Formule di Bisezione: 6 Esercizi Svolti per Capire (Davvero) come Usarle in Trigonometria

Le formule di bisezione hanno una brutta fama. Quella radice quadrata e il doppio segno davanti spaventano quasi tutti quando si affronta la goniometria per la prima volta.

Spesso ci si chiede: “A che serve complicarsi la vita dimezzando l’angolo?”.

La verità è che queste formule non sono solo un esercizio di stile. Sono il “grimaldello” che userai più avanti per sbloccare integrali impossibili o per analizzare le onde in fisica. Ma per usarle bene, bisogna sporcarsi le mani.

Qui non troverai la solita lista di definizioni. Ho selezionato 6 problemi reali, ordinati per difficoltà, per farti vedere dove si nascondono le trappole (soprattutto sui segni!) e come risolverle senza andare a memoria.

Cominciamo.

Esercizio 1 (Facile) – Calcolo Diretto

Testo:
Stai progettando un supporto triangolare per una struttura. In un triangolo isoscele, il coseno dell’angolo al vertice è noto: [math]\cos(\theta)=\frac{7}{8}[/math]. Per calcolare la lunghezza di una componente del progetto, hai bisogno di conoscere il valore di [math]\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)[/math]. Determinalo.

Risoluzione:

Richiamo Teorico:

La formula di bisezione per il seno è:
[math]\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}[/math]

Analisi del Segno:

L’angolo [math]\theta[/math] è un angolo al vertice di un triangolo, quindi [math]0^\circ < \theta < 180^\circ[/math]. Di conseguenza, la sua metà [math]\frac{\theta}{2}[/math] sarà un angolo acuto ([math]0^\circ < \frac{\theta}{2} < 90^\circ[/math]). Gli angoli acuti si trovano nel primo quadrante, dove tutte le funzioni goniometriche sono positive. Pertanto, scegliamo il segno +.

Sostituzione e Calcolo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) &= +\sqrt{\frac{1-\frac{7}{8}}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{\frac{1}{8}}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{1}{16}} \\
&= \frac{1}{4}
\end{aligned}[/math]

Risultato finale: [math]\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1}{4}[/math].

Domanda di Riflessione:
Perché in questo problema abbiamo scartato la soluzione negativa della radice quadrata?

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Esercizio 2 (Facile) – Scelta del Segno

Testo:
Sia [math]\alpha[/math] un angolo tale che [math]\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi[/math]. Sapendo che [math]\cos(\alpha)=\frac{2}{3}[/math], calcola [math]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/math].

Risoluzione:

Richiamo Teorico:

La formula di bisezione per il coseno è:
[math]\displaystyle \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}[/math]

Analisi del Segno (Fondamentale!):

• L’angolo [math]\alpha[/math] è compreso tra [math]270^\circ[/math] e [math]360^\circ[/math] (IV quadrante).
• Dividendo questi estremi per 2, otteniamo: [math]135^\circ < \frac{\alpha}{2} < 180^\circ[/math].
• Un angolo in questo intervallo si trova nel II quadrante.
• Nel II quadrante, il coseno è negativo.

Sostituzione e Calcolo (con il segno corretto):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= -\sqrt{\frac{1+\frac{2}{3}}{2}} \\
&= -\sqrt{\frac{\frac{5}{3}}{2}} \\
&= -\sqrt{\frac{5}{6}}
\end{aligned}[/math]

Razionalizziamo il risultato:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \\
&= -\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\
&= -\frac{\sqrt{30}}{6}
\end{aligned}[/math]

Risultato finale: [math]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}[/math].

💡 Osservazione Strategica
La parte più delicata delle formule di bisezione è spesso la scelta del segno. Per non sbagliare, non basarti sul segno di [math]\cos(\alpha)[/math], ma determina sempre il quadrante in cui cade l’angolo [math]\frac{\alpha}{2}[/math] e ricorda il segno delle funzioni in quel quadrante.

Quadrante	Intervallo Angoli	Seno	Coseno	Tangente
I	0° – 90°	+	+	+
II	90° – 180°	+	–	–
III	180° – 270°	–	–	+
IV	270° – 360°	–	+	–

Domanda di Riflessione:
Se l’angolo [math]\alpha[/math] fosse stato nel III quadrante, in quale quadrante sarebbe finito [math]\frac{\alpha}{2}[/math] e quale segno avresti scelto per il suo coseno?

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Esercizio 3 (Medio) – Doppia Bisezione e Semplificazione

Testo:
Semplifica la seguente espressione, che compare in un modello di ottimizzazione:
[math]\displaystyle E=\frac{\sqrt{\frac{1-\cos(4x)}{2}}}{1+\cos(2x)}[/math]

Risoluzione:

Riconoscimento delle Formule:

Osserviamo che al numeratore abbiamo la struttura della formula di bisezione del seno: [math]\sin(\alpha)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}}[/math]. Nel nostro caso, [math]2\alpha=4x[/math], quindi [math]\alpha=2x[/math].
[math]\displaystyle \sqrt{\frac{1-\cos(4x)}{2}} = \sin(2x)[/math]
(Possiamo assumere il segno positivo per [math]2x[/math] in un contesto generale di semplificazione).

Riscrittura dell’Espressione: Sostituendo, l’espressione diventa:
[math]\displaystyle E=\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}[/math]

Strategia Risolutiva: Notiamo che il denominatore [math]1+\cos(2x)[/math] ricorda la formula di bisezione del coseno, ma anche che l’intera frazione [math]\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}[/math] è una formula del seno e coseno dell’angolo dimezzato. Usiamo le formule di duplicazione in modo inverso.

• Ricordiamo che [math]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/math]
• E che [math]1+\cos(2x)=2\cos^2(x)[/math].

Semplificazione Finale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
E &= \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} \\
&= \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} \\
&= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\
&= \tan(x)
\end{aligned}[/math]

Risultato finale: [math]E=\tan(x)[/math].

Domanda di Riflessione:
Quali identità goniometriche, oltre alle formule di bisezione, sono state cruciali per risolvere questo esercizio?

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Esercizio 4 (Medio) – Dimostrazione di un’Identità

Testo:
Verifica la seguente identità, utile in analisi per integrare certe funzioni:
[math]\displaystyle \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}[/math]

Risoluzione (Dimostrazione):

Strategia: Partiamo dal membro destro (MDR) dell’identità e cerchiamo di trasformarlo nel membro sinistro (MS), [math]\tan\left(\frac{x}{2}\right)[/math].

Applicazione delle Formule di Duplicazione: Al MDR, sia il numeratore che il denominatore contengono [math]x[/math], che possiamo vedere come il doppio di [math]\frac{x}{2}[/math]. Applichiamo le formule di duplicazione:

• [math]\sin(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)[/math]
• [math]\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1[/math]. Quindi [math]1+\cos(x)=1+\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)[/math]

Sostituzione e Semplificazione:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{MDR} &= \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \\
&= \frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}
\end{aligned}[/math]

Semplificando i coefficienti 2 e un [math]\cos\left(\frac{x}{2}\right)[/math], otteniamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{MDR} &= \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} \\
&= \tan\left(\frac{x}{2}\right)
\end{aligned}[/math]
Che è esattamente il MS.

💡 Osservazione Strategica
Esiste anche una seconda forma, molto utile, per la tangente di bisezione: [math]\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}[/math]. Si dimostra in modo analogo.

Domanda di Riflessione:
Perché in una dimostrazione è spesso più efficace partire dal membro più complesso e manipolarlo, piuttosto che partire da un’uguaglianza e fare passaggi su entrambi i lati?

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Esercizio 5 (Difficile) – Equazione Goniometrica

Testo:
Risolvi l’equazione nell’intervallo [math][0,2\pi)[/math]:
[math]\displaystyle \sin(x)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0[/math]

Risoluzione:

Strategia: L’equazione coinvolge funzioni di [math]x[/math] e di [math]\frac{x}{2}[/math].

L’idea è di usare una formula per rendere uniforme l’argomento. Possiamo esprimere [math]\sin(x)[/math] in funzione di [math]\frac{x}{2}[/math] usando la formula di duplicazione: [math]\sin(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)[/math].

Sostituzione:
[math]\displaystyle 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0[/math]

Raccoglimento a Fattor Comune:
[math]\displaystyle \cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-1\right]=0[/math]
Questa equazione prodotto è equivalente alle due equazioni:

• Caso 1: [math]\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0[/math]
• Caso 2: [math]2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-1=0 \implies \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}[/math]

Risoluzione del Caso 1:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos\left(\frac{x}{2}\right) &= 0 \\
\frac{x}{2} &= \frac{\pi}{2}+k\pi, \quad \text{con } k\in\mathbb{Z} \\
x &= \pi+2k\pi
\end{aligned}[/math]
Nell’intervallo [math][0,2\pi)[/math], l’unica soluzione è per [math]k=0[/math]: [math]x=\pi[/math].

Risoluzione del Caso 2:
[math]\displaystyle \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}[/math] quando:

1. [math]\displaystyle \begin{aligned}
   \frac{x}{2} &= \frac{\pi}{6}+2k\pi \\
   x &= \frac{\pi}{3}+4k\pi
   \end{aligned}[/math]
   Nell’intervallo [math][0,2\pi)[/math], la soluzione è per [math]k=0[/math]: [math]x=\frac{\pi}{3}[/math].
2. [math]\displaystyle \begin{aligned}
   \frac{x}{2} &= \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi = \frac{5\pi}{6}+2k\pi \\
   x &= \frac{5\pi}{3}+4k\pi
   \end{aligned}[/math]
   Nell’intervallo [math][0,2\pi)[/math], la soluzione è per [math]k=0[/math]: [math]x=\frac{5\pi}{3}[/math].

Soluzioni Finali: Unendo le soluzioni dei tre casi, abbiamo:
[math]\displaystyle x=\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}[/math]

Domanda di Riflessione:
Perché nel Caso 1, risolvendo [math]\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0[/math], il periodo delle soluzioni per [math]\frac{x}{2}[/math] è [math]\pi[/math], che diventa [math]2\pi[/math] per [math]x[/math]?

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Esercizio 6 (Molto Difficile) – Sistema e Applicazione delle Formule

Testo:
In un problema di fisica, due grandezze oscillanti [math]a[/math] e [math]b[/math] sono legate dalle seguenti equazioni, dove [math]t[/math] è un angolo di fase:
[math]\displaystyle \begin{cases} a=2\cos(t) \\ b=4\sin\left(\frac{t}{2}\right) \end{cases}[/math]
Determina per quali valori di [math]t[/math] nell’intervallo [math][0,2\pi)[/math] si ha [math]a=b[/math].

Risoluzione:

Impostazione del Sistema: Uguagliamo le due espressioni per [math]a[/math] e [math]b[/math]:
[math]\displaystyle 2\cos(t)=4\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math]
Dividiamo entrambi i membri per 2:
[math]\displaystyle \cos(t)=2\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math]

Strategia: Dobbiamo esprimere tutto in funzione di [math]\frac{t}{2}[/math]. Usiamo la formula di duplicazione per il coseno (nella forma [math]\cos(t)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)[/math]) per avere anche noi una funzione seno.

Sostituzione:
[math]\displaystyle 1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=2\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math]

Riscrittura come Equazione di Secondo Grado:

Portiamo tutti i termini a sinistra:

[math]\displaystyle 1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)-2\sin\left(\frac{t}{2}\right)=0[/math]
Moltiplichiamo per -1 e riordiniamo:
[math]\displaystyle 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)+2\sin\left(\frac{t}{2}\right)-1=0[/math]
Questa è un’equazione di secondo grado nell’incognita [math]y=\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math].

Risoluzione dell’Eq. di Secondo Grado:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
2y^2+2y-1&=0 \\
\Delta &= 2^2 – 4(2)(-1) = 4+8 = 12 \\
y &= \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2(2)} \\
&= \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} \\
&= \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\end{aligned}[/math]

Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin\left(\frac{t}{2}\right) &= \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.366 \\
\sin\left(\frac{t}{2}\right) &= \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.366 \quad \text{(IMPOSSIBILE, il seno è sempre compreso tra -1 e 1).}
\end{aligned}[/math]

Risoluzione dell’Unica Eq. Valida:

Dobbiamo risolvere:

[math]\displaystyle \sin\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}[/math]

Sia [math]K=\frac{\sqrt{3}-1}{2}[/math]. Poiché [math]K\approx 0.366 > 0[/math], ci saranno due soluzioni per [math]\frac{t}{2}[/math] in [math][0,\pi)[/math] (poiché [math]t\in[0,2\pi)[/math], allora [math]\frac{t}{2}\in[0,\pi)[/math]).

• [math]\displaystyle \frac{t}{2}=\arcsin(K)[/math] (Angolo nel I quadrante)
• [math]\displaystyle \frac{t}{2}=\pi-\arcsin(K)[/math] (Angolo nel II quadrante)

Soluzioni Finali per [math]t[/math]:

Moltiplichiamo per 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t_1 &= 2\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) \\
t_2 &= 2\pi-2\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)
\end{aligned}[/math]

Risultato finale: Le soluzioni sono [math]t_1[/math] e [math]t_2[/math] come sopra definite.

Domanda di Riflessione:
Perché in questo problema è stato più conveniente usare la forma [math]\cos(t)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)[/math] piuttosto che altre formule di bisezione?