Equazioni Diofantee: Guida Pratica con Esercizi Risolti (Dalla Lineare all’Esponenziale)

Esercizio 1 – Facile (Livello base: equazione diofantea lineare in due variabili)

Testo:

Un negozio di articoli da regalo vende scatole di cioccolatini assortiti e pacchetti di biscotti fini. Una scatola di cioccolatini costa 8 €, un pacchetto di biscotti costa 5 €. Se un cliente ha speso esattamente 63 € acquistando solo questi due prodotti, quante scatole di cioccolatini e quanti pacchetti di biscotti potrebbe aver comprato?

Risoluzione:

Modellizzazione:

Indichiamo con [math]x[/math] il numero di scatole di cioccolatini (da 8 €) e con [math]y[/math] il numero di pacchetti di biscotti (da 5 €).
L’equazione è:
[math]8x + 5y = 63[/math]
con [math]x, y[/math] interi non negativi (non si possono comprare quantità negative).

Ricavare una variabile:

Ricaviamo [math]y[/math] in funzione di [math]x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
5y = 63 – 8x \Rightarrow y = \frac{63 – 8x}{5}
\end{aligned}[/math]

[math]y[/math] deve essere intero, quindi [math]63 – 8x[/math] deve essere multiplo di 5.

Condizione di divisibilità:

Cercare [math]x[/math] tale che [math]63 – 8x \equiv 0 \pmod{5}[/math].
Riduciamo modulo 5:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
63 \equiv 3 \pmod{5}, \quad 8x \equiv 3x \pmod{5}
\end{aligned}[/math]

Quindi [math]3 – 3x \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 3x \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{5}[/math].

Valori possibili per [math]x[/math]:

[math]x = 1, 6, 11, \dots[/math] ma se [math]x = 11[/math]: [math]8 \cdot 11 = 88 > 63[/math] ([math]y[/math] negativo). Quindi proviamo:

• [math]x = 1[/math]: [math]y = (63 – 8)/5 = 55/5 = 11[/math]
• [math]x = 6[/math]: [math]y = (63 – 48)/5 = 15/5 = 3[/math]

Soluzioni:

[math](x, y) = (1, 11), (6, 3)[/math]
Entrambe accettabili (interi non negativi).

Osservazioni:

💡 In un’equazione diofantea lineare [math]ax + by = c[/math], la condizione necessaria è che [math]MCD(a, b)[/math] divida [math]c[/math]. Qui [math]MCD(8, 5) = 1[/math], quindi esistono sempre soluzioni intere. Le soluzioni non negative si ottengono limitando i valori.

Domanda di riflessione:

Perché abbiamo cercato [math]x[/math] tale che [math]63 – 8x[/math] sia multiplo di 5? Come generalizzeresti questo passo per un’equazione [math]ax + by = c[/math]?

Esercizio 2 – Medio-facile (Massimo comun divisore e condizioni di esistenza)

Testo:

Un’associazione organizza una raccolta fondi vendendo biglietti per due tipi di lotterie: il biglietto “oro” costa 15 €, il biglietto “argento” costa 12 €. La cassa al termine della giornata ammonta a 300 €, tutti provenienti dalla vendita di questi biglietti. È possibile determinare quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti? Se sì, trovare tutte le combinazioni possibili (supponendo che almeno un biglietto di ogni tipo sia stato venduto).

Risoluzione:

Equazione:

[math]15x + 12y = 300[/math], [math]x, y[/math] interi positivi.

Semplificazione:

[math]MCD(15, 12) = 3[/math]. Dividiamo tutto per 3:
[math]5x + 4y = 100[/math]
[math]MCD(5, 4) = 1[/math], quindi esistono soluzioni intere.

Soluzione particolare:

Troviamo una soluzione per [math]5x + 4y = 1[/math]: [math]5 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 1[/math].
Moltiplichiamo per 100: [math]x_0 = 100, y_0 = -100[/math] è una soluzione per [math]5x + 4y = 100[/math].
Ma cerchiamo soluzioni positive, useremo la formula generale.

Formula generale:

Se [math](x_0, y_0)[/math] è una soluzione, tutte le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x = x_0 + 4t, \quad y = y_0 – 5t, \quad t \in \mathbb{Z}
\end{aligned}[/math]

Con [math](x_0, y_0) = (100, -100)[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x = 100 + 4t, \quad y = -100 – 5t
\end{aligned}[/math]

Per avere [math]x > 0[/math] e [math]y > 0[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
100 + 4t > 0 &\Rightarrow t > -25 \\
-100 – 5t > 0 &\Rightarrow -5t > 100 \Rightarrow t < -20
\end{aligned}[/math]

Valori interi di [math]t[/math]:

[math]t[/math] intero tra [math]-24[/math] e [math]-21[/math]:

• [math]t = -24[/math]: [math]x = 4, y = 20[/math]
• [math]t = -23[/math]: [math]x = 8, y = 15[/math]
• [math]t = -22[/math]: [math]x = 12, y = 10[/math]
• [math]t = -21[/math]: [math]x = 16, y = 5[/math]

Risposta:

Le combinazioni sono: (4 oro, 20 argento), (8, 15), (12, 10), (16, 5).

Osservazioni:

💡 Dividere per il MCD semplifica l’equazione e garantisce che si lavori con coefficienti coprimi. La formula generale delle soluzioni dipende da una soluzione particolare e dai coefficienti dell’equazione omogenea.

Domanda di riflessione:

Perché non abbiamo soluzioni per [math]t = -20[/math]? Cosa succederebbe se la cassa fosse stata 301 € invece di 300 €?

Esercizio 3 – Medio (Equazione con vincoli di positività e interpretazione geometrica)

Testo:

In un torneo di calcetto, una vittoria dà 3 punti, un pareggio 1 punto, una sconfitta 0 punti. La squadra “Diofantina” dopo 20 partite ha totalizzato 37 punti. Quante vittorie, pareggi e sconfitte potrebbe avere avuto?

Risoluzione:

Variabili:

[math]v[/math] = vittorie, [math]p[/math] = pareggi, [math]s[/math] = sconfitte.

Vincoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v + p + s = 20 \\
3v + 1p + 0s = 37
\end{aligned}[/math]

[math]v, p, s[/math] interi non negativi.

Sostituzione:

Dalla seconda: [math]p = 37 – 3v[/math].
Sostituiamo nella prima:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v + (37 – 3v) + s = 20 \\
-2v + 37 + s = 20 \\
s = 2v – 17
\end{aligned}[/math]

Condizioni di non negatività:

• [math]v \ge 0[/math]
• [math]p \ge 0 \Rightarrow 37 – 3v \ge 0 \Rightarrow v \le 12.33 \Rightarrow v \le 12[/math]
• [math]s \ge 0 \Rightarrow 2v – 17 \ge 0 \Rightarrow v \ge 8.5 \Rightarrow v \ge 9[/math]

[math]v[/math] intero: [math]9 \le v \le 12[/math].

Calcolo per ciascun [math]v[/math]:

• [math]v = 9[/math]: [math]p = 37 – 27 = 10[/math], [math]s = 18 – 17 = 1[/math]
• [math]v = 10[/math]: [math]p = 7[/math], [math]s = 3[/math]
• [math]v = 11[/math]: [math]p = 4[/math], [math]s = 5[/math]
• [math]v = 12[/math]: [math]p = 1[/math], [math]s = 7[/math]

Soluzioni:

[math](v, p, s) = (9, 10, 1), (10, 7, 3), (11, 4, 5), (12, 1, 7)[/math].

Osservazioni:

💡 Abbiamo due equazioni in tre incognite, quindi ci si aspetta infinite soluzioni intere in assenza di vincoli di non negatività. Tali vincoli restringono a poche possibilità, controllabili a mano.

Domanda di riflessione:

Perché non c’è soluzione con [math]v = 8[/math]? Cosa rappresenterebbe [math]s[/math] in quel caso?

Esercizio 4 – Medio-difficile (Equazione non lineare: iperbolica)

Testo:

Trova tutte le coppie di interi positivi [math](x, y)[/math] tali che:

[math]\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}[/math]

Risoluzione:

Riscrittura:

Moltiplicando per [math]7xy[/math] (con [math]x, y \neq 0[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
7y + 7x &= xy \\
xy – 7x – 7y &= 0
\end{aligned}[/math]

Completamento del prodotto:

Aggiungiamo 49 a entrambi i membri:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy – 7x – 7y + 49 &= 49 \\
(x – 7)(y – 7) &= 49
\end{aligned}[/math]

Fattorizzazione di 49:

[math]49 = 1 \cdot 49 = 7 \cdot 7 = 49 \cdot 1[/math] (interi positivi).
Dobbiamo considerare tutti i divisori interi di 49, positivi e negativi. Tuttavia, se [math]x, y > 0[/math], verifichiamo i casi.

Sistemi:

[math](x – 7, y – 7) = (d, 49/d)[/math] con [math]d[/math] divisore di 49.
Troviamo [math]x = 7 + d, y = 7 + 49/d[/math].

• [math]d = 1[/math]: [math](8, 56)[/math]
• [math]d = 7[/math]: [math](14, 14)[/math]
• [math]d = 49[/math]: [math](56, 8)[/math]
• [math]d = -1[/math]: [math](6, -42)[/math] no ([math]y[/math] negativo)
• [math]d = -7[/math]: [math](0, 0)[/math] no ([math]x=0[/math])
• [math]d = -49[/math]: [math](-42, 6)[/math] no ([math]x[/math] negativo)

Soluzioni intere positive:

[math](8, 56), (14, 14), (56, 8)[/math].

Osservazioni:

💡 La tecnica di completamento del prodotto [math](x – a)(y – b) = c[/math] è standard per equazioni iperboliche di quel tipo. Si riduce allo studio dei divisori di [math]c[/math].

Domanda di riflessione:

Perché abbiamo aggiunto proprio 49 e non un altro numero? Come si determina quel numero in generale per un’equazione [math]xy – ax – by = 0[/math]?

Esercizio 5 – Difficile (Equazione esponenziale diofantea)

Testo:

Determina tutte le coppie di interi positivi [math](m, n)[/math] tali che:

[math]3^m – 2^n = 1[/math]

Risoluzione:

Casi piccoli:

Se [math]m = 1[/math]: [math]3 – 2^n = 1 \Rightarrow 2^n = 2 \Rightarrow n = 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] soluzione [math](1, 1)[/math].

Supponiamo [math]m > 1[/math] e [math]n > 1[/math]:

Riscriviamo: [math]3^m = 2^n + 1[/math].

Notiamo che se [math]m[/math] è pari: [math]m = 2k[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3^{2k} – 1 = (3^k – 1)(3^k + 1) = 2^n
\end{aligned}[/math]

Due potenze di 2 che differiscono di 2: [math]3^k – 1 = 2[/math] e [math]3^k + 1 = 4[/math].
[math]\Rightarrow 3^k = 3 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow m = 2[/math].
[math]2^n = 9 – 1 = 8 \Rightarrow n = 3[/math].
Soluzione: [math](2, 3)[/math].

Se [math]m[/math] dispari [math]> 1[/math]:

Proviamo [math]m = 3[/math]: [math]27 – 2^n = 1 \Rightarrow 2^n = 26[/math] (no).
Usiamo congruenze:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Se } m = 2k+1 &: 3^{2k+1} – 1 = 3 \cdot 9^k – 1 \\
&\equiv 3 \cdot 1^k – 1 \equiv 2 \pmod{4}
\end{aligned}[/math]

Verifichiamo modulo 8:
[math]9 \equiv 1 \pmod{8}[/math], quindi [math]9^k \equiv 1 \pmod{8}[/math].
[math]3 \cdot 9^k – 1 \equiv 3(1) – 1 \equiv 2 \pmod{8}[/math].

Ma [math]2^n[/math] per [math]n \ge 3[/math] è multiplo di 8, quindi non può essere [math]\equiv 2 \pmod{8}[/math].
Per [math]n \ge 3[/math], se [math]m[/math] dispari [math]> 1[/math], nessuna soluzione.
Controlliamo [math]n = 2[/math]: [math]3^m – 4 = 1 \Rightarrow 3^m = 5[/math] (no).

Soluzioni:

[math](m, n) = (1, 1), (2, 3)[/math].

Osservazioni:

💡 Per equazioni esponenziali del tipo [math]a^x – b^y = c[/math], si usano spesso congruenze modulo un numero opportuno per limitare le possibilità. La fattorizzazione è utile quando gli esponenti non sono primi tra loro.

Domanda di riflessione:

Perché abbiamo usato la congruenza modulo 8? Quali altre congruenze avrebbero potuto funzionare?

Esercizio 1

Abbiamo cercato [math]x[/math] tale che [math]63 – 8x[/math] sia multiplo di 5 perché la variabile [math]y[/math], definita come:

[math]\displaystyle y = \frac{63 – 8x}{5}[/math]

deve essere un numero intero.
Generalizzazione: Per un’equazione della forma [math]ax + by = c[/math], si risolve la congruenza [math]ax \equiv c \pmod{b}[/math] (o viceversa [math]by \equiv c \pmod{a}[/math]) per individuare [math]x[/math] nella classe di congruenza corretta che garantisce l’interezza della seconda variabile.

Esercizio 2

Per [math]t = -20[/math] otterremmo [math]y = 0[/math], ma il testo del problema richiedeva che fosse stato venduto almeno un biglietto di ogni tipo (quindi [math]x, y[/math] devono essere interi positivi, non solo non negativi).
Se la cassa ammontasse a 301 €, poiché [math]MCD(15, 12) = 3[/math] e 3 non divide 301, l’equazione non ammetterebbe nessuna soluzione intera. Affinché esistano soluzioni, il totale della cassa deve necessariamente essere un multiplo del massimo comun divisore dei costi dei biglietti.

Esercizio 3

Per [math]v = 8[/math], il calcolo darebbe [math]s = 2v – 17 = 16 – 17 = -1[/math]. Un valore negativo per [math]s[/math] è impossibile nel contesto reale, poiché rappresenterebbe un numero negativo di sconfitte, il che non ha senso logico.

Esercizio 4

Il numero 49 è stato aggiunto perché corrisponde al prodotto [math]a \cdot b[/math] dove [math]a = 7[/math] e [math]b = 7[/math] nell’equazione [math]xy – ax – by = 0[/math].
In generale: per fattorizzare un’equazione del tipo [math]xy – ax – by = 0[/math], si aggiunge il termine [math]ab[/math] a entrambi i membri per completare il prodotto e ottenere la forma iperbolica:

[math]\displaystyle (x – a)(y – b) = ab[/math]

Esercizio 5

L’utilizzo del modulo 8 è strategico perché [math]2^n[/math], per ogni [math]n \ge 3[/math], è congruo a [math]0 \pmod{8}[/math]. Questo ci permette di dimostrare che l’espressione [math]3^m – 1[/math] non può mai essere uguale a un multiplo di 8 quando [math]m[/math] è dispari e maggiore di 1 (essendo sempre congrua a [math]2 \pmod{8}[/math]).
Mentre i moduli 3 o 4 forniscono informazioni parziali, il modulo 8 offre una condizione più restrittiva che esclude categoricamente le soluzioni per esponenti elevati.

Esercizio 6 – Mix (Lineare con tre variabili)

Testo: Un contadino acquista un totale di 100 animali spendendo esattamente 100 monete d’oro. I prezzi sono: 5 monete per ogni mucca, 3 monete per ogni maiale e 0.5 monete per ogni pecora. Quanti animali di ciascuna specie ha comprato?

Suggerimento: Imposta il sistema con [math]x+y+z=100[/math] e l’equazione del costo, poi elimina una variabile.

Esercizio 7 – Non Lineare (Modello area)

Testo: Trova i lati [math]x[/math] e [math]y[/math] di un rettangolo, espressi come numeri interi, tali che l’area sia numericamente uguale al doppio del perimetro.

Suggerimento: L’equazione è [math]xy = 2(2x + 2y)[/math]. Usa la tecnica del completamento del prodotto vista nell’Esercizio 4.