Scelte in condizioni di rischio e utilità attesa
Nella figura è rappresentata una funzione di utilità rispetto al reddito monetario, x, per un soggetto avverso al rischio. La funzione u(x) è crescente, ma a tassi decrescenti: quindi ha utilità marginale nel reddito positiva, du/dx>0, ma decrescente (d2u/dx2<0). Il reddito può essere pensato come un bene di consumo composito con prezzo pari a 1.
I valori x+ε e x-ε sono interpretabili come un reddito condizionato alla realizzazione di un evento esogeno, come nel caso di una lotteria o di una scommessa. La lotteria ha valore atteso x, data una probabilità di realizzazione dell’evento che, nella figura, è ipotizzata π=1/2. La figura rappresenta quindi una situazione analoga alla disponibilità un biglietto di una lotteria che garantisce x+ε con probabilità ½, e x-ε con probabilità ½.
Naturalmente questa è una rappresentazione semplificata: in generale si può parlare di un paniere di consumo (c1,c2) con probabilità (π1,π2), dove π1+π2=1, con valore atteso π1c1 +π2 c2 .
Più in generale ancora, se vi sono n “stati di natura” che condizionano il consumo (indicati con s, ove s=1, 2 … n, e con probabilità πs tali che Σs πs =1), il valore atteso è Σsπsxs
Stati di Natura
• Possibili stati di Natura:
– “incidente automobilistico” (a)
– “nessun incidente” (na).
• L’incidente avviene con probabilità πa La probabilità che non avvenga è π ⇒ πa + πna = 1.
• L’incidente causa una perdita di €L
La figura consente di identificare graficamente (E sta per expected/atteso):
– E(x)=π(x+ε)+(1-π)(x-ε) è in valore atteso della lotteria, che in questo esempio, poiché le probabilità sono ½ e ½ è uguale a x e quindi non è indicato esplicitamente nella figura
– u[E(x)] è l’utilità del valore atteso della lotteria, quando questo è considerato come un valore certo
– E[u(x)] è l’utilità attesa della lotteria secondo la funzione di utilità von Neumann-Morgenstern:
u = π u(x+ε) + (1-π) u(x-ε).
Se parliamo di un paniere di consumo condizionato l’utilità attesa è
u =π1 u(c1)+π2 u(c2).
La figura rappresenta un soggetto avverso al rischio, in quanto vale u[E(x)]>E[u(x)]. Infatti un soggetto avverso al rischio preferisce un valore certo ad una lotteria che garantisce quel valore solo in media come valore atteso (la lotteria pagherà comunque o x+ε o x-ε e il soggetto è avverso al fatto che non sa con certezza quale dei due pagamenti riceverà). Se non lo fosse sarebbe neutrale al rischio e in questo caso la sua funzione di utilità u(x) sarebbe lineare.
Inoltre è necessario identificare:
– C(x,u) è l’equivalente certo alla lotteria, cioè quel valore certo la cui utilità equivale per il soggetto all’utilità attesa della lotteria. C è anche il prezzo massimo che il soggetto è disposto a pagare per avere il biglietto della lotteria.
C si determina come il valore che risolve l’equazione u(C)=E[u(x)]
– x-C è il premio per il rischio, ossia la valutazione del rischio che, per il soggetto, rappresenta partecipare alla lotteria, espresso in termini di reddito.
Per scambiare C con il biglietto della lotteria l’agente avverso al rischio richiede almeno x-C.
– x+ε-C è la somma massima per assicurarsi contro l’eventualità di ottenere x-ε invece che x+ε. Un soggetto che abbia una dotazione iniziale x+ε e voglia assicurarsi completamente contro l’eventualità di rimanere con x-ε dopo la realizzazione dell’evento sarà infatti disposto a spendere per l’assicurazione al massimo un premio assicurativo p tale che u(x+ε–p)= E[u(x)].
Esercizio 1
Gino si guadagna da vivere vendendo occhiali da sole. Se c’è il sole guadagna 30 euro, se piove guadagna solo 10 euro. Supponiamo che ci siano solo 2 tipi di tempo con uguale possibilità di verificarsi: sole o pioggia. Supponiamo che non si possa prevedere il tempo.
C’è in zona un casinò che offre un nuovo gioco: accetta scommesse sul fatto che piova o che ci sia sole il giorno successivo vendendo dei “pioggia-coupons”, con la data, per 1 euro. Se il giorno successivo piove, il casinò paga 2 euro per ogni coupon comprato il giorno prima. Se non piove non paga nulla.
a) Individuare su un grafico il piano di consumo condizionato di Gino se non gioca al casinò.
b) Sullo stesso grafico segnare il piano di consumo condizionato nel caso in cui acquistasse 10 coupons del casinò.
c) Sullo stesso grafico disegnare il vincolo di bilancio che rappresenta tutte le altre possibilità di consumo che Gino può raggiungere comprando coupons (anche in modo frazionato). Qual è la pendenza del vincolo prima e dopo la sua dotazione iniziale?
d) Supponiamo ora che il casinò venda anche “sole-coupon”, sempre datati, al prezzo di 1 euro. In questo caso se non piove il casinò paga 2 euro, se piove non paga nulla. Disegnare il nuovo vincolo di bilancio quando è possibile acquistare anche questi coupons.
Soluzione
a)
Se non gioca al casino, Gino consumerà 30 euro se c’è il sole (Cs) e 10 euro se piove (Cp). Vedi punto A del grafico.
b)
L’acquisto di 10 coupons comporterà un costo di 10 euro. Se piove, i coupons frutteranno 20 euro, se c’è il sole non pagheranno nulla.
In caso di sole, i consumi di Gino saranno dati da:
Cs = 30 − 10 = 20 euro.
In caso di pioggia, i consumi saranno
Cp = 10 + 20 − 10 = 20 euro.
Vedi punto B del grafico.
c)
Indichiamo con k il numero di coupons acquistati.
Se piove i consumi sono pari a
Cp = 10+2k−k = 10 + k;
se c’è il sole i consumi sono pari a
Cs = 30 − k.
Mettendo a sistema otteniamo:
Se k = 0, otteniamo la dotazione iniziale A.
Se k > 0, avremo che Cp = 10 + k e Cs = 30 − k.
Nell’area sopra e a sinistra della dotazione iniziale la pendenza del vincolo di bilancio Cp = 40−Cs è pari a −1. Dato che con k ≥ 0 abbiamo che Cp ≥ 10 e Cs ≤ 30, non possiamo determinare la pendenza del vincolo di bilancio quando Cp < 10 e Cs > 30 perchè quest’area contiene panieri non raggiungibili da Gino.
d)
Nel caso si possano acquistare due tipi di coupons, i consumi in caso di pioggia sono pari a Cp =10 + 2k − k − j, dove j è il numero di “sole-coupons”.
I consumi in caso di sole sono pari a
Cs = 30 − k + 2j − j.
Mettendo a sistema:
Il nuovo vincolo di bilancio è uguale a quello precedente. Tuttavia c’è una differenza rispetto al punto precedente: la presenza di due tipi di coupons permetterà di consumare i panieri con Cp < 10 e Cs > 30. Quindi il vincolo di bilancio potrà essere tracciato anche nell’area che si trova a destra e in basso rispetto al punto A.
Esercizio 2
Anna ha una funzione d’utilit`a del tipo U(x) = 10x. Deve decidere se partecipare alla lotteria (L) che le dà un guadagno di 1000 Euro con probabilità uguale ad 1/4 o 100 Euro con probabilità pari a 3/4.
a) Qual è la somma che Anna sarebbe disposta a pagare per partecipare alla lotteria?
b) Se la funzione di utilità di Anna fosse U(x) = √x, sarebbe disposta a pagare di più o meno per partecipare alla lotteria?
Soluzione
a) Possiamo verificare che Anna è neutrale al rischio dato che
b)
Data la nuova funzione d’utilità U(x) = √x e sapendo che E(L) = 325 calcoliamo:
Dato che U[E(L)] > E[U(L)], Anna è avversa al rischio.
Conseguentemente l’equivalente certo sarà inferiore al valore atteso:
(370)