C’è un istante preciso, spesso confuso tra i banchi delle superiori o nelle prime aule universitarie, in cui la trigonometria cambia volto.
Smette di essere quella noiosa lista di formule da imparare a memoria per la verifica e si rivela per ciò che è davvero: un’architettura.
Siamo abituati a pensare a seno e coseno come a semplici onde su un grafico, ma se proviamo a scendere appena sotto la superficie, troviamo i bulloni e gli ingranaggi che tengono in piedi il mondo digitale. Dai motori di rendering dei videogiochi alla compressione delle foto sul tuo smartphone, tutto si regge su queste fondamenta.
In questo articolo non faremo solo i conti. Partiremo da una sfida apparentemente impossibile per arrivare a capire perché la tua calcolatrice non va nel panico davanti a un calcolo complesso. È un percorso che lega la geometria antica alla moderna analisi numerica, per mostrarti come un “banale” polinomio sia l’unica cosa che protegge i nostri computer dagli errori di calcolo catastrofici.
Esercizio 1 (Livello intermedio-avanzato)
Testo
Sia [math]\theta[/math] un angolo tale che
[math]\sin\theta + \cos\theta = \frac{3}{2}[/math].
- Calcolare [math]\sin\theta \cos\theta[/math] utilizzando l’identità
[math](\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta[/math]. - Trovare un polinomio di secondo grado in [math]t[/math] le cui radici siano
[math]\sin\theta[/math] e [math]\cos\theta[/math]. - Risolvere il polinomio e determinare se esistono [math]\theta \in \mathbb{R}[/math]
che soddisfano la condizione iniziale.
Risoluzione
Step 1 – Calcolo [math]\sin\theta \cos\theta[/math]
Dato [math]S = \sin\theta + \cos\theta = \frac{3}{2}[/math].
Elevando al quadrato:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S^2 &= \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta \\
&= 1 + 2\sin\theta\cos\theta
\end{aligned}[/math]
Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta \implies \frac{9}{4} = 1 + 2p
\end{aligned}[/math]
dove [math]p = \sin\theta\cos\theta[/math].
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{9}{4} – 1 = 2p \implies \frac{5}{4} = 2p \implies p = \frac{5}{8}
\end{aligned}[/math]
Step 2 – Polinomio con radici [math]\sin\theta, \cos\theta[/math]
Se due numeri hanno somma [math]S[/math] e prodotto [math]P[/math], allora soddisfano:
[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2 – St + P = 0 \end{aligned}[/math]
Qui:
[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2 – \frac{3}{2}t + \frac{5}{8} = 0 \end{aligned}[/math]
Moltiplicando per 8:
[math]8t^2 – 12t + 5 = 0[/math].
Step 3 – Risolvere polinomio
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta = 144 – 160 = -16 < 0
\end{aligned}[/math]
Radici complesse non reali. Quindi non esistono [math]\sin\theta, \cos\theta[/math]
reali con quella somma e prodotto.
Step 4 – Interpretazione
Essendo [math]\sin\theta, \cos\theta[/math] reali per [math]\theta[/math] reale,
la condizione iniziale [math]\sin\theta + \cos\theta = \frac{3}{2}[/math] è impossibile
perché il massimo di [math]\sin\theta + \cos\theta[/math] è
[math]\sqrt{2} \approx 1.414[/math]
(si ottiene con [math]\theta = \pi/4[/math]).
Osservazione
💡 La relazione tra somma e prodotto di [math]\sin\theta[/math] e [math]\cos\theta[/math]
permette di costruire un’equazione di secondo grado. Il discriminante negativo indica
che i due numeri non possono essere entrambi reali, rivelando un’incompatibilità
della condizione iniziale con le proprietà delle funzioni seno e coseno.
Domanda di riflessione
Qual è il valore massimo possibile di [math]\sin\theta + \cos\theta[/math] per
[math]\theta[/math] reale? Come si ricava?
Esercizio 2 (Livello avanzato)
Testo
Sia [math]z = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}[/math] la radice settima primitiva dell’unità.
- Verificare che [math]z^7 = 1[/math] e [math]z \neq 1[/math].
- Sfruttando l’identità [math]z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0[/math], dimostrare che:[math]\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}[/math].
- Trovare un polinomio a coefficienti interi di grado 3 soddisfatto da
[math]c = \cos\frac{2\pi}{7}[/math] (senza risolverlo esplicitamente).
Risoluzione
Step 1 – Proprietà di [math]z[/math]
Per De Moivre: [math]z = e^{i\frac{2\pi}{7}}[/math].
Quindi [math]z^7 = e^{i2\pi} = 1[/math], e [math]z^k \neq 1[/math] per
[math]1 \leq k \leq 6[/math].
Step 2 – Relazione tra le radici
Poiché [math]z^7 – 1 = 0[/math] e [math]z – 1 \neq 0[/math], vale l’identità:
[math]z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 \quad (1)[/math]
Step 3 – Separare parte reale e immaginaria
Scriviamo [math]z^k = \cos\frac{2k\pi}{7} + i\sin\frac{2k\pi}{7}[/math].
La somma in (1) include [math]z^0 = 1[/math], quindi la somma da [math]k=0[/math] a [math]6[/math] di [math]z^k[/math] è nulla:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{6} z^k = 0 \end{aligned}[/math]
Parte reale:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{6} \cos\frac{2k\pi}{7} = 0 \end{aligned}[/math]
Ma [math]\cos 0 = 1[/math] e, per le proprietà di simmetria,
[math]\cos\frac{2k\pi}{7} = \cos\frac{2(7-k)\pi}{7}[/math].
Nello specifico:
- [math]\cos\frac{8\pi}{7} = \cos\frac{6\pi}{7}[/math]
- [math]\cos\frac{10\pi}{7} = \cos\frac{4\pi}{7}[/math]
- [math]\cos\frac{12\pi}{7} = \cos\frac{2\pi}{7}[/math]
Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned} 1 + 2\left(\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}\right) = 0 \end{aligned}[/math]
Dunque:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} \end{aligned}[/math]
Step 4 – Polinomio per [math]c = \cos\frac{2\pi}{7}[/math]
Usando le formule di duplicazione e triplicazione:
- Sia [math]c = \cos\frac{2\pi}{7}[/math]
- [math]\cos\frac{4\pi}{7} = 2c^2 – 1[/math]
- [math]\cos\frac{6\pi}{7} = 4c^3 – 3c[/math]
Sostituendo nella relazione trovata allo Step 3:
[math]\displaystyle \begin{aligned} c + (2c^2 – 1) + (4c^3 – 3c) = -\frac{1}{2} \end{aligned}[/math]
Semplificando:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
4c^3 + 2c^2 – 2c – 1 = -\frac{1}{2} \\
&{} \quad \text{(Moltiplicando tutto per 2)} \\
8c^3 + 4c^2 – 4c – 2 = -1 \\
8c^3 + 4c^2 – 4c – 1 = 0
\end{aligned}[/math]
Quindi il polinomio cercato è [math]8x^3 + 4x^2 – 4x – 1 = 0[/math].
Osservazione
💡 Le radici dell’unità forniscono relazioni simmetriche tra i coseni dei multipli di un angolo,
che portano a polinomi a coefficienti interi per valori trigonometrici specifici.
Questo lega algebra e trigonometria in modo profondo.
Domanda di riflessione
Perché nella somma dei coseni compaiono solo [math]\cos\frac{2\pi}{7}, \cos\frac{4\pi}{7}, \cos\frac{6\pi}{7}[/math] e non gli altri?
Esercizio 3 (Livello molto avanzato / universitario)
Testo
Sia [math]T_n(x)[/math] il polinomio di Čebyšëv di prima specie di grado [math]n[/math], definito da [math]T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)[/math].
- Verificare che [math]T_0(x) = 1[/math], [math]T_1(x) = x[/math], e che vale la ricorrenza [math]T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x)[/math].
- Usare la ricorrenza per calcolare [math]T_2(x)[/math] e [math]T_3(x)[/math].
- Esprimere [math]\cos(3\theta)[/math] in termini di [math]\cos\theta[/math] usando [math]T_3[/math] e verificare con la formula di triplicazione nota.
- Determinare gli zeri di [math]T_3(x)[/math] e confrontarli con i valori di [math]\theta[/math] per cui [math]\cos(3\theta) = 0[/math].
Risoluzione
Step 1 – Definizione e casi base
Per [math]n=0[/math]: [math]T_0(\cos\theta) = \cos(0) = 1 \implies T_0(x) = 1[/math].
Per [math]n=1[/math]: [math]T_1(\cos\theta) = \cos\theta \implies T_1(x) = x[/math].
Step 2 – Ricorrenza
Dalla formula di addizione del coseno:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta) \end{aligned}[/math]
Quindi:
[math]\displaystyle \begin{aligned} T_{n+1}(\cos\theta) + T_{n-1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cdot T_n(\cos\theta) \end{aligned}[/math]
Ponendo [math]x = \cos\theta[/math], otteniamo la ricorrenza:
[math]\displaystyle \begin{aligned} T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x) \end{aligned}[/math]
Step 3 – Calcolo [math]T_2, T_3[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T_2(x) &= 2x \cdot T_1(x) – T_0(x) \\
&= 2x^2 – 1
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T_3(x) &= 2xT_2(x) – T_1(x) \\
&= 2x(2x^2 – 1) – x \\
&= 4x^3 – 3x
\end{aligned}[/math]
Step 4 – Espressione di [math]\cos(3\theta)[/math]
Per definizione: [math]T_3(\cos\theta) = \cos(3\theta)[/math].
Quindi [math]\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta[/math], che è la nota formula di triplicazione.
Step 5 – Zeri di [math]T_3(x)[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T_3(x) &= x(4x^2 – 3) = 0 \\
&{} \quad \implies x = 0, \quad x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}[/math]
Gli zeri corrispondono a [math]\cos\theta[/math] tali che [math]\cos(3\theta) = 0[/math], cioè:
[math]\displaystyle \begin{aligned} 3\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \end{aligned}[/math]
- Per [math]k=0[/math]: [math]\theta = \frac{\pi}{6}, \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}[/math].
- Per [math]k=1[/math]: [math]\theta = \frac{\pi}{2}, \cos\theta = 0[/math].
- Per [math]k=2[/math]: [math]\theta = \frac{5\pi}{6}, \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/math].
I valori di [math]\cos\theta[/math] coincidono esattamente con gli zeri trovati per il polinomio.
Osservazione
💡 L’Approssimazione di Čebyšëv e il Problema di Runge
In analisi numerica, quando vogliamo approssimare una funzione nota (o un set di dati) usiamo spesso i polinomi. Tuttavia, non tutti i punti su cui costruiamo il polinomio sono uguali. Se scegliamo punti equispaziati, andiamo incontro a un problema celebre.
1. Il Fenomeno di Runge: Il fallimento dei punti equispaziati
Si potrebbe pensare che aumentando il grado di un polinomio e usando punti distribuiti uniformemente (es. [math]-1, -0.5, 0, 0.5, 1[/math]), l’approssimazione migliori. In realtà, per molte funzioni, accade il contrario: il polinomio inizia a oscillare selvaggiamente vicino agli estremi dell’intervallo.
Questo accade perché i polinomi ad alto grado sono estremamente sensibili ai valori dei punti esterni. Immagina una corda tesa: se la pizzichi uniformemente, le estremità vibrano molto più del centro.
2. La Soluzione: I Nodi di Čebyšëv
Per risolvere il problema, dobbiamo “addensare” i punti verso gli estremi dell’intervallo [math][-1, 1][/math]. I punti ideali sono proprio gli zeri dei polinomi di Čebyšëv.
La formula generale per trovare gli [math]n[/math] zeri di [math]T_n(x)[/math] è:
[math]\displaystyle \begin{aligned} x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1, \dots, n \end{aligned}[/math]
L’intuizione geometrica: Se prendi una semicirconferenza e segni dei punti ad angoli regolari, le loro proiezioni sull’asse [math]x[/math] non saranno equispaziate, ma più fitte vicino a [math]-1[/math] e [math]1[/math]. Usando questi punti (chiamati Nodi di Čebyšëv), l’errore di approssimazione viene distribuito uniformemente su tutto l’intervallo, eliminando le oscillazioni folli di Runge.
3. Perché è “Magico” per un Ingegnere o Informatico?
- Efficienza: Puoi ottenere un’approssimazione quasi perfetta di una funzione complessa (come [math]\sin(x)[/math] o [math]e^x[/math]) usando un polinomio di grado molto basso (es. grado 5 o 7).
- Calcolo nei Processori: Molte librerie matematiche nei linguaggi di programmazione (C++, Python, Julia) non calcolano le funzioni trigonometriche da zero, ma usano polinomi di Čebyšëv pre-calcolati perché sono i più veloci e precisi.
Esempio Pratico: Minimax
L’approssimazione di Čebyšëv è molto vicina al cosiddetto Polinomio di Minimax, ovvero il polinomio che, tra tutti quelli di grado [math]n[/math], rende minima la massima distanza (errore) dalla funzione originale.
Domanda di riflessione
Come si generalizza la posizione degli zeri di [math]T_n(x)[/math] all’intervallo [math][-1,1][/math]?
Risposte alle domande di riflessione
Esercizio 1: Massimo della somma trigonometrica
Il valore massimo possibile per [math]\theta \in \mathbb{R}[/math] è [math]\sqrt{2}[/math].
Si ricava applicando il metodo dell’angolo aggiunto:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)
\end{aligned}[/math]
Poiché il valore massimo della funzione seno è [math]1[/math], il prodotto
[math]\sqrt{2} \cdot 1[/math] determina il valore massimo dell’intera espressione,
ovvero [math]\sqrt{2} \approx 1.414[/math].
Esercizio 2: Simmetria nelle radici dell’unità
Nella somma dei coseni compaiono solo [math]\cos\frac{2\pi}{7}, \cos\frac{4\pi}{7}, \cos\frac{6\pi}{7}[/math]
perché gli altri termini della radice settima sono speculari per simmetria rispetto all’asse reale:
- [math]\cos\frac{8\pi}{7} = \cos\frac{6\pi}{7}[/math]
- [math]\cos\frac{10\pi}{7} = \cos\frac{4\pi}{7}[/math]
- [math]\cos\frac{12\pi}{7} = \cos\frac{2\pi}{7}[/math]
Inoltre, il termine [math]\cos\frac{14\pi}{7} = \cos 2\pi = \cos 0 = 1[/math] è l’elemento costante
già incluso separatamente nel calcolo della somma totale delle radici.
Esercizio 3: Distribuzione degli zeri di Čebyšëv
Gli zeri di [math]T_n(x)[/math] nell’intervallo [math](-1, 1)[/math] si ottengono risolvendo
l’equazione [math]\cos(n\theta) = 0[/math], che porta alla formula generale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right), \quad k=1, 2, \dots, n
\end{aligned}[/math]
Questi punti sono le proiezioni sull’asse [math]x[/math] di punti equispaziati lungo una semicirconferenza.
Sono simmetrici rispetto allo zero se [math]n[/math] è dispari e risultano più densi verso gli estremi [math]-1[/math] e [math]1[/math], garantendo l’ottimalità nell’approssimazione polinomiale.
Perché questi esercizi sono interessanti?
L’Esercizio 1 non è un semplice calcolo, ma una lezione di coerenza logica. Insegna a un programmatore o a un analista che non basta che un’equazione sia “scrivibile” per essere risolvibile. La trigonometria ha dei vincoli fisici (il cerchio unitario) che l’algebra pura potrebbe ignorare se non interrogata correttamente tramite il discriminante.
L’Esercizio 2 è il ponte verso la Teoria di Galois e la crittografia moderna. Capire come le radici dell’unità si distribuiscono sul piano complesso è ciò che permette alla FFT (Fast Fourier Transform) di funzionare. Senza queste relazioni simmetriche, la compressione MP3 o lo streaming video che usiamo oggi sarebbero computazionalmente impossibili.
L’Esercizio 3 (Čebyšëv) è il “Sacro Graal” per chi scrive software di simulazione:
- Per l’Ingegnere: Se devi progettare l’ala di un aereo e simularne la resistenza, non puoi campionare i dati a intervalli regolari. Il fenomeno di Runge distruggerebbe la precisione ai bordi.
- Per il Data Scientist: I polinomi di Čebyšëv sono alla base della regressione polinomiale robusta.
La “magia” sta nel fatto che questi polinomi “capiscono” che l’informazione non è distribuita equamente: gli estremi sono più critici del centro.
Oltre la lavagna: Gli “Eroi Silenziosi” del silicio
Spesso, l’insegnamento tradizionale della matematica commette un peccato di omissione: ci abitua all’idea che “più dati” significhino automaticamente “più precisione”. È un approccio quantitativo che oggi, nell’era dei Big Data, rischia di portarci fuori strada. La storia di Čebyšëv e del suo omonimo fenomeno ci insegna l’esatto opposto: dati scelti meglio valgono molto più di una mole enorme di dati mediocri.
Il fallimento dell’intuizione: Il Fenomeno di Runge
Nelle aule scolastiche impariamo che per approssimare una curva basta aggiungere punti. Ma se proviamo a farlo con punti equispaziati su funzioni apparentemente semplici, accade il disastro.
Il Fenomeno di Runge è il momento in cui la matematica “scolastica” si scontra con la realtà numerica: all’aumentare del grado del polinomio, l’approssimazione vicino agli estremi dell’intervallo inizia a oscillare selvaggiamente. Non è un errore di calcolo, è un limite strutturale dei polinomi quando vengono forzati su una griglia rigida.
La lezione di Čebyšëv: Efficienza batte Quantità
Qui entra in gioco la genialità di Čebyšëv. Invece di lottare contro le oscillazioni, lui ha capito che dovevamo cambiare la distribuzione dell’attenzione. Addensando i punti di campionamento verso i bordi (i cosiddetti nodi di Čebyšëv), l’errore si livella.
Questa non è solo una curiosità per accademici. È una lezione di efficienza ingegneristica:
-
Dentro il tuo computer: Quando scrivi
math.cos(x)in Python (usando librerie come NumPy) o esegui calcoli trigonometrici su un processore Intel, non stai consultando una tabella infinita di valori né risolvendo serie di Taylor infinite (che sono lentissime). Stai quasi certamente utilizzando un’approssimazione basata sui polinomi di Čebyšëv. -
Ottimizzazione hardware: Questi polinomi sono gli “eroi silenziosi” codificati nel silicio. Permettono ai chip di restituire risultati precisi al miliardesimo in frazioni di nanosecondo, usando il minor numero possibile di operazioni logiche.
Chi lavora oggi nel Machine Learning, nello sviluppo di motori grafici o nella simulazione finanziaria, non può permettersi il lusso dell’inefficienza. Risolvere l’Esercizio 3 non serve solo a prendere un buon voto, ma a capire come “piegare” la complessità di una funzione continua in una forma che un computer possa digerire velocemente e senza errori catastrofici.
Questa sezione finale è dedicata a chi sta studiando questi argomenti e vuole evitare le trappole logiche più comuni. Capire la matematica non significa solo applicare formule, ma riconoscere i segnali d’allarme quando i conti “non tornano”.
🚩 Errori Tipici e Come Evitarli
1. Confondere radici primitive con radici generiche
Le radici dell’unità non sono tutte uguali. Solo le primitive generano l’intero gruppo ciclico e producono le simmetrie necessarie per arrivare a polinomi a coefficienti interi. Usare radici non primitive porta a perdere informazioni essenziali e a ottenere somme che si annullano troppo presto.
💡 Il segnale: Se nell’Esercizio 2 compaiono solo [math]\cos(2\pi/7)[/math], [math]\cos(4\pi/7)[/math], e [math]\cos(6\pi/7)[/math], non è un caso: sono le proiezioni reali delle radici primitive che “collaborano” per bilanciare l’equazione.
2. Il mito dei punti equispaziati
È l’errore più diffuso in assoluto: pensare che per approssimare meglio una curva basti aggiungere punti a intervalli regolari. In realtà, nell’interpolazione di alto grado, i punti equispaziati scatenano il Fenomeno di Runge, con oscillazioni incontrollate proprio dove vorresti precisione (agli estremi).
💡 Il segnale: “Uniforme” non significa “ottimale”. In analisi numerica, la precisione si ottiene addensando i campionamenti dove il polinomio è più instabile.
3. Sottovalutare la Formula di Ricorrenza
Vedere la formula [math]T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) – T_{n-1}(x)[/math] come un semplice esercizio di algebra è un errore di prospettiva. Questa ricorrenza è ciò che permette ai computer di calcolare polinomi di grado 100 o 1000 senza dover gestire espressioni trigonometriche mostruose.
💡 Il segnale: Se stai manipolando [math]\cos(n\theta)[/math], non cercare di espanderlo ogni volta da zero. La ricorrenza è l’algoritmo più veloce e stabile che hai a disposizione.
4. Trattare [math]\cos(n\theta)[/math] come indipendente da [math]\cos\theta[/math]
Molti studenti trattano queste due espressioni come variabili slegate. È un errore concettuale: i polinomi di Čebyšëv dimostrano che [math]\cos(n\theta)[/math] è a tutti gli effetti un polinomio della variabile [math]x = \cos\theta[/math].
💡 Il segnale: C’è un legame strutturale profondo. Ogni volta che vedi un multiplo dell’angolo, come [math]\cos(3\theta)[/math], devi visualizzare istantaneamente la sua “armatura” algebrica: [math]4\cos^3\theta – 3\cos\theta[/math].
Tabella dei Polinomi di Čebyšëv (Grado 0-4)
I polinomi sono definiti dalla relazione [math]T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)[/math]. Ponendo [math]x = \cos \theta[/math], otteniamo le seguenti espressioni:
| Grado ([math]n[/math]) | Forma Trigonometrica | Forma Algebrica ([math]T_n(x)[/math]) |
|---|---|---|
| [math]n = 0[/math] | [math]\cos(0)[/math] | [math]1[/math] |
| [math]n = 1[/math] | [math]\cos(\theta)[/math] | [math]x[/math] |
| [math]n = 2[/math] | [math]\cos(2\theta)[/math] | [math]2x^2 – 1[/math] |
| [math]n = 3[/math] | [math]\cos(3\theta)[/math] | [math]4x^3 – 3x[/math] |
| [math]n = 4[/math] | [math]\cos(4\theta)[/math] | [math]8x^4 – 8x^2 + 1[/math] |
Proprietà Rapida: La Ricorrenza in Azione
Puoi verificare tu stesso che ogni riga è generata dalla formula:
[math]\displaystyle \begin{aligned} T_n(x) &= 2x T_{n-1}(x) – T_{n-2}(x) \ &{} \quad \text{Ad esempio, per } T_2(x) \text{ otteniamo:} \ T_2(x) &= 2x(x) – 1 = 2x^2 – 1 \ \end{aligned}[/math]
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