Ottimizzazione del Budget: 6 Esercizi Pratici dalla Programmazione Lineare al Modello di Markowitz

Parliamoci chiaro: gestire un budget è il problema più vecchio del mondo. Che tu sia uno studente con la paghetta contata, un marketing manager con obiettivi irrealistici o un investitore che teme il rischio, la domanda è sempre la stessa: “Come ottengo il massimo da quello che ho?”.

Spesso ci affidiamo all’intuito o al buon senso. Ma quando le variabili aumentano e i vincoli stringono, il “fare a occhio” costa caro. Qui entra in gioco l’ottimizzazione matematica. Non serve essere dei geni per capire che esiste un modo scientifico per non lasciare soldi sul tavolo.

In questo articolo mettiamo da parte la teoria astratta. Vedremo 6 scenari concreti, sporcandoci le mani con i numeri. Partiremo da situazioni banali per arrivare a modelli complessi che le aziende usano ogni giorno. Preparate la calcolatrice: si passa dalla spesa in libreria alla frontiera efficiente di Wall Street.

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Esercizio 1 (Facile) – Massimizzare l’Acquisto di Libri

Testo:

Marco ha un budget di €100 da spendere per acquistare libri. I libri di narrativa costano €10 ciascuno, mentre i saggi costano €15 ciascuno. A Marco piacciono entrambi i generi, ma per una questione di spazio nello zaino, non può acquistare più di 8 libri in totale. Qual è la combinazione di libri che gli permette di spendere il massimo possibile del suo budget senza superarlo?

Risoluzione:

Definizione delle Variabili:

Sia [math]x[/math] il numero di libri di narrativa.
Sia [math]y[/math] il numero di saggi.

Definizione della Funzione Obiettivo:

Vogliamo massimizzare la spesa. La funzione obiettivo (costo totale) è:

[math]C(x,y)=10x+15y[/math]

Poiché il budget è fisso a €100, massimizzare la spesa significa avvicinarsi il più possibile a 100 senza superarlo.

Identificazione dei Vincoli:

• Vincolo di Budget: [math]10x+15y\le 100[/math]
• Vincolo di Capacità: [math]x+y\le 8[/math]
• Vincoli di Non-Negatività: [math]x\ge 0[/math], [math]y\ge 0[/math] (e devono essere numeri interi).

Risoluzione Grafica (o per Ispezione):

L’area ammissibile è il poligono delimitato dai vincoli. I punti candidati per la soluzione ottimale sono i vertici di questo poligono.

1. A: (0, 0) -> Spesa = €0
2. B: (8, 0) -> Spesa = [math]10\cdot 8+15\cdot 0 = \text{ Euro 80}[/math]
3. C: Intersezione dell’asse [math]y[/math] con il vincolo di Budget. [math]15y = 100[/math], [math]y \approx 6.67[/math]. Non accettabile ([math]y[/math] non intero). Proviamo [math](0, 6)[/math] -> Spesa = [math]10\cdot 0+15\cdot 6 = \text{ Euro 90}[/math].
4. D: Intersezione dei vincoli. Risolviamo il sistema:
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   \{10x+15y&=100 \\
   x+y&=8
   \end{aligned}[/math]
   Dalla seconda: [math]x=8-y[/math]. Sostituendo nella prima:
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   10(8-y)+15y&=100 \\
   80-10y+15y&=100 \\
   5y&=20 \\
   y&=4
   \end{aligned}[/math]
   Quindi [math]x=4[/math].
   Punto D: (4, 4) -> Spesa = [math]10\cdot 4+15\cdot 4=40+60=\text{ Euro 100}[/math].

Conclusione:

Confrontando le spese: (0,0)=0, (8,0)=80, (0,6)=90, (4,4)=100.
La combinazione che massimizza la spesa è 4 libri di narrativa e 4 saggi, con cui Marco spende esattamente tutto il suo budget.

Osservazione:
💡 In problemi di ottimizzazione lineare con due variabili, la soluzione ottimale (se esiste) si trova sempre in un vertice della regione ammissibile. Questo è noto come il Teorema Fondamentale della Programmazione Lineare.

Domanda di Riflessione:
Perché non abbiamo considerato il punto (2, 5), che si trova all’interno della regione ammissibile?

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Esercizio 2 (Facile/Medio) – Minimizzare il Costo di una Miscela

Testo:

Un bar deve preparare 10 kg di una miscela di caffè usando due tipi di fagioli: Tipo A che costa €8/kg e Tipo B che costa €12/kg. Per mantenere la qualità, la miscela finale deve contenere almeno il 40% di fagioli di Tipo B. Qual è la combinazione di fagioli che minimizza il costo totale di produzione?

Risoluzione:

Variabili:

• [math]a[/math]: kg di caffè Tipo A.
• [math]b[/math]: kg di caffè Tipo B.

Funzione Obiettivo (da Minimizzare):

[math]Costo(a,b)=8a+12b[/math]

Vincoli:

• Quantità Totale: [math]a+b=10[/math] (Deve preparare esattamente 10 kg).
• Qualità (Percentuale di B): [math]b\ge 0.4\cdot (a+b)[/math]. Sostituendo [math]a+b=10[/math], otteniamo [math]b\ge 4[/math].
• Non-Negatività: [math]a\ge 0[/math], [math]b\ge 0[/math].

Analisi dei Vincoli:

Il vincolo [math]a+b=10[/math] è un’equazione, non una disuguaglianza. Questo significa che la nostra regione ammissibile è un segmento di retta. Possiamo esprimere tutto in funzione di una variabile: [math]a=10-b[/math].

Sostituiamo nella funzione obiettivo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Costo(b)&=8(10-b)+12b \\
&=80-8b+12b \\
&=80+4b
\end{aligned}[/math]

Ottimizzazione:

La funzione [math]Costo(b)=80+4b[/math] è una retta crescente. Per minimizzare il costo, dobbiamo scegliere il valore più piccolo possibile di [math]b[/math] che soddisfi il vincolo [math]b\ge 4[/math].

Il valore minimo di [math]b[/math] è quindi 4. Se [math]b=4[/math], allora [math]a=10-4=6[/math].

Conclusione:

La combinazione di costo minimo è 6 kg di Tipo A e 4 kg di Tipo B.
Costo totale: [math]8\cdot 6+12\cdot 4=48+48=\text{ Euro 96}[/math].

Osservazione:
💡 Quando un vincolo è un’equazione, la regione ammissibile si riduce. In questo caso, l’ottimizzazione si è trasformata nel trovare il punto estremo di un segmento, analizzando la monotonia (crescenza/decrescenza) della funzione obiettivo.

Nella realtà, i prezzi delle materie prime oscillano quotidianamente. Un algoritmo statico fallirebbe in una settimana. Le torrefazioni moderne usano modelli dinamici collegati ai prezzi di borsa.

Domanda di Riflessione:
Se il costo del Tipo A aumentasse a €11/kg, quale sarebbe la nuova soluzione ottimale?

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Esercizio 3 (Medio) – Ottimizzazione di un Investimento Pubblicitario

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Esercizio 4 (Medio/Difficile) – Massimizzare il Profitto con Rendimenti Decrescenti

Testo:

Un artigiano produce e vende collane. Il prezzo di vendita [math]p(x)[/math] diminuisce all’aumentare della produzione [math]x[/math] per saturare il mercato. La funzione del prezzo è [math]p(x)=50-0.5x[/math], dove [math]x[/math] è il numero di collane prodotte. Il costo di produzione è dato da [math]C(x)=10x+100[/math]. L’artigiano ha un budget massimo di €800 per i costi. Determina il numero di collane da produrre per massimizzare il profitto.

Risoluzione:

Definizione del Profitto:

Il Ricavo è [math]R(x)=p(x)\cdot x=(50-0.5x)x=50x-0.5x^2[/math].
Il Profitto [math]\Pi(x)[/math] è Ricavo meno Costo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Pi(x)&=R(x)-C(x) \\
&=(50x-0.5x^2)-(10x+100) \\
\Pi(x)&=-0.5x^2+40x-100
\end{aligned}[/math]

Questa è una funzione quadratica (parabola) con concavità rivolta verso il basso (coefficiente di [math]x^2[/math] negativo), quindi ha un massimo.

Identificazione del Vincolo:

Il vincolo di budget è sui costi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
C(x)&=10x+100\le 800 \\
10x&\le 700 \\
x&\le 70
\end{aligned}[/math]

Ottimizzazione Senza Vincolo:

Per una parabola [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math], il vertice (punto di massimo) si trova in [math]x_v=-\frac{b}{2a}[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_v&=\frac{-40}{2\cdot (-0.5)} \\
&=\frac{-40}{-1} \\
&=40
\end{aligned}[/math]

Il profitto in corrispondenza di [math]x=40[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Pi(40)&=-0.5(40)^2+40\cdot 40-100 \\
&=-800+1600-100 \\
&=700
\end{aligned}[/math]

Verifica del Vincolo:

Il punto di massimo “libero” [math]x=40[/math] soddisfa il vincolo [math]x\le 70[/math]. Quindi è ammissibile.

Conclusione:

Il numero ottimale di collane da produrre è 40, che garantisce un profitto massimo di € 700.

Osservazione:
💡 Questo è un problema di ottimizzazione non lineare (funzione obiettivo quadratica). Quando la funzione obiettivo è concava (come una parabola con la “pancia” in su) e la regione ammissibile è convessa, il massimo si trova o nel vertice della parabola o al confine della regione ammissibile.

Domanda di Riflessione:
Cosa sarebbe successo se il vincolo di budget fosse stato più stringente, ad esempio [math]x\le 30[/math]?

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Esercizio 5 (Difficile) – Programmazione Lineare Intera (Commesso Viaggiatore Semplificato)

Testo:

Un corriere deve effettuare consegne in 4 città (A, B, C, D). Partendo e tornando al magazzino (M), deve visitare ogni città esattamente una volta. Le distanze in km sono nella tabella. Il carburante ha un costo di €0.20/km e il corriere ha un budget di 200 km (costo massimo €40). Trova il percorso di minima distanza che rispetti il budget. Se non esiste, trova il percorso che minimizza la distanza totale.

Da \ A	M	A	B	C	D
M	0	30	45	60	50
A	30	0	20	35	40
B	45	20	0	15	25
C	60	35	15	0	10
D	50	40	25	10	0

Risoluzione:

Natura del Problema:

Questo è una versione semplificata del “Commesso Viaggiatore” (TSP). Ci sono [math](4-1)!=3!=6[/math] percorsi possibili che partono e finiscono in M e visitano tutte e 4 le città (le città da permutare sono A, B, C, D).

Elencazione e Valutazione dei Percorsi (M -> … -> M):

1. M-A-B-C-D-M: [math]30 + 20 + 15 + 10 + 50 = \mathbf{125 \text{ km}}[/math]
2. M-A-B-D-C-M: [math]30 + 20 + 25 + 10 + 60 = 145 \text{ km}[/math]
3. M-A-C-B-D-M: [math]30 + 35 + 15 + 25 + 50 = 155 \text{ km}[/math]
4. M-A-C-D-B-M: [math]30 + 35 + 10 + 25 + 45 = 145 \text{ km}[/math]
5. M-A-D-B-C-M: [math]30 + 40 + 25 + 15 + 60 = 170 \text{ km}[/math]
6. M-A-D-C-B-M: [math]30 + 40 + 10 + 15 + 45 = 140 \text{ km}[/math]

Analisi dei Risultati:

Il percorso più breve tra tutti è M-A-B-C-D-M (125 km).
Verifichiamo il vincolo:

• Distanza: [math]125 \text{ km} < 200 \text{ km}[/math] (OK).
• Costo: [math]125\cdot 0.20=\text{ Euro25}[/math], che è [math]\le \text{\text{\texteuro}40}[/math] (OK).

Conclusione:

Il percorso ottimale è M → A → B → C → D → M, con una distanza totale di 125 km e un costo di €25.

Osservazione:
💡 I problemi di ottimizzazione combinatoria come il TSP diventano estremamente complessi all’aumentare del numero di nodi (città). Per [math]n[/math] città, i percorsi possibili sono [math](n-1)![/math].

Domanda di Riflessione:
Perché in questo problema abbiamo considerato [math](4-1)![/math] percorsi invece di [math]4![/math]?

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Esercizio 6 (Molto Difficile) – Ottimizzazione Stocastica del Budget

Testo:

Un investitore ha €10.000 da allocare in due fondi:

• Fondo X: Rendimento atteso [math]R_x=7\%[/math], Rischio (Deviazione Standard) [math]\sigma_x=10\%[/math].
• Fondo Y: Rendimento atteso [math]R_y=12\%[/math], Rischio (Deviazione Standard) [math]\sigma_y=20\%[/math].

Il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due fondi è [math]\rho=-0.2[/math]. L’investitore vuole massimizzare il rendimento atteso del portafoglio, ma non vuole che il rischio (deviazione standard [math]\sigma_p[/math]) superi il 15%. Formula e risolvi il problema.

Risoluzione:

Variabili:

• [math]w_x[/math]: frazione di capitale investita nel Fondo X.
• [math]w_y[/math]: frazione di capitale investita nel Fondo Y.

Per definizione: [math]w_x+w_y=1[/math], quindi [math]w_y=1-w_x[/math].

Funzione Obiettivo (Rendimento Atteso da Massimizzare):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
R_p&=w_x\cdot 0.07+w_y\cdot 0.12 \\
&=0.07w_x+0.12(1-w_x) \\
R_p(w_x)&=0.12-0.05w_x
\end{aligned}[/math]

Per massimizzare [math]R_p[/math] (data la pendenza negativa di -0.05), dobbiamo minimizzare [math]w_x[/math].

Vincolo (Rischio – Deviazione Standard [math]\sigma_p \le 0.15[/math]):

Il vincolo sul rischio si applica alla varianza: [math]\sigma_p^2\le (0.15)^2=0.0225[/math].
La varianza [math]\sigma_p^2[/math] del portafoglio è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_p^2&=w_x^2\sigma_x^2+w_y^2\sigma_y^2+2w_xw_y\rho\sigma_x\sigma_y \\
\end{aligned}[/math]

Inseriamo i valori [math]\sigma_x=0.10[/math], [math]\sigma_y=0.20[/math], [math]\rho=-0.2[/math] e [math]w_y=1-w_x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_p^2&=w_x^2(0.10)^2+(1-w_x)^2(0.20)^2 \\
&{} \quad +2w_x(1-w_x)(-0.2)(0.10)(0.20) \\
&=0.01w_x^2+0.04(1-2w_x+w_x^2)-0.008(w_x-w_x^2) \\
&=0.01w_x^2+0.04-0.08w_x+0.04w_x^2-0.008w_x+0.008w_x^2 \\
\sigma_p^2&=0.058w_x^2-0.088w_x+0.04
\end{aligned}[/math]

Risoluzione del Vincolo:

Dobbiamo risolvere la disequazione [math]\sigma_p^2\le 0.0225[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0.058w_x^2-0.088w_x+0.04&\le 0.0225 \\
0.058w_x^2-0.088w_x+0.0175&\le 0
\end{aligned}[/math]

Troviamo le radici dell’equazione associata [math]0.058w_x^2-0.088w_x+0.0175=0[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
w_x&=\frac{0.088\pm\sqrt{(-0.088)^2-4\cdot 0.058\cdot 0.0175}}{2\cdot 0.058} \\
&=\frac{0.088\pm\sqrt{0.007744-0.00406}}{0.116} \\
&=\frac{0.088\pm\sqrt{0.003684}}{0.116}\approx \frac{0.088\pm 0.0607}{0.116}
\end{aligned}[/math]

Le radici sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
w_{x1}&\approx\frac{0.088-0.0607}{0.116}\approx 0.235 \\
w_{x2}&\approx\frac{0.088+0.0607}{0.116}\approx 1.278
\end{aligned}[/math]

Poiché il coefficiente di [math]w_x^2[/math] è positivo, la disequazione è soddisfatta tra le radici: [math]0.235\le w_x\le 1.278[/math].
Considerando il vincolo [math]0\le w_x\le 1[/math], il vincolo finale è: [math]0.235\le w_x\le 1[/math].

Ottimizzazione Finale:

Per massimizzare [math]R_p=0.12-0.05w_x[/math], dobbiamo scegliere il valore minimo di [math]w_x[/math] ammissibile.

Il valore minimo è [math]w_x=0.235[/math].
Quindi, [math]w_y=1-0.235=0.765[/math].

Conclusione:

L’allocazione ottimale è investire 23.5% (€2.350) nel Fondo X e 76.5% (€7.650) nel Fondo Y.
Rendimento Atteso: [math]0.12-0.05\cdot 0.235\approx 0.10825[/math] o 10.825%.

Osservazione:
💡 Questo problema introduce il Principio di Media-Varianza di Markowitz. La diversificazione (qui favorita dalla correlazione negativa) permette di costruire portafogli efficienti sulla “frontiera efficiente”.

Il modello di Markowitz è elegante, ma presume che il passato predica il futuro e che i rendimenti seguano una curva a campana (distribuzione normale). Nei crolli di mercato reali (cigni neri), le correlazioni tendono tutte a 1, facendo saltare questi calcoli. Ecco perché l’algoritmo è solo l’inizio, non la fine.

Domanda di Riflessione:
Cosa succederebbe al rischio del portafoglio se la correlazione [math]\rho[/math] fosse +1 invece che -0.2?

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Risposte Dettagliate alle Domande di Riflessione