Esercizi svolti sulla funzione di produzione con fattori perfetti sostituti

ESERCIZIO 1

L’impresa Bacco produce il succo d’uva Acino utilizzando indifferentemente mosto di uva di tipo A e mosto di uva di tipo B. La tecnologia utilizzata prevede la semplice miscelazione di litri di mosto A e litri di mosto B.
(a) Si scriva l’equazione che rappresenta la funzione di produzione dell’impresa Bacco

SOLUZIONE

L’impresa considera i due mosti perfettamente intercambiabili (quindi sostituti) nel processo produttivo. La quantità di succo d’uva prodotto dipende solo dalla quantità totale di mosto utilizzata. La funzione di produzione è caratterizzata quindi dalla presenza di fattori perfetti sostituti

Q = f (A,B) = A +B

(b) Si rappresentino graficamente gli isoquanti relativi a diversi livelli di produzione del succo d’uva.

SOLUZIONE

Data la funzione di produzione, gli isoquanti hanno equazione

B = Q − A

cioè sono delle rette con inclinazione pari a 1 (in valore assoluto).
Per rappresentare graficamente gli isoquanti iniziate fissando la produzione Q , è poi necessario trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani. Ad esempio, fissiamo Q = 10, per A = 0 avremo che B = 10 e per B = 0 avremo che A = 10. Ripetiamo questa procedura per altri valori di Q e otterremo la mappa di isoquanti.

(c) Si calcoli il prodotto marginale del mosto di tipo A. Di quanto differisce dal prodotto marginale del mosto di tipo B?

SOLUZIONE

Per ottenere il prodotto marginale del mosto A, calcoliamo la derivata della funzione di produzione rispetto al fattore produttivo A e rispetto al fattore produttivo B:

I due fattori produttivi possiedono la stessa produttività marginale.

(d) Che cosa è il saggio marginale di sostituzione tecnica? A quanto è uguale nel caso della funzione di produzione dell’impresa Bacco? A cosa corrisponde graficamente?

SOLUZIONE

Saggio marginale di sostituzione tecnica

Il saggio marginale di sostituzione tecnica è il saggio al quale l’impresa può sostituire un input con un altro se vuol mantenere costante il livello produttivo. Graficamente è l’opposto della pendenza dell’isoquanto, analiticamente è il rapporto tra le produttività marginali.

Nel nostro caso, il tasso al quale l’impresa desidera scambiare l’impiego dei due mosti nel proprio processo produttivo è pari a 1 (MRTS = 1)

(e) La tecnologia che caratterizza la funzione di produzione dell’impresa Bacco presenta rendimenti costanti, crescenti o decrescenti? Perché?

SOLUZIONE

La tecnologia produttiva è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. Possiamo dimostrarlo moltiplicando entrambi i fattori produttivi per la costante τ:

La produzione aumenta nella stessa proporzione dell’aumento dei fattori produttivi. In altre parole, se i fattori produttivi variano dell’1%, l’incremento della produzione sarà esattamente uguale all’1%.

(f) Ipotizziamo ora che il prezzo del mosto di tipo B sia il doppio del prezzo del mosto di tipo A. Calcolare la combinazione ottimale dei fattori produttivi e rappresentarla graficamente.

SOLUZIONE

Nel processo produttivo verrà impiegato solo mosto di tipo A. Infatti, poiché i fattori produttivi sono perfetti sostituti con un rapporto di sostituibilità di 1:1, per l’impresa Bacco la combinazione produttiva efficiente è quella che utilizza solo il fattore che costa meno.
In termini analitici, indicando con w il prezzo del mosto A, e con r il prezzo del mosto di tipo B avremo che

W/R=1/ 2.

Pertanto

quindi l’ottimo sarà di frontiera e coinciderà con l’intercetta orizzontale dell’isoquanto corrispondente al livello produttivo prescelto. Poichè il saggio marginale di sostituzione tecnica è strettamente maggiore del rapporto tra i prezzi dei fattori di produzione, l’impresa Bacco preferisce impiegare solo mosto di tipo A. Nel grafico il punto di ottimo è quello appartenente all’isoquanto (retta continua) che si trova sulla curva di isocosto (retta tratteggiata) più vicina all’origine.

 

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