Scelte in condizioni di incertezza

Le scelte tipiche dell’investitore avvengono in condizioni di incertezza. In tal caso il consumatore sceglie panieri di consumo condizionati ad  una serie di eventi (stati di natura), ciascuno dei quali ha un grado di probabilità.

Entra in campo il fattore rischio.

Esempio: la lotteria

Supponiamo che il consumatore abbia una somma pari a 100 € e che sia incerto tra acquistare o meno un biglietto della lotteria al costo di 5 € con un premio di 200 €.
Le possibilità sono:

Esempio: le assicurazioni

Consideriamo ora il caso delle assicurazioni. Un soggetto ha un bene che vale 35.000 €: se si verifica un dato evento (con una probabilità dell’1%), egli subirà una perdita di 10.000 €.
Se si assicura per tale somma, deve pagare un premio di 100 € e riceverà un indennizzo pari al danno subito.

Gli esiti possibili sono:

In questo caso l’individuo assicurato è completamente coperto rispetto alla probabilità che il danno si verifichi.

Piano di consumo condizionato
Un piano di consumo condizionato specifica ciò che sarà consumato in ogni differente “stato di natura”, cioè di ogni esito del processo aleatorio (siamo lontani da un consumo completamente certo!).
Possiamo ritenere che il consumatore scelga tra diversi piani di consumo condizionato, dato il vincolo di bilancio:

Nello stato “negativo” l’individuo avrà 25.000 €, in quello “positivo” 35.000 €. Assicurandosi per K € e pagando un premio γ K, egli trasforma una parte del consumo nello stato “positivo” (C_P) in un consumo addizionale nello stato “negativo” (C_N), ed avrà:

Dividendo il consumo perduto nello stato “positivo” (C_P) per il consumo addizionale nello stato “negativo” (C_N) otteniamo l’inclinazione della retta di bilancio:

che è il rapporto tra il “prezzo” del consumo nei due stati di natura.

Le preferenze sono espresse da curve di indifferenza decrescenti e convesse verso l’origine degli assi.

La scelta ottima è individuata dal punto di tangenza, allorché il SMS tra i consumi nei due stati di natura è pari al prezzo relativo degli stessi. Al solito, la domanda di assicurazione varia in relazione al prezzo della stessa, nonché al variare delle risorse disponibili.
Sulla funzione di utilità, però, è necessario un approfondimento.

La scelta del consumatore è condizionata dalla probabilità che lo stato in questione si verifichi: ossia le preferenze per i consumi in stati di natura differenti dipendono da quanto gli individui pensano a proposito del grado di probabilità che ciascuno ha di verificarsi.

Considerando possibili due stati di natura, con probabilità, rispettivamente, pari a π₁ e π₂ [π₂ = 1 – π₁ ], la funzione di utilità sarà:

U = U(C₁, C₂, π₁, π₂)

Se i beni sono perfetti sostituti, essa si presenterà nella forma (lineare):

U = π₁• C₁ + π₂ • C₂

di seguito rappresentata graficamente:

Nel caso di una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas, avremo:

In termini logaritmici, quest’ultima funzione sarà pari a:

ln U = π₁• ln C₁ + π₂ • ln C₂

In tal modo anche la Cobb-Douglas assume una forma lineare.

La funzione di utilità di von Neumann-Morgenstern

Generalizzando il discorso, possiamo, quindi, dire che la funzione di utilità attesa è una media ponderata delle funzioni del consumo nei due stati, usando come criterio di ponderazione (peso) le probabilità:

U = π₁• v(C₁) + π₂ • v(C₂)

Un’espressione di questo tipo viene detta funzione di utilità di von Neumann-Morgenstern.

La forma additiva è particolarmente comoda: infatti essa consente di considerare singolarmente ogni bene consumato in un dato stato di natura. Questa ipotesi viene detta di “indipendenza” tra i diversi eventi: le scelte che si prevede di fare in uno stato di natura non influenzano quelle che si prevede di fare in altri. Nel caso di un’assicurazione, ad esempio, ciò che non si realizza non influenza le scelte nell’evento che, invece, accade realmente.

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