La proposta rivoluzionaria di Wildberger e Rubine
Uno dei problemi più antichi e affascinanti della matematica riguarda la risoluzione delle equazioni polinomiali: da quelle di secondo grado, ben note fin dai tempi di al-Khwarizmi, fino a quelle di terzo e quarto grado, risolte nel Rinascimento italiano. Ma per le equazioni di grado superiore al quarto, da secoli sappiamo che non esistono formule generali con radicali, come dimostrato dal teorema di Abel-Ruffini.
Eppure, nel 2025, due studiosi australiani – il matematico Norman Wildberger e l’informatico Dean Rubine – hanno pubblicato su The American Mathematical Monthly un articolo che propone un nuovo metodo per affrontare queste equazioni. Non si tratta di un’ennesima approssimazione numerica o di un trucco algebrico, ma di un approccio radicalmente diverso, basato su una visione geometrica e razionale dell’algebra.
Di cosa si tratta
L’idea centrale è abbandonare l’uso di radici e numeri complessi, privilegiando invece una costruzione completamente razionale e costruttiva. Wildberger, noto per i suoi lavori sulla “trigonometria razionale” e su una matematica priva di irrazionali, estende questa filosofia anche alle equazioni polinomiali, cercando soluzioni rappresentabili senza fare ricorso a entità algebriche “astratte” o non costruttive.
Il metodo impiega trasformazioni geometriche e identità razionali, che permettono di trattare alcuni polinomi di grado superiore in modo esplicito, pur rimanendo all’interno dell’aritmetica razionale. Questo può sembrare limitativo, ma in realtà apre nuove strade sia per la didattica sia per l’algebra computazionale.
Perché è importante
Questa scoperta non risolve “una volta per tutte” il problema delle equazioni di quinto grado e oltre, ma prospetta un’alternativa alla tradizione basata sui radicali e sui numeri complessi, con potenziali applicazioni in:
-
didattica, rendendo l’algebra superiore più accessibile;
-
informatica matematica, dove la razionalità pura può offrire vantaggi computazionali;
-
fondamenti della matematica, sfidando il modo in cui concepiamo il concetto stesso di “soluzione”.
In un’epoca in cui l’intelligenza artificiale e l’automazione stanno ridefinendo il ruolo della matematica applicata, tornare alle radici razionali della disciplina può sembrare paradossale, ma potrebbe rivelarsi una scelta profondamente innovativa.
Vuoi approfondire?
Puoi leggere l’articolo completo (in inglese) qui:
Wildberger e Rubine – The American Mathematical Monthly, 2025
Un esempio semplificato: affrontare un’equazione di quinto grado in modo razionale
Consideriamo una semplice equazione polinomiale di quinto grado:
[math]x^5 – 5x^3 + 4x = 0[/math]
Nel metodo classico, per affrontare un’equazione di quinto grado, si cercherebbero soluzioni tramite formule generali (non sempre applicabili) o metodi che spesso coinvolgono radici e concetti complessi. Ma il lavoro di matematici come Wildberger e Rubine suggerisce un approccio alternativo, che mira a essere quanto più possibile razionale e costruttivo, sfruttando la struttura intrinseca del problema.
Fattorizzazione iniziale
Notiamo che l’equazione data presenta un fattore comune [math]x[/math]. Possiamo quindi raccoglierlo:
[math]x(x^4 – 5x^2 + 4) = 0[/math]
Da questa fattorizzazione, otteniamo immediatamente una prima soluzione razionale:
[math]x = 0[/math]
Rimane da risolvere l’equazione di quarto grado residua:
[math]x^4 – 5x^2 + 4 = 0[/math]
Cambio di variabile razionale
Osserviamo la struttura dell’equazione di quarto grado: essa contiene solo potenze pari di [math]x[/math] ([math]x^4[/math] e [math]x^2[/math]). Questo suggerisce un cambio di variabile razionale. Poniamo:
[math]y = x^2[/math]
Sostituendo [math]y[/math] nell’equazione [math]x^4 – 5x^2 + 4 = 0[/math], otteniamo un’equazione quadratica nella variabile [math]y[/math]:
[math]y^2 – 5y + 4 = 0[/math]
Questa è un’equazione quadratica standard. Possiamo risolverla usando metodi puramente razionali, come la fattorizzazione, completamento del quadrato razionale, o formule quadratiche che non richiedano esplicitamente l’uso di radici irrazionali nella loro derivazione se ci si limita al campo razionale (come si può fare con gli strumenti della trigonometria razionale).
In questo caso specifico, l’equazione quadratica è facilmente fattorizzabile:
[math](y – 4)(y – 1) = 0[/math]
Uguagliando a zero ciascun fattore, troviamo le soluzioni per [math]y[/math]:
[math]y – 4 = 0 \implies y = 4[/math]
oppure
[math]y – 1 = 0 \implies y = 1[/math]
Quindi abbiamo trovato che [math]y[/math] deve essere uguale a [math]1[/math] o [math]4[/math]. Ricordando la sostituzione [math]y = x^2[/math], otteniamo due equazioni per [math]x[/math]:
[math]x^2 = 1[/math]
o
[math]x^2 = 4[/math]
Soluzioni finali razionali
Risolvendo queste semplici equazioni quadratiche per [math]x[/math] (che in questo caso hanno soluzioni razionali), troviamo le soluzioni finali per l’equazione originale di quinto grado:
Da [math]x^2 = 1[/math], otteniamo [math]x = \pm 1[/math].
Da [math]x^2 = 4[/math], otteniamo [math]x = \pm 2[/math].
Insieme alla soluzione [math]x = 0[/math] trovata all’inizio, le soluzioni complete dell’equazione [math]x^5 – 5x^3 + 4x = 0[/math] sono [math]x = 0, 1, -1, 2, -2[/math]. Tutte queste soluzioni sono numeri razionali.
Cosa abbiamo ottenuto?
Senza ricorrere a formule generali per le equazioni di quinto grado (che, per la maggior parte delle equazioni, richiederebbero l’uso di radicali complessi, come stabilito dal teorema di Abel-Ruffini), e mantenendo un approccio puramente algebrico razionale (la risoluzione della quadratica è avvenuta per fattorizzazione diretta), siamo riusciti a trovare tutte le radici di questo specifico polinomio di quinto grado. Abbiamo sfruttato unicamente la struttura particolare dell’equazione e un cambio di variabile mirato.
Questo esempio illustra lo spirito di alcuni approcci matematici moderni, come quelli esplorati da Wildberger, che cercano di risolvere problemi in modo costruttivo e razionale, semplificando attraverso l’analisi della struttura del problema stesso, piuttosto che affidarsi ciecamente a formule generali che possono introdurre complessità non necessarie, specialmente quando ci si interessa solo a soluzioni in campi specifici come i numeri razionali.
Esempi di equazioni polinomiali con approccio Wildberger-Rubine
Ecco tre ulteriori esempi che illustrano come sia possibile affrontare equazioni polinomiali superiori con strategie razionali, fattorizzazioni intelligenti o cambi di variabile mirati, ispirati allo spirito del metodo di Wildberger e Rubine. L’obiettivo è quello di sfruttare la struttura dell’equazione per semplificare il problema e ottenere rappresentazioni esplicite delle soluzioni, evitando (quando possibile o desiderato) l’uso generalizzato di radicali irrazionali o numeri complessi nella fase risolutiva principale, e concentrandosi sulla comprensione razionale delle radici.
Esempio 1: equazione simmetrica con potenze dispari
Equazione:
[math]x^5 – 5x^3 + 4x = 0[/math]
Questa equazione contiene solo potenze dispari di x, e ogni termine ha x come fattore comune. Possiamo raccogliere x:
[math]x(x^4 – 5x^2 + 4) = 0[/math]
Quindi una soluzione è x = 0. Il resto dell’equazione diventa:
[math]x^4 – 5x^2 + 4 = 0[/math]
Pongo y = x², da cui segue:
[math]y^2 – 5y + 4 = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ oppure } y = 4[/math]
Tornando a x, otteniamo:
[math]x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1[/math]
[math]x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2[/math]
Soluzioni: x = 0, ±1, ±2
Anche se stiamo usando tecniche algebriche classiche (raccolta e sostituzione), questo esempio rientra nello spirito dell’approccio Wildberger-Rubine: riconoscere strutture razionali interne a polinomi superiori e mantenere la soluzione nel dominio algebrico esatto.
Esempio 2: polinomio con variabili distribuite su potenze elevate
Equazione:
[math]x^5 + x^3 – 6x = 0[/math]
Come prima, raccogliamo x:
[math]x(x^4 + x^2 – 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ oppure risolviamo } x^4 + x^2 – 6 = 0[/math]
Pongo y = x²:
[math]y^2 + y – 6 = 0 \Rightarrow y = 2 \text{ oppure } y = -3[/math]
Da:
[math]x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \quad \text{(x reali ma irrazionali)}[/math]
[math]x^2 = -3 \Rightarrow \text{nessuna soluzione reale}[/math]
Soluzioni: x = 0, ±√2
In questo esempio, la presenza della radice quadrata di 2 implica che le soluzioni non sono tutte razionali. Tuttavia, il metodo Wildberger-Rubine incoraggia a esprimere queste soluzioni simbolicamente (±√2) senza doverle approssimare. Questo mantiene la precisione algebrica e ne permette la manipolazione simbolica.
Esempio 3: polinomio completamente fattorizzabile
Equazione:
[math]x^6 – 9x^4 = 0[/math]
Raccogliamo x⁴:
[math]x^4(x^2 – 9) = 0 \Rightarrow x^4 = 0 \text{ oppure } x^2 – 9 = 0[/math]
Soluzioni:
[math]x^4 = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ (molteplicità 4)}[/math]
[math]x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x = \pm3[/math]
Soluzioni: x = 0 (molteplicità 4), ±3
Questo caso evidenzia una struttura completamente scomponibile: le soluzioni possono essere espresse interamente con numeri razionali o interi. È il caso ideale per un trattamento simbolico costruttivo e rende evidente come certe equazioni di grado superiore si prestino naturalmente a un’analisi esatta.
Esempio 4: equazione con solo termini pari
Equazione:
[math]x^6 – 7x^2 + 10 = 0[/math]
Questa è un’equazione di sesto grado in cui compaiono solo potenze pari di x. Un primo passo naturale — in linea con un approccio razionale — è semplificare l’equazione attraverso un cambio di variabile:
Pongo y = x²:
[math]x^6 = (x^2)^3 = y^3 \Rightarrow x^2 = y[/math]
Sostituendo nell’equazione iniziale, otteniamo:
[math]y^3 – 7y + 10 = 0[/math]
Si tratta ora di un’equazione cubica in y. A questo punto, potremmo cercare radici razionali testando i divisori del termine noto (±1, ±2, ±5, ±10), ma nessuna di queste sembra annullare il polinomio. La cubica non ha quindi soluzioni razionali semplici.
Tuttavia, ed è qui che entra il contributo del metodo Wildberger-Rubine, anche in assenza di soluzioni numeriche razionali esplicite, l’equazione può essere affrontata in modo costruttivo. L’idea è di trattare le radici della cubica come oggetti simbolici esatti (senza approssimazioni decimali), esprimendo la soluzione dell’equazione originale come:
[math]x = \pm\sqrt{y_1}[/math]
con y₁ soluzione reale (non necessariamente razionale) di y³ – 7y + 10 = 0
Il metodo suggerisce dunque di mantenere queste soluzioni in forma simbolica gestibile — rappresentandole per esempio tramite funzioni razionali, curve geometriche o espressioni che restano nel dominio dell’algebra costruttiva — evitando il ricorso a numeri complessi o a radicali non necessari.
Questo esempio mostra quindi un caso in cui l’approccio razionale “nello spirito” del metodo Wildberger-Rubine permette di riconoscere la struttura dell’equazione e le sue soluzioni senza dipendere da strumenti numerici o da calcoli opachi. Anche se non usiamo l’intera potenza del nuovo metodo (che prevede tecniche geometriche più sofisticate), l’atteggiamento costruttivo e razionale è ben rappresentato.
Ulteriori esempi : strategie razionali per equazioni polinomiali superiori
Proseguiamo l’esplorazione di come affrontare equazioni polinomiali superiori (di grado maggiore di 2) utilizzando strategie che privilegiano l’algebra razionale, le fattorizzazioni e i cambi di variabile, ispirandosi all’approccio di Wildberger e Rubine. Questi metodi mirano a semplificare il problema e a fornire rappresentazioni esplicite e significative delle soluzioni, anche quando queste non sono razionali o reali, piuttosto che ricorrere a formule generali complesse o approssimazioni decimali premature.
Esempio 5: Equazione con solo termini pari
Consideriamo un’equazione di sesto grado che presenta solo termini con potenze pari di [math]x[/math]:
[math]x^6 – 7x^2 + 10 = 0[/math]
La presenza esclusiva di potenze pari suggerisce un cambio di variabile razionale. Poniamo:
[math]y = x^2[/math]
Sostituendo [math]y[/math] nell’equazione originale, la riduciamo a un’equazione cubica nella variabile [math]y[/math]:
[math]y^3 – 7y + 10 = 0[/math]
Questa è un’equazione cubica. Secondo il metodo classico, la sua risoluzione generale richiederebbe l’uso di formule (come quelle di Cardano) che coinvolgono radicali. Tuttavia, prima di ricorrere a tali formule, è razionale cercare se l’equazione cubica ammette radici razionali. Per il Teorema delle Radici Razionali, le possibili radici razionali sono della forma [math]\pm p/q[/math], dove [math]p[/math] divide il termine noto (10) e [math]q[/math] divide il coefficiente direttivo (1). Le possibili radici razionali intere sono i divisori di 10: [math]\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10[/math].
Proviamo a sostituire alcuni di questi valori nell’equazione [math]y^3 – 7y + 10 = 0[/math]:
[math]P(1) = (1)^3 – 7(1) + 10 = 1 – 7 + 10 = 4 \neq 0[/math]
[math]P(2) = (2)^3 – 7(2) + 10 = 8 – 14 + 10 = 4 \neq 0[/math]
[math]P(5) = (5)^3 – 7(5) + 10 = 125 – 35 + 10 = 100 \neq 0[/math]
Continuando la verifica (anche per i valori negativi e le frazioni se i coefficienti fossero diversi da 1), si scopre che questa specifica equazione cubica [math]y^3 – 7y + 10 = 0[/math] non ha radici razionali semplici evidenti. Anche se non possiamo fattorizzarla facilmente con metodi razionali elementari, siamo riusciti a ricondurre un problema di sesto grado a uno cubico. Il metodo razionale non si ferma qui; può utilizzare strumenti simbolici per studiare e rappresentare le radici cubiche di [math]y[/math] (e quindi le radici seste di [math]x[/math]) in forma esatta, senza dover ricorrere a calcoli decimali approssimati. L’enfasi è sulla struttura algebrica e sulla rappresentazione esplicita delle soluzioni simboliche.
Esempio 6: Equazione palindroma
Consideriamo l’equazione di quarto grado:
[math]x^4 + 3x^2 + 1 = 0[/math]
Questa equazione presenta una forma “palindroma” nei coefficienti (1, 3, 1 rispetto alle potenze pari di [math]x[/math]). Anche qui, vediamo solo potenze pari di [math]x[/math] ([math]x^4 = (x^2)^2[/math] e [math]x^2[/math]). Applichiamo il cambio di variabile razionale:
[math]y = x^2[/math]
L’equazione si trasforma in una quadratica nella variabile [math]y[/math]:
[math]y^2 + 3y + 1 = 0[/math]
Questa equazione quadratica non è fattorizzabile in modo semplice sui numeri razionali. Possiamo risolverla usando la formula quadratica (che, nel contesto razionale, può essere derivata con metodi geometrici o algebrici puramente razionali prima di applicarla):
[math]
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}
[/math]
[math]
= \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
[/math]
Le soluzioni per [math]y[/math] sono quindi:
[math]y = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{oppure} \quad y = \frac{-3 – \sqrt{5}}{2}[/math]
Queste soluzioni per [math]y[/math] non sono razionali, poiché coinvolgono la radice di 5. Sostituendo nuovamente [math]x^2[/math] al posto di [math]y[/math], otteniamo le equazioni per [math]x[/math]:
[math]x^2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{o} \quad x^2 = \frac{-3 – \sqrt{5}}{2}[/math]
Le soluzioni per [math]x[/math] sarebbero quindi [math]x = \pm \sqrt{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}}[/math] e [math]x = \pm \sqrt{\frac{-3 – \sqrt{5}}{2}}[/math]. Queste coinvolgono radicali innestati e non sono razionali o neanche semplici radicali quadrati di razionali. L’aspetto che il metodo Wildberger valorizza qui è la capacità di esprimere queste soluzioni in una forma simbolica compatta e esatta ([math]y = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}[/math]), senza dover calcolare o approssimare il valore di [math]\sqrt{5}[/math]. Si lavora con la struttura algebrica e le relazioni esatte tra i numeri.
Esempio 7: Equazione con prodotto notevole nascosto
Consideriamo l’equazione:
[math]x^6 – 4x^3 + 4 = 0[/math]
Anche questa equazione di sesto grado presenta una struttura particolare legata alle potenze di [math]x[/math]. Notiamo che i termini sono [math]x^6 = (x^3)^2[/math], [math]x^3[/math] e un termine costante. Questo suggerisce il cambio di variabile:
[math]y = x^3[/math]
Sostituendo [math]y[/math], otteniamo un’equazione quadratica nella variabile [math]y[/math]:
[math]y^2 – 4y + 4 = 0[/math]
Questa equazione quadratica è un esempio classico di un prodotto notevole: un quadrato di binomio.
[math](y – 2)^2 = 0[/math]
Questa fattorizzazione ci dà una soluzione per [math]y[/math] con molteplicità 2:
[math]y = 2[/math]
Ora sostituiamo nuovamente [math]x^3[/math] al posto di [math]y[/math]:
[math]x^3 = 2[/math]
Questa è un’equazione cubica semplice. Le soluzioni sono le radici cubiche di 2. Nel campo dei numeri reali, la soluzione è [math]x = \sqrt[3]{2}[/math]. Nel campo dei numeri complessi, ci sono altre due radici cubiche complesse non reali.
Poiché la soluzione per [math]y[/math] ([math]y=2[/math]) aveva molteplicità 2, anche le radici dell’equazione [math]x^3 = 2[/math] sono radici dell’equazione originale [math]x^6 – 4x^3 + 4 = 0[/math] con molteplicità raddoppiata. Questo significa che ciascuna delle tre radici cubiche di 2 (una reale e due complesse) è una radice dell’equazione di sesto grado con molteplicità 2. L’esempio è perfetto per introdurre il concetto di radici multiple (o con una certa “molteplicità razionale” legata alla struttura) razionalmente esprimibili: non abbiamo bisogno di approssimazioni numeriche per descrivere la soluzione [math]x = \sqrt[3]{2}[/math] e le sue compagne complesse; possiamo rappresentarle in modo simbolico chiaro e coerente, collegato alla struttura algebrica che le ha generate ([math](x^3 – 2)^2 = 0[/math]).
Nota importante sul metodo
Gli esempi proposti sopra non costituiscono un’applicazione diretta delle tecniche generali sviluppate da Wildberger e Rubine, che coinvolgono identità razionali più avanzate, rappresentazioni geometriche e una riformulazione profonda della struttura dei polinomi. Tuttavia, essi illustrano bene lo spirito del metodo: affrontare le equazioni polinomiali superiori usando strumenti razionali, simbolici e costruttivi, con l’obiettivo di evitare l’uso di numeri irrazionali o complessi ove possibile. In particolare, anche nel caso in cui — come nell’Esempio 4 — l’equazione cubica in y non abbia soluzioni razionali evidenti, l’approccio di Wildberger punta comunque a fornire una rappresentazione simbolica esatta delle radici, mantenendole nel dominio dell’algebra costruttiva. Questo si traduce in un linguaggio algebrico più trasparente e utile sia nella didattica sia nel calcolo simbolico assistito.
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