I sistemi lineari sono uno strumento fondamentale in matematica, fisica, ingegneria, economia e in molte altre discipline. Permettono di modellare e risolvere problemi in cui diverse quantità sono legate tra loro da relazioni lineari. Capire come risolverli è quindi un’abilità essenziale per chiunque studi materie scientifiche o tecniche.
Anche se all’inizio possono sembrare complessi, i sistemi lineari possono essere affrontati con diversi metodi sistematici che, una volta appresi, rendono la loro risoluzione molto più semplice e intuitiva.
In questo articolo, ti guideremo attraverso i metodi di risoluzione più comuni ed efficaci per sistemi lineari, partendo dai casi più semplici (2 equazioni in 2 incognite) fino ad arrivare a sistemi più complessi (3 equazioni in 3 incognite) e all’analisi di sistemi che dipendono da un parametro.
Esploreremo metodi come la Sostituzione, il Confronto, l’Eliminazione (o Riduzione), il Metodo di Cramer (basato sui determinanti) e l’Eliminazione di Gauss (un metodo potente e generale che sfrutta le matrici e il concetto di rango).
Ogni metodo sarà introdotto con una breve spiegazione teorica e, soprattutto, sarà applicato immediatamente attraverso esercizi svolti passo dopo passo, con tutti i dettagli necessari per seguirti nella comprensione. Gli esercizi sono presentati con difficoltà crescente, per costruire gradualmente la tua competenza.
Esercizio 1 (Facile) – Metodo di Sostituzione
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
x+y=4 \\
2x-y=5
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria del Metodo di Sostituzione
Il metodo di sostituzione consiste nel ricavare esplicitamente una variabile da una delle equazioni del sistema e sostituire l’espressione trovata nell’altra equazione. Questo riduce il sistema a una singola equazione con una sola incognita, che può essere risolta. Una volta trovato il valore di un’incognita, si sostituisce questo valore in una delle equazioni originali per trovare l’altra incognita.
Passo 2: Risoluzione
Dalla prima equazione, ricaviamo la variabile [math]x[/math]:
[math]x = 4 – y[/math]
Sostituiamo questa espressione per [math]x[/math] nella seconda equazione:
[math]
2(4 – y) – y = 5 \\
8 – 2y – y = 5 \\
8 – 3y = 5 \\
-3y = 5 – 8 \\
-3y = -3 \\
y = \frac{-3}{-3} \\
y = 1
[/math]
Ora che abbiamo trovato il valore di [math]y[/math], lo sostituiamo nell’espressione che abbiamo ricavato per [math]x[/math] ([math]x = 4 – y[/math]):
[math]
x = 4 – 1 \\
x = 3
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata [math](x, y) = (3, 1)[/math].
Verifica: [math]3+1=4[/math] (corretto), [math]2(3)-1=6-1=5[/math] (corretto).
Esercizio 2 (Facile) – Metodo del Confronto
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
3x-y=1 \\
x+y=3
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria del Metodo del Confronto
Il metodo del confronto prevede di ricavare la stessa variabile (ad esempio, [math]y[/math]) da entrambe le equazioni del sistema. Successivamente, si uguagliano le due espressioni ottenute per quella variabile. Questo genera una singola equazione con l’altra incognita (nell’esempio, [math]x[/math]), che può essere risolta. Trovato il valore di un’incognita, lo si sostituisce in una delle equazioni originali per trovare l’altra.
Passo 2: Risoluzione
Ricaviamo la variabile [math]y[/math] da entrambe le equazioni:
Dalla prima equazione: [math]-y = 1 – 3x \implies y = 3x – 1[/math]
Dalla seconda equazione: [math]y = 3 – x[/math]
Uguagliamo le due espressioni per [math]y[/math]:
[math]
3x – 1 = 3 – x \\
3x + x = 3 + 1 \\
4x = 4 \\
x = \frac{4}{4} \\
x = 1
[/math]
Sostituiamo il valore di [math]x = 1[/math] in una delle equazioni originali per trovare [math]y[/math] (usiamo la seconda, che è più semplice):
[math]
1 + y = 3 \\
y = 3 – 1 \\
y = 2
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata [math](x, y) = (1, 2)[/math].
Verifica: [math]3(1)-2=3-2=1[/math] (corretto), [math]1+2=3[/math] (corretto).
Esercizio 3 (Medio) – Metodo di Eliminazione (Riduzione)
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
2x+3y=8 \\
4x-y=6
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria del Metodo di Eliminazione
Il metodo di eliminazione (o riduzione) mira a eliminare una delle variabili sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni del sistema. Per fare ciò, è necessario che i coefficienti della variabile che si vuole eliminare siano opposti (se si somma) o uguali (se si sottrae). Se i coefficienti non sono opportuni, si moltiplica una o entrambe le equazioni per costanti appropriate per renderli tali.
Passo 2: Risoluzione
Vogliamo eliminare la variabile [math]y[/math]. I coefficienti di [math]y[/math] sono +3 e -1. Possiamo moltiplicare la seconda equazione per 3 per rendere il coefficiente di [math]y[/math] pari a -3.
Moltiplichiamo la seconda equazione per 3:
[math]3 \times (4x – y) = 3 \times 6 \implies 12x – 3y = 18[/math]
Ora il sistema è equivalente a:
[math]\begin{cases}
2x+3y=8 \\
12x-3y=18
\end{cases}[/math]
Sommiamo membro a membro le due equazioni per eliminare [math]y[/math]:
[math]
(2x+3y) + (12x-3y) = 8 + 18 \\
2x + 12x + 3y – 3y = 26 \\
14x = 26 \\
x = \frac{26}{14} \\
x = \frac{13}{7}
[/math]
Sostituiamo il valore di [math]x = \frac{13}{7}[/math] in una delle equazioni originali per trovare [math]y[/math] (usiamo la prima):
[math]
2\left(\frac{13}{7}\right) + 3y = 8 \\
\frac{26}{7} + 3y = 8
[/math]
Per semplificare, portiamo [math]\frac{26}{7}[/math] a destra e troviamo un denominatore comune (7 per 8):
[math]
3y = 8 – \frac{26}{7} \\
3y = \frac{8 \times 7}{7} – \frac{26}{7} \\
3y = \frac{56}{7} – \frac{26}{7} \\
3y = \frac{56 – 26}{7} \\
3y = \frac{30}{7} \\
y = \frac{30}{7 \times 3} \\
y = \frac{30}{21} \\
y = \frac{10}{7}
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata [math](x, y) = \left(\frac{13}{7}, \frac{10}{7}\right)[/math].
Verifica: [math]2(\frac{13}{7})+3(\frac{10}{7}) = \frac{26}{7}+\frac{30}{7} = \frac{56}{7} = 8[/math] (corretto). [math]4(\frac{13}{7})-(\frac{10}{7}) = \frac{52}{7}-\frac{10}{7} = \frac{42}{7} = 6[/math] (corretto).
Esercizio 4 (Medio) – Metodo di Cramer
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
5x-2y=1 \\
3x+4y=7
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria del Metodo di Cramer
Il metodo di Cramer è un metodo per risolvere sistemi lineari con lo stesso numero di equazioni e incognite (generalmente [math]2 \times 2[/math] o [math]3 \times 3[/math]), che utilizza i determinanti. Per un sistema di due equazioni in due incognite:
[math]\begin{cases}
ax+by=c \\
dx+ey=f
\end{cases}[/math]
La soluzione è data da [math]x = \frac{D_x}{D}[/math] e [math]y = \frac{D_y}{D}[/math], dove [math]D[/math], [math]D_x[/math], e [math]D_y[/math] sono i determinanti delle seguenti matrici:
- [math]D[/math] è il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite: [math]D = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae – bd[/math].
- [math]D_x[/math] è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei coefficienti di [math]x[/math] con la colonna dei termini noti: [math]D_x = \begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix} = ce – bf[/math].
- [math]D_y[/math] è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei coefficienti di [math]y[/math] con la colonna dei termini noti: [math]D_y = \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} = af – cd[/math].
Il metodo di Cramer funziona solo se [math]D \neq 0[/math]. Se [math]D=0[/math], il sistema è indeterminato (infinite soluzioni) o impossibile (nessuna soluzione).
Passo 2: Risoluzione
Identifichiamo i coefficienti e i termini noti nel nostro sistema:
- [math]a=5[/math], [math]b=-2[/math], [math]c=1[/math]
- [math]d=3[/math], [math]e=4[/math], [math]f=7[/math]
Calcoliamo il determinante [math]D[/math] della matrice dei coefficienti:
[math]
D = \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (5 \cdot 4) – (-2 \cdot 3) \\
= 20 – (-6) \\
= 20 + 6 \\
= 26
[/math]
Poiché [math]D = 26 \neq 0[/math], il sistema è determinato e possiamo usare il metodo di Cramer.
Calcoliamo il determinante [math]D_x[/math]:
[math]
D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) – (-2 \cdot 7) \\
= 4 – (-14) \\
= 4 + 14 \\
= 18
[/math]
Calcoliamo il determinante [math]D_y[/math]:
[math]
D_y = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (5 \cdot 7) – (1 \cdot 3) \\
= 35 – 3 \\
= 32
[/math]
Ora troviamo le soluzioni usando le formule di Cramer:
[math]
x = \frac{D_x}{D} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}
[/math]
[math]
y = \frac{D_y}{D} = \frac{32}{26} = \frac{16}{13}
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata [math](x, y) = \left(\frac{9}{13}, \frac{16}{13}\right)[/math].
Esercizio 5 (Difficile) – Sistema con Parametro
Testo:
Determinare per quali valori del parametro [math]k[/math] il seguente sistema lineare è determinato:
[math]\begin{cases}
kx+y=2 \\
x+ky=1
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria dei Sistemi Parametrici
Per un sistema lineare quadrato (stesso numero di equazioni e incognite), la natura delle soluzioni (determinato, indeterminato, impossibile) dipende dal determinante della matrice dei coefficienti e dai determinanti ottenuti sostituendo la colonna dei coefficienti con i termini noti (come nel metodo di Cramer). Un sistema è determinato (ha un’unica soluzione) se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero.
Passo 2: Risoluzione
Scriviamo la matrice dei coefficienti del sistema e calcoliamo il suo determinante [math]D[/math]:
[math]
D = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = (k \cdot k) – (1 \cdot 1) \\
= k^2 – 1
[/math]
Il sistema è determinato se e solo se il determinante [math]D[/math] è diverso da zero:
[math]
D \neq 0 \\
k^2 – 1 \neq 0
[/math]
Risolviamo questa disuguaglianza per [math]k[/math]:
[math]
k^2 \neq 1
[/math]
Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati (ricordando sia la radice positiva che quella negativa):
[math]
\sqrt{k^2} \neq \sqrt{1} \\
|k| \neq 1
[/math]
Questo significa che [math]k[/math] non può essere né [math]1[/math] né [math]-1[/math].
Risposta: Il sistema è determinato per tutti i valori di [math]k[/math] tali che [math]k \neq 1[/math] e [math]k \neq -1[/math].
Esercizio 6 (Difficile) – Sistema Lineare a 3 Incognite
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
x+y+z=6 \\
2x-y+z=3 \\
x+2y-z=2
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria dei Sistemi a 3 Incognite
I sistemi lineari con tre o più incognite possono essere risolti estendendo i metodi usati per i sistemi [math]2 \times 2[/math]. Un approccio comune è utilizzare il metodo di eliminazione o sostituzione per ridurre il sistema originale a un sistema più piccolo (ad esempio, un sistema [math]2 \times 2[/math] con due incognite). Una volta risolto il sistema più piccolo, si usa la retro-sostituzione per trovare i valori delle incognite rimanenti.
Passo 2: Risoluzione
Useremo il metodo di eliminazione per ridurre il sistema. Notiamo che la variabile [math]z[/math] ha coefficienti [math]+1[/math] e [math]-1[/math] in alcune equazioni, il che rende l’eliminazione semplice.
Sommiamo la prima e la terza equazione per eliminare [math]z[/math]:
[math]
(x+y+z) + (x+2y-z) = 6 + 2 \\
x+x + y+2y + z-z = 8 \\
2x + 3y = 8 \quad (*A)
[/math]
Ora, sommiamo la prima e la seconda equazione per eliminare [math]y[/math] (o [math]z[/math], ma [math]y[/math] ha coefficienti opposti +1 e -1):
[math]
(x+y+z) + (2x-y+z) = 6 + 3 \\
x+2x + y-y + z+z = 9 \\
3x + 2z = 9 \quad (*B)
[/math]
Abbiamo ridotto il sistema originale [math]3 \times 3[/math] a un sistema [math]2 \times 2[/math] nelle variabili [math]x[/math] e [math]y[/math] (equazione *A*) e [math]x[/math] e [math]z[/math] (equazione *B*). Per risolverlo, abbiamo bisogno di un sistema [math]2 \times 2[/math] con le stesse due variabili. Possiamo usare l’equazione (*A*) e una nuova equazione che leghi [math]x[/math] e [math]y[/math]. Un modo è usare la seconda e la terza equazione originale per eliminare [math]z[/math].
Sommiamo la seconda e la terza equazione:
[math]
(2x-y+z) + (x+2y-z) = 3 + 2 \\
2x+x -y+2y + z-z = 5 \\
3x + y = 5 \quad (*C)
[/math]
Ora abbiamo un sistema [math]2 \times 2[/math] con le variabili [math]x[/math] e [math]y[/math] usando le equazioni (*A*) e (*C*):
[math]\begin{cases}
2x+3y=8 \quad (*A) \\
3x+y=5 \quad (*C)
\end{cases}[/math]
Risolviamo questo sistema [math]2 \times 2[/math] usando l’eliminazione. Moltiplichiamo l’equazione (*C*) per -3 per eliminare [math]y[/math] quando sommiamo ad (*A*).
[math]-3 \times (3x + y) = -3 \times 5 \implies -9x – 3y = -15[/math]
Sommiamo questa nuova equazione ad (*A*):
[math]
(2x+3y) + (-9x-3y) = 8 + (-15) \\
2x – 9x + 3y – 3y = 8 – 15 \\
-7x = -7 \\
x = \frac{-7}{-7} \\
x = 1
[/math]
Ora che abbiamo [math]x=1[/math], possiamo sostituirlo nell’equazione (*C*) per trovare [math]y[/math]:
[math]
3(1) + y = 5 \\
3 + y = 5 \\
y = 5 – 3 \\
y = 2
[/math]
Finalmente, con i valori di [math]x=1[/math] e [math]y=2[/math], sostituiamoli in una delle equazioni originali (usiamo la prima) per trovare [math]z[/math]:
[math]
x + y + z = 6 \\
1 + 2 + z = 6 \\
3 + z = 6 \\
z = 6 – 3 \\
z = 3
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la terna ordinata [math](x, y, z) = (1, 2, 3)[/math].
Verifica:
- [math]1+2+3=6[/math] (corretto)
- [math]2(1)-2+3=2-2+3=3[/math] (corretto)
- [math]1+2(2)-3=1+4-3=5-3=2[/math] (corretto)
Abbiamo esplorato diversi metodi risolutivi per i sistemi lineari:
- Sostituzione (Es. 1): Isolare una variabile e sostituirla altrove.
- Confronto (Es. 2): Isolare la stessa variabile in entrambe le equazioni e uguagliare.
- Eliminazione (Riduzione) (Es. 3): Sommare o sottrarre equazioni (opportunamente moltiplicate) per eliminare una variabile. Questo metodo è particolarmente utile anche per sistemi più grandi, come mostrato nell’approccio per il sistema a 3 incognite (Es. 6).
- Cramer (Es. 4): Utilizzare i determinanti delle matrici dei coefficienti e dei termini noti. Applicabile solo a sistemi quadrati con determinante della matrice dei coefficienti non nullo.
- Sistemi parametrici (Es. 5): Analizzare come la natura delle soluzioni dipende dal valore di uno o più parametri, spesso studiando il determinante della matrice dei coefficienti.
- Sistemi a 3 incognite (Es. 6): Utilizzare metodi come l’eliminazione o la sostituzione in modo iterativo per ridurre il sistema a dimensioni più piccole.
La scelta del metodo dipende dalla struttura del sistema e dalla preferenza personale. Per sistemi più grandi, metodi basati sull’eliminazione (come l’eliminazione di Gauss) o metodi matriciali sono generalmente più efficienti.
👉Sistemi lineari di equazioni. Esercizi risolti con diversi metodi
Esercizi Risolti con il Metodo di Eliminazione di Gauss
Ecco 3 esercizi risolti con il metodo di eliminazione di Gauss, spiegati passo a passo con nozioni teoriche integrate.
Esercizio 1 (Facile) – Sistema [math]2 \times 2[/math] con Gauss
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
2x+y=5 \\
x-y=1
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Teoria del Metodo di Gauss
Il metodo di eliminazione di Gauss (o riduzione a scala) è un algoritmo sistematico per risolvere sistemi lineari. L’obiettivo è trasformare il sistema originale in un sistema equivalente (con le stesse soluzioni) che sia in forma a scala (o forma triangolare superiore) utilizzando un set di operazioni elementari sulle righe della matrice aumentata del sistema. Le operazioni elementari permesse sono:
- Scambiare la posizione di due righe.
- Moltiplicare una riga per una costante non nulla.
- Sommare un multiplo di una riga a un’altra riga.
Una volta che la matrice aumentata è in forma a scala, il sistema corrispondente può essere risolto facilmente tramite sostituzione all’indietro.
Passo 2: Costruzione della Matrice Aumentata
Rappresentiamo il sistema lineare nella sua matrice aumentata, che combina la matrice dei coefficienti delle incognite con la colonna dei termini noti. Una linea verticale separa i coefficienti dalle costanti.
[math]
\begin{bmatrix}
2 & 1 & | & 5 \\
1 & -1 & | & 1
\end{bmatrix}
[/math]
Passo 3: Riduzione a Scala (Eliminazione in Avanti)
Vogliamo ottenere degli zeri sotto la diagonale principale. Iniziamo con la prima colonna.
Scambiamo la prima riga ([math]R_1[/math]) e la seconda riga ([math]R_2[/math]) per avere un ‘1’ nella posizione del pivot (in alto a sinistra), il che semplifica i calcoli successivi. L’operazione è [math]R_1 \leftrightarrow R_2[/math].
[math]
\begin{bmatrix}
1 & -1 & | & 1 \\
2 & 1 & | & 5
\end{bmatrix}
[/math]
Ora eliminiamo l’elemento ‘2’ nella prima colonna della seconda riga. Sottraiamo 2 volte la prima riga dalla seconda riga. L’operazione è [math]R_2 \to R_2 – 2R_1[/math].
[math]R_2 – 2R_1 = [2 \quad 1 \quad | \quad 5] – 2 \times [1 \quad -1 \quad | \quad 1] = [2-2 \quad 1 – (-2) \quad | \quad 5 – 2] = [0 \quad 3 \quad | \quad 3][/math]
La nuova matrice aumentata è:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & -1 & | & 1 \\
0 & 3 & | & 3
\end{bmatrix}
[/math]
Questa matrice è ora in forma a scala (triangolare superiore).
Passo 4: Risoluzione per Sostituzione all’Indietro
Convertiamo la matrice a scala torniamo alla forma di sistema lineare:
[math]\begin{cases}
1x – 1y = 1 \\
0x + 3y = 3
\end{cases} \implies \begin{cases}
x – y = 1 \\
3y = 3
\end{cases}[/math]
Risolviamo l’ultima equazione per [math]y[/math]:
[math]
3y = 3 \\
y = \frac{3}{3} \\
y = 1
[/math]
Sostituiamo il valore di [math]y=1[/math] nella prima equazione e risolviamo per [math]x[/math]:
[math]
x – 1 = 1 \\
x = 1 + 1 \\
x = 2
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata [math](x, y) = (2, 1)[/math].
Esercizio 2 = Es. 6 del primo set (Medio) – Sistema [math]3 \times 3[/math] con Gauss
Testo:
Risolvere il sistema lineare:
[math]\begin{cases}
x+y+z=6 \\
2x-y+z=3 \\
x+2y-z=2
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Matrice Aumentata
Scriviamo la matrice aumentata del sistema:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & -1 & 1 & | & 3 \\
1 & 2 & -1 & | & 2
\end{bmatrix}
[/math]
Passo 2: Riduzione a Scala (Eliminazione in Avanti)
Vogliamo ottenere zeri sotto il pivot nella prima colonna (l’elemento [math]a_{11}=1[/math] è già un buon pivot).
Eliminiamo l’elemento ‘2’ nella prima colonna della seconda riga. Operazione: [math]R_2 \to R_2 – 2R_1[/math].
[math]R_2 – 2R_1 = [2 \quad -1 \quad 1 \quad | \quad 3] – 2 \times [1 \quad 1 \quad 1 \quad | \quad 6] = [2-2 \quad -1-2 \quad 1-2 \quad | \quad 3-12] = [0 \quad -3 \quad -1 \quad | \quad -9][/math]
La matrice diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & -1 & | & -9 \\
1 & 2 & -1 & | & 2
\end{bmatrix}
[/math]
Eliminiamo l’elemento ‘1’ nella prima colonna della terza riga. Operazione: [math]R_3 \to R_3 – R_1[/math].
[math]R_3 – R_1 = [1 \quad 2 \quad -1 \quad | \quad 2] – [1 \quad 1 \quad 1 \quad | \quad 6] = [1-1 \quad 2-1 \quad -1-1 \quad | \quad 2-6] = [0 \quad 1 \quad -2 \quad | \quad -4][/math]
La matrice diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & -1 & | & -9 \\
0 & 1 & -2 & | & -4
\end{bmatrix}
[/math]
Ora passiamo alla seconda colonna. Vogliamo uno zero sotto il pivot nella seconda riga (l’elemento [math]a_{22}=-3[/math]). Possiamo rendere il pivot 1 prima per semplicità, o eliminare direttamente. Scambiamo la seconda e la terza riga per avere 1 come pivot in [math]a_{22}[/math]. Operazione: [math]R_2 \leftrightarrow R_3[/math].
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -2 & | & -4 \\
0 & -3 & -1 & | & -9
\end{bmatrix}
[/math]
Eliminiamo l’elemento ‘-3’ nella seconda colonna della terza riga. Sommiamo 3 volte la seconda riga alla terza riga. Operazione: [math]R_3 \to R_3 + 3R_2[/math].
[math]R_3 + 3R_2 = [0 \quad -3 \quad -1 \quad | \quad -9] + 3 \times [0 \quad 1 \quad -2 \quad | \quad -4] = [0+0 \quad -3+3 \quad -1 – 6 \quad | \quad -9 – 12] = [0 \quad 0 \quad -7 \quad | \quad -21][/math]
La matrice finale a scala è:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -2 & | & -4 \\
0 & 0 & -7 & | & -21
\end{bmatrix}
[/math]
Passo 3: Risoluzione per Sostituzione all’Indietro
Convertiamo la matrice a scala in sistema lineare:
[math]\begin{cases}
x+y+z=6 \\
y-2z=-4 \\
-7z=-21
\end{cases}[/math]
Risolviamo l’ultima equazione per [math]z[/math]:
[math]
-7z = -21 \\
z = \frac{-21}{-7} \\
z = 3
[/math]
Sostituiamo [math]z=3[/math] nella seconda equazione e risolviamo per [math]y[/math]:
[math]
y – 2(3) = -4 \\
y – 6 = -4 \\
y = -4 + 6 \\
y = 2
[/math]
Sostituiamo [math]y=2[/math] e [math]z=3[/math] nella prima equazione e risolviamo per [math]x[/math]:
[math]
x + 2 + 3 = 6 \\
x + 5 = 6 \\
x = 6 – 5 \\
x = 1
[/math]
Soluzione: La soluzione del sistema è la terna ordinata [math](x, y, z) = (1, 2, 3)[/math].
Esercizio 3 (Difficile) – Sistema con Parametro (Analisi di Rango)
Testo:
Determinare per quali valori del parametro [math]k[/math] il seguente sistema lineare ha soluzioni:
[math]\begin{cases}
x+2y-z=1 \\
2x+y+z=2 \\
x+y+kz=0
\end{cases}[/math]
Soluzione:
Passo 1: Matrice Aumentata
Scriviamo la matrice aumentata del sistema, includendo il parametro [math]k[/math]:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
2 & 1 & 1 & | & 2 \\
1 & 1 & k & | & 0
\end{bmatrix}
[/math]
Passo 2: Riduzione a Scala (Eliminazione in Avanti)
Eliminiamo gli elementi sotto il pivot ‘1’ nella prima colonna.
Operazione: [math]R_2 \to R_2 – 2R_1[/math].
[math]R_2 – 2R_1 = [2 \quad 1 \quad 1 \quad | \quad 2] – 2 \times [1 \quad 2 \quad -1 \quad | \quad 1] = [2-2 \quad 1-4 \quad 1-(-2) \quad | \quad 2-2] = [0 \quad -3 \quad 3 \quad | \quad 0][/math]
La matrice diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
0 & -3 & 3 & | & 0 \\
1 & 1 & k & | & 0
\end{bmatrix}
[/math]
Operazione: [math]R_3 \to R_3 – R_1[/math].
[math]R_3 – R_1 = [1 \quad 1 \quad k \quad | \quad 0] – [1 \quad 2 \quad -1 \quad | \quad 1] = [1-1 \quad 1-2 \quad k – (-1) \quad | \quad 0-1] = [0 \quad -1 \quad k+1 \quad | \quad -1][/math]
La matrice diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
0 & -3 & 3 & | & 0 \\
0 & -1 & k+1 & | & -1
\end{bmatrix}
[/math]
Ora lavoriamo sulla seconda colonna. Possiamo semplificare la seconda riga dividendo per -3 o scambiarla con la terza per avere un pivot di -1 o 1. Dividiamo la seconda riga per -3. Operazione: [math]R_2 \to -\frac{1}{3}R_2[/math].
[math]-\frac{1}{3}R_2 = -\frac{1}{3} \times [0 \quad -3 \quad 3 \quad | \quad 0] = [0 \quad 1 \quad -1 \quad | \quad 0][/math]
La matrice diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & -1 & k+1 & | & -1
\end{bmatrix}
[/math]
Eliminiamo l’elemento ‘-1’ nella seconda colonna della terza riga. Sommiamo la seconda riga alla terza riga. Operazione: [math]R_3 \to R_3 + R_2[/math].
[math]R_3 + R_2 = [0 \quad -1 \quad k+1 \quad | \quad -1] + [0 \quad 1 \quad -1 \quad | \quad 0] = [0+0 \quad -1+1 \quad k+1-1 \quad | \quad -1+0] = [0 \quad 0 \quad k \quad | \quad -1][/math]
La matrice aumentata in forma a scala è:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & k & | & -1
\end{bmatrix}
[/math]
Passo 3: Analisi del Sistema (basata sul Rango)
La solvibilità di un sistema lineare dipende dal confronto tra il rango della matrice dei coefficienti (la parte sinistra della matrice aumentata) e il rango della matrice aumentata completa. Per un sistema con [math]n[/math] incognite, se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice aumentata ed è uguale a [math]n[/math], il sistema è determinato (unica soluzione). Se i ranghi sono uguali ma minori di [math]n[/math], il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). Se i ranghi sono diversi, il sistema è impossibile (nessuna soluzione).
Dalla matrice ridotta a scala:
- La matrice dei coefficienti è [math]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}[/math].
- La matrice aumentata è [math]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & k & | & -1 \end{bmatrix}[/math].
Il rango di una matrice a scala è il numero di righe non nulle.
Analizziamo l’ultima riga [math][0 \quad 0 \quad k \quad | \quad -1][/math]:
- Caso 1: [math]k \neq 0[/math].
La terza riga della matrice dei coefficienti [math][0 \quad 0 \quad k][/math] non è nulla. Il rango della matrice dei coefficienti è 3. La terza riga della matrice aumentata [math][0 \quad 0 \quad k \quad | \quad -1][/math] non è nulla (poiché [math]k \neq 0[/math] e -1 non è zero). Il rango della matrice aumentata è 3. Poiché il rango della matrice dei coefficienti (3) è uguale al rango della matrice aumentata (3) ed è uguale al numero di incognite (3), il sistema è determinato (ha un’unica soluzione). - Caso 2: [math]k = 0[/math].
La matrice ridotta diventa:
[math]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & -1
\end{bmatrix}
[/math]La terza riga della matrice dei coefficienti [math][0 \quad 0 \quad 0][/math] è nulla. Il rango della matrice dei coefficienti è 2. La terza riga della matrice aumentata [math][0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad -1][/math] corrisponde all’equazione [math]0x + 0y + 0z = -1[/math], ovvero [math]0 = -1[/math]. Questa è una contraddizione, un’equazione impossibile. In questo caso, il rango della matrice aumentata (3) è diverso dal rango della matrice dei coefficienti (2). Quindi, il sistema è impossibile (non ha soluzioni).
Risposta: Il sistema lineare ha soluzioni se e solo se [math]k \neq 0[/math]. In particolare, per [math]k \neq 0[/math] il sistema è determinato.
Abbiamo applicato il metodo di eliminazione di Gauss in tre casi:
- Sistema [math]2 \times 2[/math] semplice (Es. 1): Illustra i passi base per ottenere la forma a scala e risolvere per sostituzione.
- Sistema [math]3 \times 3[/math] completo (Es. 2): Dimostra il processo di eliminazione su un sistema più grande e la sostituzione all’indietro estesa.
- Sistema parametrico con analisi di rango (Es. 3): Mostra come la forma a scala riveli la dipendenza della solvibilità del sistema dal valore di un parametro, tramite l’analisi dei ranghi secondo il teorema di Rouché-Capelli.
Il metodo di Gauss è potente e sistematico, scalabile per sistemi di qualsiasi dimensione e fondamentale per l’analisi teorica (rango, dipendenza lineare) e pratica dei sistemi lineari.
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