Regime di capitalizzazione composta

Il regime di capitalizzazione composta è il regime utilizzato per il calcolo degli interessi su conto corrente, per i titoli con cedola, per il calcolo delle rate dei prestiti etc. Nella pratica è indubbiamente il regime più frequente.
La sua formulazione matematica è la seguente:

Se la durata dell’investimento non è un numero intero di periodi, si possono usare due approcci differenti per il calcolo della quota interessi. Sia t la durata della capitalizzazione e sia t = n + f dove n rappresenta il numero intero di periodi ed f la sua parte frazionaria. I due approcci per il calcolo del montante di un’operazione con durata non intera sono i seguenti:

i) convenzione lineare: la parte frazionaria viene calcolata ad interessi semplici

M(t) = C(1 + i)ⁿ(1 + i · f)

ii) convenzione esponenziale: gli interessi vengono calcolati in capitalizzazione composta per l’intero periodo:

M(t) = C(1 + i)^t

Esercizio 1

Calcolare il montante ad interesse composto annuo dei seguenti capitali:
1) € 340, tasso annuo 6, 15% per 10 anni
2) € 1400, tasso annuo 6% per 2 anni e 3 mesi
3) € 3200, tasso annuo 5% per 124 giorni.

soluzione

I montanti si ottengono mediante l’applicazione della formula

M(t) = C(1 + i)^t

tenendo presente che i tassi dell’esercizio sono annui, quindi è necessario esprimere il tempo sempre in funzione di frazioni di anno.

Esercizio 2

Calcolare quale capitale impiegato per 10 anni e 3 mesi ad interesse composto, al tasso annuo del 8, 5% dà come montante € 9608.

soluzione

La formula  per il calcolo del capitale investito, noti montante, tasso i e tempo t è:

Esercizio 3

Sei anni fa tizio ha versato presso una banca la somma di 3500 €. Inoltre tre anni e mezzo fa ha versato una certa somma x. Il montante complessivo che egli ritira oggi calcolato al tasso annuo composto del 9, 75% è di € 9440,13. Calcolare l’importo del secondo versamento.

soluzione

l montante ottenuto oggi è dato dalla somma dei due importi versati capitalizzati fino ad oggi:

imponendo l’uguaglianza M = 9440, 13 si ricava l’importo x:

Esercizio 4

Una persona versa in banca la somma R. Quindi rispettivamente dopo 1 anno, 2 anni, 3 anni versa somme il cui importo cresce rispetto al precedente del 5%. Determinare quali somme quella persona versa annualmente, sapendo che il montante complessivo di cui dispone un anno dopo l’ultimo versamento calcolato ad interesse composto annuo dell’ 11% è di € 4477,95.

soluzione

Posto t = 0 l’istante in cui si versa la prima somma R, dire che l’importo cresce del 5% significa che ogni rata viene moltiplicata rispetto alla precedente per 1, 05, come riassunto nella tabella che segue:

 

Il montante complessivo diventa:

da cui eguagliando M = 4477, 95 si ricava con semplici passaggi, R = 800 e di conseguenza le somme risultano:

Esercizio 5

Determinare il tasso di interesse composto annuo equivalente al tasso di interesse semplice dell’8% relativamente ad un impiego la cui durata è 3 anni e 5 mesi.

soluzione

L’equivalenza si ottiene eguagliando i montanti ottenuti in capitalizzazione semplice e composta.

Risulta quindi:

da cui si ottiene, dividendo per C ambo i membri dell’equazione:

Esercizio 6

La somma di € 3700 viene impiegata per sei anni ad interesse composto al tasso annuo del 7, 75%. Quale tasso annuo dovrebbe essere applicato per avere lo stesso montante qualora l’investimento fosse fatto ad interesse semplice?

soluzione

Lo svolgimento è analogo a quello dell’esercizio precedente, la soluzione finale è i = 9, 42%

Esercizio 7

Ho impiegato la somma di € 1800 al tasso di interesse composto dell’ 8% per una certa durata. Alla scadenza ho reinvestito subito al tasso d’interesse composto del 8, 15% per 4 anni. Alla scadenza di questi 4 anni ho ritirato un montante complessivo di € 3447,52. Determinare la durata del primo impiego.

soluzione

Il montante al tempo t è pari a:

M(t) = 1800 · (1 + 0, 08)^t

Il montante complessivo 4 anni dopo diventa:

M(t + 4) = 1800 · (1 + 0, 08)^t· (1 + 0, 0815)⁴ = 3447, 52

Dall’espressione si ricava quindi:

Esercizio 8

La somma di € 2000 è impiegata per 7 anni ad interesse composto al tasso del 6%; una seconda somma di € 2500 è impiegata anch’essa per 7 anni ad interesse composto ma al tasso del 5%. Supponendo che i due impieghi vengano unificati, determinare quale tasso dovrebbe essere applicato per avere lo stesso montante ad interesse composto. Si dica inoltre quale tasso dovrebbe essere applicato nel caso di unificazione, se l’impiego fosse fatto in capitalizzazione semplice.

soluzione

Il montante complessivo che si ottiene dalle due somme è dato da:

M = 2000 · (1 + 0, 06)⁷ + 2500 · (1 + 0, 05)⁷ = 6525

 

Se i due investimenti fossero unificati il capitale investito in t = 0 sarebbe C = 4500 e lasciando invariato il montante finale ed il tempo di investimento si ottiene l’equazione, nell’incognita i:

6525 = 4500 · (1 + i)⁷

Da cui si ricava il tasso i = 5, 45%

 

 

(1251)

PubblicitàPubblicità