostiamo l’equazione: [math]\displaystyle P(X=0) = e^{-\lambda} = 0.10[/math]

Risolviamo: [math]\displaystyle \begin{aligned} e^{-\lambda} &= 0.10 \\ -\lambda &= \ln(0.10) \\ \lambda &= -\ln(0.10) \approx 2.303 \end{aligned}[/math]

Quindi la produzione deve essere: [math]\displaystyle \text{Produzione} = \frac{\lambda}{0.02} = \frac{2.303}{0.02} = 115.15[/math]

Quindi circa 115 chip al giorno.

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💡 Osservazione

Questo esercizio dimostra quando è appropriato usare l’approssimazione normale per la Poisson e come risolvere equazioni inverse.

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❓ Quiz di Riflessione

Perché l’approssimazione normale funziona meglio per [math]\displaystyle \lambda[/math] grandi? Cosa succede alla forma della distribuzione Poisson quando [math]\displaystyle \lambda[/math] aumenta?

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📊 Riepilogo Proprietà Chiave

🔑 Proprietà Fondamentali della Distribuzione di Poisson:

• Media e Varianza: [math]\displaystyle E[X] = Var[X] = \lambda[/math]
• Somma di Poisson: Se [math]\displaystyle X_1 \sim \text{Pois}(\lambda_1)[/math] e [math]\displaystyle X_2 \sim \text{Pois}(\lambda_2)[/math] indipendenti, allora [math]\displaystyle X_1 + X_2 \sim \text{Pois}(\lambda_1 + \lambda_2)[/math]
• Rapporto con Binomiale: [math]\displaystyle \text{Pois}(\lambda) \approx \text{Bin}(n, p)[/math] quando [math]\displaystyle n \to \infty[/math], [math]\displaystyle p \to 0[/math], [math]\displaystyle np = \lambda[/math]
• Approssimazione Normale: Per [math]\displaystyle \lambda > 30[/math], [math]\displaystyle \text{Pois}(\lambda) \approx N(\lambda, \lambda)[/math]

🎯 Strategie Risolutive:

• Sempre identificare: [math]\displaystyle \lambda = \text{intensità} \times \text{dimensione}[/math]
• Per [math]\displaystyle P(X \ge k)[/math] usare il complementare: [math]\displaystyle 1 – P(X < k)[/math]
• Per intervalli grandi, usare l’approssimazione normale con correzione di continuità
• Verificare sempre che il modello Poisson sia appropriato per la situazione descritta

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