Numeri perfetti, difettivi e abbondanti: 6 esercizi svolti e il teorema di Euclide-Eulero

Tra le proprietà dei numeri interi positivi ce n’è una particolarmente interessante: alcuni numeri coincidono esattamente con la somma dei propri divisori, escluso il numero stesso. È il caso di 6, perché [math]1+2+3=6[/math], ma anche di 28, 496 e 8128, che appartengono alla famiglia dei numeri perfetti.

Questa proprietà, studiata fin dall’antichità, ha dato origine a numerose ricerche nella teoria dei numeri e a risultati matematici di grande eleganza. Non tutti i numeri, infatti, si comportano allo stesso modo: alcuni hanno una somma dei divisori propri inferiore al loro valore, altri la superano, mentre soltanto in casi particolari le due quantità coincidono.

La classificazione in numeri perfetti, difettivi e abbondanti permette di osservare queste differenze e introduce strumenti importanti, come la funzione sigma e il teorema di Euclide-Eulero.

In questo articolo affrontiamo sei esercizi progressivi, partendo dalla semplice enumerazione dei divisori fino ad arrivare a dimostrazioni generali e alla verifica critica di una formula proposta da un software matematico. L’obiettivo è comprendere non soltanto come si classificano questi numeri, ma anche quali proprietà permettono di dimostrare che un numero appartiene a una determinata categoria.

Numeri perfetti, difettivi e abbondanti: le definizioni

Per classificare un numero intero positivo dobbiamo innanzitutto distinguere i suoi divisori propri da tutti gli altri divisori.

Un divisore proprio di un intero positivo [math]n[/math] è un divisore positivo [math]d[/math] tale che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1\leq d

Il numero stesso, quindi, non viene incluso nell’insieme dei suoi divisori propri.

Indichiamo con [math]s(n)[/math] la somma dei divisori propri di [math]n[/math]. In base al confronto tra questa somma e il numero considerato possiamo distinguere tre categorie:

Categoria	Condizione	Esempio
Numero perfetto	[math]s(n)=n[/math]	28
Numero difettivo	[math]s(n)<n[/math]	8
Numero abbondante	[math]s(n)>n[/math]	12

Consideriamo, per esempio, il numero 12. I suoi divisori propri sono [math]1,2,3,4,6[/math], la cui somma è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(12)=1+2+3+4+6=16 \end{aligned}[/math]

Poiché [math]16>12[/math], il numero 12 è abbondante.

Per il numero 8, invece, abbiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(8)=1+2+4=7 \end{aligned}[/math]

Dato che [math]7<8[/math], il numero 8 è difettivo.

La classificazione dipende quindi dalla somma dei divisori propri e non dal loro numero: avere molti divisori non significa necessariamente essere un numero perfetto.

La funzione sigma e il calcolo dei divisori

Quando i numeri diventano più grandi, elencare tutti i divisori e sommarli uno per uno può diventare poco conveniente. Per rendere i calcoli più efficienti si utilizza la funzione sigma, indicata con [math]\sigma(n)[/math], che restituisce la somma di tutti i divisori positivi di [math]n[/math], compreso il numero stesso.

La relazione tra le due funzioni è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(n)=\sigma(n)-n \end{aligned}[/math]

Di conseguenza, possiamo riscrivere le tre condizioni di classificazione nel modo seguente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n \text{ perfetto} &\iff \sigma(n)=2n\\ n \text{ difettivo} &\iff \sigma(n)<2n\\ n \text{ abbondante} &\iff \sigma(n)>2n \end{aligned}[/math]

Questa formulazione è particolarmente utile perché permette di sfruttare le proprietà algebriche della funzione sigma.

Se un numero è espresso mediante la sua fattorizzazione in primi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} \end{aligned}[/math]

dove i [math]p_i[/math] sono primi distinti, la funzione sigma si calcola attraverso la formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\sigma(n)=\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}} \end{aligned}[/math]

La formula deriva dalla struttura dei divisori: ogni divisore di [math]n[/math] si ottiene scegliendo, per ciascun fattore primo, un esponente compreso tra zero e quello presente nella fattorizzazione.

La funzione sigma è inoltre moltiplicativa per numeri coprimi, cioè:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \gcd(a,b)=1 \quad\Longrightarrow\quad \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b) \end{aligned}[/math]

Questa proprietà permette di calcolare la somma dei divisori di numeri composti utilizzando separatamente i loro fattori primi.

Il teorema di Euclide-Eulero e i numeri perfetti pari

Uno dei risultati fondamentali sui numeri perfetti è il teorema di Euclide-Eulero, che caratterizza completamente i numeri perfetti pari.

Il teorema afferma che un numero è perfetto e pari se e solo se può essere scritto nella forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{N=2^{p-1}(2^p-1)} \end{aligned}[/math]

dove [math]p[/math] è un numero primo e anche [math]2^p-1[/math] è primo.

I numeri della forma [math]2^p-1[/math] sono chiamati numeri di Mersenne; quando sono primi prendono il nome di primi di Mersenne.

Per esempio, scegliendo [math]p=5[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2^5-1=31 \end{aligned}[/math]

Poiché 31 è primo, possiamo applicare il teorema:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^4\cdot31=496 \end{aligned}[/math]

Il risultato è un numero perfetto.

È importante prestare attenzione alle condizioni del teorema: non basta che [math]p[/math] sia primo, perché anche [math]2^p-1[/math] deve essere primo. Se quest’ultima condizione non è verificata, la formula non garantisce la costruzione di un numero perfetto.

Il teorema, inoltre, riguarda esclusivamente i numeri perfetti pari. L’esistenza di eventuali numeri perfetti dispari costituisce ancora un problema aperto della matematica.

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Esercizio 1 – Facile: verificare se 28 è un numero perfetto

Problema

Il numero 28 è uno dei primi esempi di numero perfetto. Per verificare questa proprietà dobbiamo individuare tutti i suoi divisori propri e calcolarne la somma.

Richiesta

Elenca i divisori propri di 28, calcola la loro somma e stabilisci se il numero è perfetto, difettivo oppure abbondante.

Soluzione

Iniziamo scomponendo 28 in fattori primi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 28=2^2\cdot7 \end{aligned}[/math]

I divisori positivi si ottengono combinando le potenze di 2 e 7 presenti nella fattorizzazione. Sono quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28 \end{aligned}[/math]

Escludiamo il numero stesso, perché non rientra nella definizione di divisore proprio:

[math]\displaystyle \begin{aligned} D(28)=\{1,2,4,7,14\} \end{aligned}[/math]

Calcoliamo la somma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(28)=1+2+4+7+14 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(28)=28 \end{aligned}[/math]

La somma dei divisori propri coincide esattamente con il numero di partenza, quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{28\text{ è un numero perfetto}} \end{aligned}[/math]

Possiamo verificare lo stesso risultato utilizzando la funzione sigma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(28)=(1+2+4)(1+7) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(28)=7\cdot8=56 \end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(28)=2\cdot28 \end{aligned}[/math]

la condizione di perfezione è soddisfatta.

Osservazione

Questo esercizio mostra il metodo più diretto per riconoscere un numero perfetto: individuare i divisori propri e confrontarne la somma con il numero stesso. La funzione sigma permette di ottenere lo stesso risultato attraverso la fattorizzazione, un procedimento che diventa particolarmente utile quando i numeri sono più grandi.

Esercizio 2 – Facile/medio: distinguere numeri perfetti, difettivi e abbondanti

Problema

Consideriamo due numeri interi positivi, 12 e 28. Vogliamo stabilire se appartengono alla stessa categoria oppure se presentano comportamenti differenti rispetto alla somma dei loro divisori propri.

Richiesta

Calcola la somma dei divisori propri di entrambi i numeri e classificali come perfetti, difettivi o abbondanti.

Soluzione

Analizziamo il numero 12.

I suoi divisori positivi sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12 \end{aligned}[/math]

Escludendo il numero stesso, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} D(12)=\{1,2,3,4,6\} \end{aligned}[/math]

La somma è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(12)=1+2+3+4+6=16 \end{aligned}[/math]

Confrontando il risultato con il numero di partenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 16>12 \end{aligned}[/math]

Il numero 12 è quindi abbondante.

Analizziamo il numero 28.

I divisori propri sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} D(28)=\{1,2,4,7,14\} \end{aligned}[/math]

La loro somma è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(28)=1+2+4+7+14=28 \end{aligned}[/math]

Poiché la somma coincide con il numero:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 28=28 \end{aligned}[/math]

il numero 28 è perfetto.

Possiamo riassumere i risultati nella tabella:

Numero	Somma dei divisori propri	Classificazione
12	16	Abbondante
28	28	Perfetto

Osservazione

Il confronto tra 12 e 28 evidenzia una proprietà importante: la classificazione non dipende dalla quantità dei divisori, ma dalla loro somma. Un numero può avere diversi divisori e risultare abbondante, mentre un altro può essere perfetto quando la somma raggiunge esattamente il suo valore.

Esercizio 3 – Medio: costruire un numero perfetto con il teorema di Euclide-Eulero

Problema

Un laboratorio deve verificare una proprietà matematica relativa al numero 496, uno dei primi numeri perfetti conosciuti. Vogliamo ricavarlo attraverso il teorema di Euclide-Eulero, scegliendo [math]p=5[/math].

Richiesta

Verifica che [math]2^5-1[/math] sia primo, calcola il numero [math]N[/math] mediante la formula di Euclide-Eulero e dimostra che il risultato è perfetto.

Soluzione

Il teorema di Euclide-Eulero richiede che [math]p[/math] sia primo e che anche [math]2^p-1[/math] sia primo.

Nel nostro caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p=5 \end{aligned}[/math]

Il numero 5 è primo. Calcoliamo ora:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2^5-1=32-1=31 \end{aligned}[/math]

Anche 31 è primo, perché non è divisibile per nessuno dei numeri primi minori o uguali a [math]\sqrt{31}[/math], cioè 2, 3 e 5.

Possiamo quindi applicare il teorema:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^{p-1}(2^p-1) \end{aligned}[/math]

Sostituendo [math]p=5[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^4(2^5-1) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=16\cdot31 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{N=496} \end{aligned}[/math]

Per verificare direttamente che il risultato sia perfetto, scomponiamo 496:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 496=2^4\cdot31 \end{aligned}[/math]

I suoi divisori positivi sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 31,\ 62,\ 124,\ 248,\ 496 \end{aligned}[/math]

Escludendo 496, la somma dei divisori propri è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(496)={}&1+2+4+8+16\\ &+31+62+124+248 \end{aligned}[/math]

Raggruppiamo i termini per semplificare il calcolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1+2+4+8+16=31 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} 31+62+124+248=465 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(496)=31+465=496 \end{aligned}[/math]

Abbiamo dimostrato che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{496\text{ è un numero perfetto}} \end{aligned}[/math]

Osservazione

Il teorema di Euclide-Eulero permette di costruire numeri perfetti pari senza dover cercare casualmente i divisori. La condizione sulla primalità di [math]2^p-1[/math] è essenziale: non tutti gli esponenti primi producono un numero di Mersenne primo.

Esercizio 4 – Medio/difficile: verificare il numero perfetto 8128 con la funzione sigma

Problema

Il numero 8128 è il quarto numero perfetto pari. Verificare questa proprietà elencando tutti i divisori sarebbe possibile, ma poco conveniente. Utilizziamo quindi la fattorizzazione e la funzione sigma per semplificare i calcoli.

Richiesta

Riconosci la forma prevista dal teorema di Euclide-Eulero, verifica la primalità di [math]2^p-1[/math] e calcola [math]\sigma(8128)[/math].

Soluzione

Iniziamo scomponendo 8128:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 8128=64\cdot127 \end{aligned}[/math]

Poiché [math]64=2^6[/math], possiamo scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 8128=2^6\cdot127 \end{aligned}[/math]

Confrontando questa espressione con la formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^{p-1}(2^p-1) \end{aligned}[/math]

ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p-1=6 \end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p=7 \end{aligned}[/math]

Verifichiamo il secondo fattore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2^7-1=128-1=127 \end{aligned}[/math]

Il numero 127 è primo. Infatti, poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{127}\approx11{,}27 \end{aligned}[/math]

è sufficiente verificare che non sia divisibile per i numeri primi non superiori a questa radice, cioè 2, 3, 5, 7 e 11. Nessuno di questi divide 127.

Le condizioni del teorema sono quindi soddisfatte.

Possiamo ora verificare la perfezione attraverso la funzione sigma. La fattorizzazione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 8128=2^6\cdot127 \end{aligned}[/math]

I due fattori sono coprimi, perciò possiamo utilizzare la proprietà moltiplicativa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(8128)=\sigma(2^6)\sigma(127) \end{aligned}[/math]

Calcoliamo separatamente le due funzioni.

Per la potenza di 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(2^6)&=1+2+4+8+16+32+64\\ &=127 \end{aligned}[/math]

Per il fattore primo 127:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(127)=1+127=128 \end{aligned}[/math]

Moltiplicando i risultati otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(8128)=127\cdot128 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\sigma(8128)=16256} \end{aligned}[/math]

Ricordiamo che la funzione sigma comprende anche il numero stesso. La somma dei divisori propri è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(8128)=\sigma(8128)-8128 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(8128)=16256-8128=8128 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{8128\text{ è un numero perfetto}} \end{aligned}[/math]

Osservazione

La funzione sigma permette di verificare la perfezione senza elencare tutti i divisori. La fattorizzazione in primi e la proprietà moltiplicativa trasformano un calcolo apparentemente lungo in un prodotto di somme più semplici, rendendo il metodo applicabile anche a numeri di dimensioni maggiori.

Esercizio 5 – Difficile: verificare un risultato errato in un software matematico

Problema

Un software didattico propone il numero:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^{10}(2^{11}-1) \end{aligned}[/math]

e lo presenta come un numero perfetto ottenuto applicando il teorema di Euclide-Eulero con [math]p=11[/math].

Un revisore nota però che il numero [math]2^{11}-1[/math] potrebbe non essere primo. Per verificare il risultato è necessario fattorizzarlo e calcolare la somma dei divisori propri attraverso la funzione sigma.

Richiesta

Fattorizza [math]2^{11}-1[/math], calcola [math]\sigma(N)[/math], ricava la somma dei divisori propri e stabilisci se il numero è perfetto, difettivo oppure abbondante.

Soluzione

Calcoliamo innanzitutto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2^{11}-1=2048-1=2047 \end{aligned}[/math]

Verifichiamo se 2047 è primo. Una fattorizzazione possibile è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2047=23\cdot89 \end{aligned}[/math]

Poiché entrambi i fattori sono primi, 2047 è composto.

Questo significa che non possiamo applicare direttamente il teorema di Euclide-Eulero, perché manca una delle condizioni richieste.

Scriviamo il numero nella sua fattorizzazione completa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=2^{10}\cdot23\cdot89 \end{aligned}[/math]

Il suo valore è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} N=1024\cdot2047 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{N=2\,096\,128} \end{aligned}[/math]

Per calcolare la funzione sigma sfruttiamo la moltiplicatività, dato che i tre fattori sono coprimi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(N)=\sigma(2^{10})\sigma(23)\sigma(89) \end{aligned}[/math]

Calcoliamo ciascun fattore.

Per la potenza di 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(2^{10})&=1+2+4+\cdots+2^{10}\\ &=2^{11}-1\\ &=2047 \end{aligned}[/math]

Per il numero primo 23:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(23)=1+23=24 \end{aligned}[/math]

Per il numero primo 89:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(89)=1+89=90 \end{aligned}[/math]

Sostituendo i risultati:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma(N)=2047\cdot24\cdot90 \end{aligned}[/math]

Calcoliamo prima:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 24\cdot90=2160 \end{aligned}[/math]

e successivamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2047\cdot2160=4\,421\,520 \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\sigma(N)=4\,421\,520} \end{aligned}[/math]

La somma dei divisori propri si ottiene sottraendo il numero stesso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(N)=\sigma(N)-N \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(N)=4\,421\,520-2\,096\,128 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{s(N)=2\,325\,392} \end{aligned}[/math]

Confrontiamo ora i due valori:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2\,325\,392>2\,096\,128 \end{aligned}[/math]

La somma dei divisori propri è superiore al numero di partenza, pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{N\text{ è abbondante, non perfetto}} \end{aligned}[/math]

Osservazione

Questo esercizio mette in evidenza un errore che può verificarsi anche durante l’utilizzo di strumenti automatici: applicare una formula senza verificare tutte le ipotesi del teorema.

Il fatto che [math]p=11[/math] sia primo non è sufficiente per costruire un numero perfetto attraverso la formula di Euclide-Eulero. È necessario che anche [math]2^p-1[/math] sia primo. La verifica delle condizioni matematiche deve precedere l’applicazione della formula, indipendentemente dal fatto che il calcolo venga svolto manualmente oppure tramite un software.

Esercizio 6 – Sfida finale: dimostrare che una potenza di primo è sempre difettiva

Problema

Un candidato a numero perfetto dispari è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 729=3^6 \end{aligned}[/math]

Il fatto che sia una potenza di un numero primo potrebbe suggerire una particolare struttura dei suoi divisori. Vogliamo dimostrare che nessuna potenza di un numero primo può essere perfetta e utilizzare il risultato per classificare 729.

Richiesta

Dimostra che ogni numero della forma [math]p^a[/math], con [math]p[/math] primo e [math]a\geq1[/math], è difettivo. Calcola poi la somma dei divisori propri di 729 e commenta il problema dell’esistenza dei numeri perfetti dispari.

Soluzione

Consideriamo un numero della forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n=p^a \end{aligned}[/math]

dove [math]p[/math] è un numero primo e [math]a\geq1[/math] è un intero positivo.

I suoi divisori positivi sono le potenze di [math]p[/math] comprese tra [math]p^0[/math] e [math]p^a[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ p,\ p^2,\ldots,p^{a-1},p^a \end{aligned}[/math]

Escludendo il numero stesso, i divisori propri sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ p,\ p^2,\ldots,p^{a-1} \end{aligned}[/math]

La loro somma è una progressione geometrica di ragione [math]p[/math], quindi possiamo utilizzare la formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^{a-1} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{s(p^a)=\frac{p^a-1}{p-1}} \end{aligned}[/math]

Dobbiamo dimostrare che questa somma è sempre strettamente minore di [math]p^a[/math].

Consideriamo la differenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^a-s(p^a)=p^a-\frac{p^a-1}{p-1} \end{aligned}[/math]

Portando tutto allo stesso denominatore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^a-s(p^a)=\frac{p^a(p-1)-(p^a-1)}{p-1} \end{aligned}[/math]

Sviluppiamo il numeratore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^a-s(p^a)=\frac{p^{a+1}-2p^a+1}{p-1} \end{aligned}[/math]

Raccogliendo [math]p^a[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{p^a-s(p^a)=\frac{p^a(p-2)+1}{p-1}} \end{aligned}[/math]

Poiché [math]p[/math] è primo, deve essere [math]p\geq2[/math]. Di conseguenza:

• il denominatore [math]p-1[/math] è strettamente positivo;
• il termine [math]p-2[/math] è maggiore o uguale a zero;
• il numeratore [math]p^a(p-2)+1[/math] è strettamente positivo.

La differenza è quindi positiva:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p^a-s(p^a)>0 \end{aligned}[/math]

Da cui segue:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(p^a)<p^a \end{aligned}[/math]

Abbiamo così dimostrato che ogni potenza di un numero primo è difettiva, indipendentemente dal valore dell’esponente.

Applichiamo ora il risultato a:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 729=3^6 \end{aligned}[/math]

I suoi divisori propri sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1,\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243 \end{aligned}[/math]

La loro somma è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(729)=1+3+9+27+81+243 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{s(729)=364} \end{aligned}[/math]

Possiamo verificare il risultato anche attraverso la formula della progressione geometrica:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(729)=\frac{3^6-1}{3-1} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} s(729)=\frac{729-1}{2}=364 \end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 364<729 \end{aligned}[/math]

il numero 729 è difettivo e non può essere perfetto.

Una precisazione sui numeri perfetti dispari

Il risultato dimostrato non permette di concludere che tutti i numeri dispari siano difettivi, ma esclude una particolare famiglia di candidati: le potenze di un singolo numero primo.

La questione generale rimane aperta. Non è ancora noto se esista almeno un numero perfetto dispari, nonostante secoli di ricerche e numerosi risultati che ne limitano fortemente la possibile struttura.

La dimostrazione mostra quindi come una proprietà algebrica relativamente semplice possa escludere un’intera famiglia di numeri, senza dover verificare singolarmente tutti i suoi elementi.

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Quale metodo utilizzare per riconoscere un numero perfetto?

I sei esercizi hanno introdotto strumenti differenti, ciascuno adatto a un particolare tipo di problema. La scelta del procedimento dipende soprattutto dalla grandezza del numero e dalle informazioni che abbiamo a disposizione.

Tipo di problema	Metodo matematico
Verificare un numero piccolo	Elencare e sommare i divisori propri
Classificare un numero composto	Confrontare la somma dei divisori con il numero
Verificare un numero perfetto pari	Applicare il teorema di Euclide-Eulero
Calcolare la somma dei divisori di un numero grande	Utilizzare la funzione sigma
Verificare la primalità di un numero	Controllare i divisori primi fino alla radice quadrata
Escludere un’intera famiglia di candidati	Costruire una dimostrazione generale

Un aspetto importante riguarda il rapporto tra calcolo e dimostrazione. Verificare che un numero abbia la somma dei divisori propri uguale a se stesso permette di classificarlo, ma non dimostra automaticamente una proprietà valida per un’intera famiglia di numeri. Per questo motivo, nell’ultimo esercizio, non ci siamo limitati a verificare 729: abbiamo dimostrato che tutte le potenze di un numero primo sono difettive.

La funzione sigma rappresenta invece uno strumento particolarmente efficace quando la fattorizzazione è nota, perché consente di calcolare la somma dei divisori senza doverli elencare uno per uno.

 

La teoria dei numeri offre numerosi esempi in cui proprietà apparentemente semplici conducono a risultati molto più generali. I numeri perfetti ne sono una dimostrazione significativa: partire dalla somma di pochi divisori permette di arrivare a teoremi che descrivono un’intera famiglia di numeri e a problemi matematici che, ancora oggi, non hanno una soluzione definitiva.

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