Microeconomia. Scelte in condizioni di rischio e utilità attesa. Esercizi svolti -2-

Esercizio 1

Mr Smith sta pensando di ripartire il suo portafoglio tra un’attività a rischio con rendimento atteso pari al 30% e scarto quadratico medio del 10% e un’attività esente da rischio con rendimento atteso 10% e scarto quadratico medio 0%.
a) Se Mr Smith investe la frazione x della sua ricchezza nell’attività a rischio, quale sarà il rendimento atteso del suo portafoglio?
b) E lo scarto quadratico medio?
c) Risolvere le due equazioni per determinare il rendimento atteso del portafoglio di Mr Smith in funzione dello scarto quadratico medio.
d) Rappresentare questa retta di bilancio su un grafico.
e) Se la funzione di utilità di Mr Smith è U(r_x, σ_x) = min[r_x, 0, 3 − 2σ_x], determinare la sua scelta ottima di r_x e σ_x.
f) Rappresentare sul grafico la scelta ottima e la curva di indifferenza che passa per quel punto.
g) Quale frazione della sua ricchezza investirà Mr Smith nell’attività a rischio?

Soluzione

a)

Indichiamo con r_m il rendimento dell’attività rischiosa e con r_f il rendimento dell’attività priva di rischio. Il rendimento atteso del portafoglio sarà pari a:

r_x = x ∗ r_m + (1 − x) ∗ r_f = 0, 30x + 0.10(1 − x)

b)

Indichiamo con σ_m lo scarto quadratico medio dell’attività rischiosa e con σ_f quello dell’attività priva di rischio. Lo scarto quadratico medio del portafoglio sarà pari a:

σ_x = x ∗ σ_m + (1 − x) ∗ σ_f = xσ_m = 0, 10x.

c)

Dal punto precedente ricaviamo x = 10σ_x, sostituendo nel rendimento atteso del portafoglio (a) otteniamo la retta di bilancio:

r_x = 10σ_x ∗ 0, 30 + 0, 1(1 − 10σ_x) ⇒ r_x = 2σ_x + 0, 1.

d)

L’inclinazione della retta di bilancio è pari a:

(r_m − r_f )/σ_m.

La retta di bilancio termina quando r_x = 0, 3 e σ_x = 0, 1, infatti se x = 1, σ_x = 0, 1 e r_x = 0, 3.

e)

Dalla funzione di utilità otteniamo: r_x = 0, 3−2σ_x

che mettiamo a sistema con il vincolo di bilancio per determinare la scelta ottima di r_x e σ_x:

f)

Sostituendo r^∗_x e σ^∗_x nel rendimento atteso del portafoglio ottenuto al punto (a), otteniamo:

0, 2 = 0, 3x + 0, 1(1 − x) ⇒ x = 0.50.

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