Esercizi svolti sul duopolio di Cournot (la funzione di reazione)

ESERCIZIO 1

Nel mercato dei computer vi sono due imprese (impresa 1 e impresa 2). La domanda inversa di computer è pari a
P = 500−2Q (dove Q = q₁ + q₂); il costo totale di produzione è identico per le due imprese e pari a

C(q_i) = 200q_i , con i = 1,2.

(a) Calcolate le funzioni di reazione delle due imprese nel caso in cui competano sulle quantità. Quale modello di oligopolio state applicando?

SOLUZIONE

Dato che le due imprese competono sulle quantità, si tratta del modello di Cournot nel quale si suppone che le imprese scelgano simultaneamente le quantità da produrre. Per ottenere le funzioni di reazione dobbiamo massimizzare i profitti di ciascuna impresa, in modo da trovare la condizione di equilibrio per la singola impresa. Iniziamo risolvendo i problemi di massimizzazione per poi vedere, alla fine, che questi portano ad una semplice condizione di equilibrio.
L’impresa 1 massimizza il proprio profitto prendendo per data la scelta di produzione dell’impresa 2.

La funzione di profitto da massimizzare, per l’impresa 1, sarà quindi

Dalla massimizzazione deriviamo la condizione del primo ordine

che è la funzione di reazione per l’impresa 1 e rappresenta la quantità che massimizza il profitto dell’impresa 1 in funzione della quantità prodotta dall’impresa 2.

Per l’impresa 2 abbiamo

da cui deriviamo la funzione di reazione

che rappresenta la quantità che massimizza il profitto dell’impresa 2 in funzione della quantità prodotta dall’impresa 1.
Si noti che le funzioni di reazione sono simmetriche. Questo è dovuto al fatto che la funzione di costo per le due imprese è identica.
Avremmo potuto anche trovare le funzioni di reazione direttamente dalla condizione di equilibrio per la singola impresa, che prevede l’uguaglianza fra costo marginale e ricavo marginale, ovvero MR = MC. Questa condizione deriva dalla massimizzazione del profitto della singola impresa. Per l’impresa 1 i costi marginali sono

mentre i ricavi marginali sono

La condizione MR₁ = MC₁ è dunque equivalente alla condizione del primo ordine menzionata sopra, dalla quale otteniamo nuovamente la funzione di reazione

Procedendo analogamente, per l’impresa 2 i costi marginali sono

identici per definizione a quelli dell’impresa 1, mentre i ricavi marginali sono

La condizione MR₂ = MC2 è dunque equivalente alla condizione del primo ordine menzionata sopra, dalla quale otteniamo nuovamente la funzione di reazione

(b) Quali saranno il prezzo, le quantità vendute e i profitti di equilibrio delle due imprese?

SOLUZIONE

Mettendo a sistema le due funzioni di reazione, otteniamo le quantità di equilibrio di Cournot per le due imprese:

Sapendo che q₁ = q₂ = q poiché le due imprese sono simmetriche, il sistema può essere riscritto come

Ciascuna impresa vende q = 50, mentre il mercato nel suo complesso vende Q =q₁ + q₂ = 50+50 = 100.
Per determinare il prezzo, sostituiamo il valore così ottenuto di Q all’interno della funzione di domanda:

Dato il costo medio della singola impresa, pari a

i profitti della singola impresa ammontano a

Si noti che l’equilibrio di Cournot è caratterizzato da due quantità (q₁ e q₂) ma da un solo prezzo di mercato (P).

L’ esercizio prosegue qui

 

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