Domanda e Offerta nella Supply Chain: 6 Esercizi Pratici dal Livello Base all’Avanzato

Gestire una supply chain non significa solo spostare merci, ma interpretare costantemente un equilibrio instabile.

Chi lavora tra magazzini e vendite sa bene che un ritardo in un porto asiatico o un improvviso trend sui social non sono solo variabili esterne: sono forze d’urto che spostano le curve di domanda e offerta, bruciando margini o creando opportunità.

Invece di limitarci alla teoria astratta, sporchiamoci le mani con i numeri.

Abbiamo messo insieme sei scenari concreti — dal caos del Black Friday fino agli impatti di nuove regolamentazioni fiscali — per capire come la matematica governa le decisioni logistiche di ogni giorno.

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ESERCIZIO 1 – Livello: Introduzione

Testo:

L’azienda LogisticaMilanese S.p.A. stima la funzione di offerta mensile per un servizio di trasporto urgente come [math]Q_s=20+3P[/math], dove [math]Q_s[/math] è il numero di viaggi offerti e [math]P[/math] è il prezzo per viaggio (in €).
La domanda mensile da parte delle aziende clienti è [math]Q_d=100-2P[/math].

1a) Trova il prezzo di equilibrio e la quantità di equilibrio.
1b) Se il Comune impone un prezzo massimo di € 10 a viaggio, cosa succede nel mercato? Calcola la carenza (o eccesso) di servizi.

Soluzione

Teoria richiamata:
L’equilibrio si ha quando quantità offerta [math]Q_s[/math] = quantità domandata [math]Q_d[/math].
In caso di prezzo massimo sotto il prezzo di equilibrio, si crea una carenza (eccesso di domanda).

Passo 1 – Equilibrio:

Imponiamo la condizione di equilibrio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Q_s &= Q_d \\
20+3P &= 100-2P \\
3P+2P &= 100-20 \\
5P &= 80 \quad \Rightarrow \quad P^* = 16
\end{aligned}[/math]

Calcolo della quantità di equilibrio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Q^* &= 20+3 \cdot 16 = 68 \\
&{} \quad \text{(oppure } 100-2 \cdot 16 = 68 \text{)}
\end{aligned}[/math]

Risultato:
Equilibrio: [math]P^*=16[/math] €, [math]Q^*=68[/math] viaggi/mese.

Passo 2 – Prezzo massimo a € 10:

Calcoliamo [math]Q_s[/math] e [math]Q_d[/math] a [math]P=10[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Q_s &= 20+3 \cdot 10 = 50 \\
Q_d &= 100-2 \cdot 10 = 80
\end{aligned}[/math]

Calcolo della carenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Carenza} &= Q_d – Q_s \\
&= 80 – 50 = 30 \text{ viaggi/mese.}
\end{aligned}[/math]

💡 Osservazioni:
Un prezzo massimo sotto l’equilibrio favorisce i clienti ma riduce gli incentivi a offrire il servizio, creando scarsità.
In supply chain, questo può significare code nella logistica o ricerca di fornitori alternativi a costi più alti.

Domanda di riflessione 1:
Quale proprietà matematica garantisce che le due rette (domanda e offerta) si incontrino in un solo punto nel primo quadrante?
(Risposta in fondo)

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ESERCIZIO 2 – Livello: Base

Testo:

Un magazzino automatizzato della catena SuperStore gestisce la fornitura di un prodotto. La curva di offerta è [math]Q_s=-10+4P[/math] (dove [math]P \geq 2.5[/math] per avere offerta non negativa). La domanda è [math]Q_d=110-6P[/math].

2a) Calcola l’equilibrio.
2b) Un miglioramento tecnologico nella gestione del magazzino fa aumentare l’offerta: la nuova curva è [math]Q_s’=10+4P[/math]. Trova il nuovo equilibrio e spiega l’impatto su prezzo e quantità.

Soluzione

Passo 1 – Equilibrio iniziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-10+4P &= 110-6P \\
4P+6P &= 110+10 \\
10P &= 120 \quad \Rightarrow \quad P^* = 12
\end{aligned}[/math]

Quantità iniziale:

[math]Q^* = -10+4 \cdot 12 = 38[/math]

Passo 2 – Nuova offerta:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
10+4P &= 110-6P \\
10+4P &= 110-6P \\
10P &= 100 \quad \Rightarrow \quad P^{**} = 10
\end{aligned}[/math]

Nuova quantità:

[math]Q^{**} = 10+4 \cdot 10 = 50[/math]

Commento: L’innovazione tecnologica (es. robotica nel magazzino) riduce i costi, aumentando l’offerta. Il prezzo di equilibrio scende da 12 a 10, la quantità scambiata sale da 38 a 50. I consumatori beneficiano.

💡 Osservazioni:
Un aumento dell’offerta sposta la curva di offerta verso destra: prezzo ↓, quantità ↑.
Questo è tipico negli investimenti in efficienza della supply chain.

Domanda di riflessione 2:
Cosa succederebbe alla quantità di equilibrio se, a parità di aumento dell’offerta, la domanda fosse più elastica?
(Risposta in fondo)

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ESERCIZIO 3 – Livello: Intermedio

Testo:

L’azienda VenditeDirette S.r.l. ha una domanda di mercato per un prodotto data da [math]Q_d=200-5P[/math] e un’offerta aggregata dei fornitori [math]Q_s=20+3P[/math].

3a) Trova l’equilibrio.
3b) Il Governo introduce una sovrattassa ai produttori di € 2 per unità venduta. Determina la nuova curva di offerta, il nuovo equilibrio, l’incidenza della tassa su consumatori e produttori, e il gettito fiscale.

Soluzione

Teoria: una tassa per unità [math]t[/math] sulla produzione fa aumentare il costo marginale: la curva di offerta si sposta verso l’alto di [math]t[/math] in termini di prezzo percepito dal produttore.
In formule: se [math]Q_s=c+dP[/math] prima della tassa, dopo la tassa il produttore riceve [math]P-t[/math], quindi:

[math]Q_s’ = c+d(P-t)[/math]

Passo 1 – Equilibrio senza tassa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
200-5P &= 20+3P \\
180 &= 8P \quad \Rightarrow \quad P^* = 22.5 \\
Q^* &= 20+3 \cdot 22.5 = 87.5
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Con tassa [math]t=2[/math]:

Nuova offerta:

[math]Q_s’ = 20+3(P-2) = 14+3P[/math]

Nuovo Equilibrio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
200-5P &= 14+3P \\
186 &= 8P \quad \Rightarrow \quad P_d = 23.25
\end{aligned}[/math]

Questo è il prezzo pagato dai consumatori.
Prezzo ricevuto dai produttori:

[math]P_s = P_d – t = 23.25 – 2 = 21.25[/math]

Quantità di equilibrio:

[math]Q’ = 200-5 \cdot 23.25 = 83.75[/math]

Passo 3 – Incidenza e gettito:

Aumento prezzo per consumatori:

[math]23.25 – 22.5 = 0.75 \quad (37.5\% \text{ dell’imposta})[/math]

Riduzione prezzo per produttori:

[math]22.5 – 21.25 = 1.25 \quad (62.5\% \text{ dell’imposta})[/math]

Gettito:

[math]\text{Gettito} = t \times Q’ = 2 \times 83.75 = 167.5[/math]

💡 Osservazioni:
L’incidenza della tassa dipende dall’elasticità relativa. Qui l’elasticità rispetto al prezzo della domanda è maggiore (in valore assoluto) di quella dell’offerta se la quantità reagisce di più. Qui il coefficiente di P nella domanda è 5 in valore assoluto, nell’offerta è 3 → domanda più elastica → produttori sopportano più della tassa (infatti 1.25 > 0.75).

Domanda di riflessione 3:
Se la tassa fosse stata applicata ai consumatori (IVA aggiuntiva), come cambierebbero i risultati per produttori e consumatori?
(Risposta in fondo)

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ESERCIZIO 4 – Livello: Intermedio-Avanzato

Testo:

Durante il Black Friday, la domanda per un prodotto elettronico della catena TechChain diventa [math]Q_d=300-4P[/math], mentre l’offerta normale è [math]Q_s=40+2P[/math].
Tuttavia, a causa di strozzature nella supply chain, l’offerta durante il periodo di picco è limitata a un massimo di 100 unità nel breve periodo (offerta perfettamente anelastica oltre un certo livello).

4a) Trova l’equilibrio di mercato normale (senza vincoli).
4b) Durante il Black Friday, con offerta fissa a [math]Q_s=100[/math], quale sarà il prezzo che i consumatori sono disposti a pagare?
4c) Cosa succede se il management fissa il prezzo di vendita a € 40 per strategia promozionale? Calcola l’eccesso di domanda.

Soluzione

Passo 1 – Equilibrio normale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
300-4P &= 40+2P \\
260 &= 6P \\
P^* &\approx 43.33 \\
Q^* &= 40+2 \cdot 43.33 \approx 126.67
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Offerta fissa a 100:

Poniamo [math]Q_s=100[/math] nella domanda:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
100 &= 300-4P \\
4P &= 200 \quad \Rightarrow \quad P=50
\end{aligned}[/math]

Il prezzo di mercato salirebbe a 50 € se non ci fosse controllo.

Passo 3 – Prezzo fissato a 40:

A [math]P=40[/math], domanda:

[math]Q_d = 300-4 \cdot 40 = 140[/math]

Offerta: ancora limitata a 100 (breve periodo, supply chain rigida)
Eccesso di domanda:

[math]140 – 100 = 40 \text{ unità} \quad \Rightarrow \quad \text{carenza.}[/math]

💡 Osservazioni:
Nel breve periodo, con capacità produttiva/logistica limitata, l’offerta può diventare anelastica: il prezzo è determinato dalla domanda.
Fissare un prezzo promozionale sotto quello di equilibrio di picco causa carenza: strategia per attirare clienti, ma può generare insoddisfazione se non gestita (es. code virtuali, sold out rapidi).

Domanda di riflessione 4:
Quale strumento potrebbe usare l’azienda per evitare la carenza mantenendo il prezzo basso?
(Risposta in fondo)

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ESERCIZIO 5 – Livello: Avanzato (analisi di welfare)

Testo:

Nel mercato dei servizi di consegna espresso, domanda [math]Q_d=120-3P[/math], offerta [math]Q_s=-20+5P[/math].

5a) Calcola equilibrio, surplus del consumatore (SC) e surplus del produttore (SP).
5b) Supponi che, per problemi di sicurezza dei dati, venga introdotta una regolamentazione che impone un prezzo minimo di € 25. Analizza gli effetti su quantità scambiata, SC, SP, e deadweight loss (perdita secca).

Soluzione

Passo 1 – Equilibrio libero:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
120-3P &= -20+5P \\
140 &= 8P \quad \Rightarrow \quad P^* = 17.5
\end{aligned}[/math]

Quantità:

[math]Q^* = 120-3 \cdot 17.5 = 67.5[/math]

Passo 2 – Surplus iniziali:

Prezzo di riserva massimo dei consumatori (intercetta domanda):

[math]P=0 \Rightarrow Q=120 \quad \text{Inversa: } P=40-Q/3[/math]

SC = area triangolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{SC} &= \frac{1}{2} \times (40-17.5) \times 67.5 \\
&= 0.5 \times 22.5 \times 67.5 = 759.375
\end{aligned}[/math]

Prezzo minimo dei produttori (intercetta offerta):

[math]Q=0 \Rightarrow P=4[/math]

SP = area triangolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{SP} &= \frac{1}{2} \times (17.5-4) \times 67.5 \\
&= 0.5 \times 13.5 \times 67.5 = 455.625
\end{aligned}[/math]

Passo 3 – Prezzo minimo [math]P_{min}=25[/math]:

A [math]P=25[/math], quantità domandata:

[math]Q_d = 120-3 \cdot 25 = 45[/math]

Quantità offerta:

[math]Q_s = -20+5 \cdot 25 = 105[/math]

Quantità scambiata = min(domanda, offerta) = 45 (perché il prezzo è sopra l’equilibrio, domanda fissa lo scambio).

Surplus consumatore (SC’):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{SC}’ &= 0.5 \times (40-25) \times 45 \\
&= 0.5 \times 15 \times 45 = 337.5
\end{aligned}[/math]

Surplus produttore (SP’): Area trapezoidale.
Prezzo di riserva per [math]Q=45[/math] dall’offerta (inversa [math]P=4+Q/5[/math]):

[math]P = 4 + 45/5 = 13[/math]

SP’ è composto da un triangolo (da [math]P=4[/math] a [math]P=13[/math]) e un rettangolo (da [math]P=13[/math] a [math]P=25[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Triangolo} &= 0.5 \times (13-4) \times 45 = 202.5 \\
\text{Rettangolo} &= (25-13) \times 45 = 540 \\
\text{Tot SP}’ &= 202.5 + 540 = 742.5
\end{aligned}[/math]

Passo 4 – Deadweight loss (DWL):

DWL = perdita surplus totale rispetto a equilibrio.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Surplus tot. iniziale} &= 759.375 + 455.625 = 1215 \\
\text{Surplus tot. con min} &= 337.5 + 742.5 = 1080 \\
\text{DWL} &= 1215 – 1080 = 135
\end{aligned}[/math]

💡 Osservazioni:
Il prezzo minimo sopra l’equilibio riduce quantità scambiata, riduce SC, può aumentare o ridurre SP a seconda delle elasticità. Qui SP aumenta perché il prezzo è molto più alto per le unità vendute, compensando le unità non vendute.
La perdita secca è la perdita di benefici dovuta a scambi efficienti che non avvengono.

Domanda di riflessione 5:
In quale caso un prezzo minimo porta a un eccesso di offerta invece di una riduzione forzata della quantità?
(Risposta in fondo)

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ESERCIZIO 6 – Livello: Problema reale (analisi con shock multipli)

Testo:

La catena internazionale FastFashion affronta due shock simultanei:
Un aumento dei costi di trasporto marittimo sposta l’offerta: da [math]Q_s=50+4P[/math] a [math]Q_s’=30+4P[/math].
Una campagna di sensibilizzazione ambientale riduce la domanda: da [math]Q_d=200-3P[/math] a [math]Q_d’=180-3P[/math].

6a) Determina il vecchio equilibrio.
6b) Trova il nuovo equilibrio dopo gli shock.
6c) Confronta i due equilibri: cosa prevale, l’effetto dell’offerta o della domanda? Come cambia prezzo e quantità?
6d) Se l’obiettivo fosse mantenere la quantità originale (per stabilizzare la produzione), quale politica di prezzo (es. sussidio ai produttori) potrebbe essere usata? Calcola l’entità del sussidio per unità.

Soluzione

Passo 1 – Equilibrio iniziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
50+4P &= 200-3P \\
7P &= 150 \quad \Rightarrow \quad P^* \approx 21.43 \\
Q^* &\approx 50+4 \cdot 21.43 \approx 135.72
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Dopo shock:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
30+4P &= 180-3P \\
7P &= 150 \quad \Rightarrow \quad P^{**} \approx 21.43 \\
Q^{**} &\approx 30+4 \cdot 21.43 \approx 115.72
\end{aligned}[/math]

Nota sorprendente: Il prezzo di equilibrio rimane identico! Perché?
Spostamenti paralleli di domanda e offerta di uguale ampiezza in termini di intercette: domanda ↓ di 20 a ogni prezzo, offerta ↓ di 20 a ogni prezzo → effetto sul prezzo nullo, quantità scende di 20.

Passo 3 – Interpretazione:

In questo caso specifico, i due shock si compensano esattamente sul prezzo, ma la quantità si riduce.

Passo 4 – Sussidio per riportare quantità a 135.72:

Vogliamo con nuove curve trovare un sussidio [math]s[/math] ai produttori che sposta offerta verso il basso di [math]s[/math] in termini di prezzo ricevuto: nuova offerta con sussidio:

[math]Q_s” = 30+4(P+s)[/math]

Poniamo [math]Q_s”=Q_d'[/math] e imponiamo [math]Q=135.72[/math]:

Dalla domanda:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
135.72 &= 180-3P \\
3P &= 44.28 \quad \Rightarrow \quad P \approx 14.76
\end{aligned}[/math]

(prezzo pagato dai consumatori).

Offerta con sussidio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
135.72 &= 30+4(14.76+s) \\
105.72 &= 4(14.76+s) \\
26.43 &= 14.76+s \quad \Rightarrow \quad s \approx 11.67
\end{aligned}[/math]

Sussidio per unità di circa 11.67 €.

💡 Osservazioni:
Shock simultanei di domanda e offerta possono avere effetti controintuitivi sul prezzo.
Per ripristinare la quantità, serve un sussidio che compensi entrambi gli shock.

Domanda di riflessione 6:
Se invece di un sussidio, lo Stato fissasse un prezzo di vendita al consumo per mantenere la quantità originale, quale sarebbe tale prezzo e quali effetti collaterali avrebbe?
(Risposta in fondo)