Formule di Bisezione: Quiz, Esercizi Svolti e il Trucco del Metodo Grafico

Q6. (Medio-Difficile)

Semplificare la seguente espressione: [math][\text{sen}(\frac{\alpha}{2}) + \cos(\frac{\alpha}{2})]^2 – \text{sen}(\alpha)[/math].

• □ A. 1
• □ B. [math]\cos(\alpha)[/math]
• □ C. 2
• □ D. 0

💡 Osservazione: Sviluppa il quadrato. Ricordi le formule di duplicazione? Il termine [math]2 \text{sen}(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})[/math] dovrebbe ricordarti qualcosa…

Domanda di riflessione: Quali identità fondamentali hai combinato per risolvere l’esercizio?

Q7. (Difficile)

Testo: In un triangolo rettangolo, un cateto è [math]b = 15[/math] e l’angolo acuto opposto è [math]\beta[/math]. Sapendo che [math]\tan(\beta) = \frac{3}{2}[/math], quanto vale l’ipotenusa [math]a[/math]?

• □ A. [math]3\sqrt{13}[/math]
• □ B. [math]5\sqrt{13}[/math]
• □ C. [math]13\sqrt{3}[/math]
• □ D. [math]\sqrt{13}[/math]

💡 Osservazione: Dai dati, puoi ricavare [math]\text{sen}(\beta)[/math] e [math]\cos(\beta)[/math] usando le formule parametriche, che derivano direttamente dalle formule di bisezione. Ricorda che in un triangolo rettangolo i cateti sono legati agli angoli.

Domanda di riflessione: Come hai fatto a risalire dal valore di [math]\tan(\frac{\beta}{2})[/math] ai valori di [math]\text{sen}(\beta)[/math] e [math]\cos(\beta)[/math] senza calcolare l’angolo [math]\beta[/math]?

Q8. (Difficile)

Sia [math]x[/math] un angolo tale che [math]\tan(\frac{x}{2}) = t[/math]. Quale delle seguenti esprime correttamente [math]\cos(x)[/math] in funzione di [math]t[/math]?

• □ A. [math]\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]
• □ B. [math]\cos(x) = \frac{2t}{1+t^2}[/math]
• □ C. [math]\cos(x) = \frac{t^2-1}{1+t^2}[/math]
• □ D. [math]\cos(x) = \frac{1+t^2}{1-t^2}[/math]

💡 Osservazione: Questa è una domanda sulle famose formule parametriche. Sono essenziali per risolvere molte equazioni e integrali. Ricordi che anche [math]\text{sen}(x)[/math] si esprime come [math]\frac{2t}{1+t^2}[/math]?

Domanda di riflessione: Per quale valore di [math]t[/math] l’espressione di [math]\cos(x)[/math] non è definita? Cosa succede a [math]x[/math] in quel caso?

Q9. (Difficile)

Verificare l’identità: [math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\text{sen}(\alpha) + \text{sen}(2\alpha)}{1 + \cos(\alpha) + \cos(2\alpha)} = \tan(\alpha) \end{aligned}[/math]

Quale strategia risolutiva è più efficace?

• □ A. Applicare le formule di bisezione a [math]\alpha[/math].
• □ B. Applicare le formule di duplicazione e prostaferesi per riscrivere numeratore e denominatore in funzione di [math]\alpha[/math].
• □ C. Sostituire [math]\alpha[/math] con un angolo notevole come 30° per verificare numericamente.
• □ D. Esprimere tutto in funzione di [math]\tan(\frac{\alpha}{2})[/math].

💡 Osservazione: “Verificare” non significa provare con un numero. La strategia migliore è cercare di riscrivere tutto in funzione di un unico argomento, che qui sembra essere [math]\alpha[/math]. Le formule di duplicazione sono un ottimo punto di partenza.

Domanda di riflessione: Perché la sostituzione con un valore numerico (es. [math]\alpha = 30^\circ[/math]) non è una verifica sufficiente di un’identità?

Q10. (Molto Difficile)

Testo: Risolvere l’equazione: [math]\sin(x) + \cos(x) = 1[/math].

Suggerimento: può essere utile usare le formule parametriche ponendo [math]t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)[/math]. Quale delle seguenti è una soluzione dell’equazione?

• □ A. [math]x = 0[/math]
• □ B. [math]x = \frac{\pi}{2}[/math]
• □ C. [math]x = \frac{\pi}{4}[/math]
• □ D. [math]x = \frac{\pi}{3}[/math]

💡 Osservazione: Sostituendo [math]\text{sen}(x) = \frac{2t}{1+t^2}[/math], [math]\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/math] e [math]\text{sen}(2x) = 2 \text{sen}(x) \cos(x)[/math], l’equazione si trasforma in un’equazione algebrica in [math]t[/math]. Ricorda di verificare che i valori di [math]x[/math] per cui [math]\tan(\frac{x}{2})[/math] non è definito (cioè [math]x = \pi + 2k\pi[/math]) non siano soluzioni dell’equazione originale.

Domanda di riflessione: Perché la sostituzione [math]t = \tan(\frac{x}{2})[/math] è così potente nella risoluzione di equazioni trigonometriche? Qual è il suo “costo” in termini di casistica?

Soluzioni

Definizione di tangente: In un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo acuto è definita come il rapporto tra il cateto opposto ([math]b[/math]) e il cateto adiacente ([math]c[/math]):

[math]\tan(\beta) = \frac{b}{c}[/math]

Calcolo del cateto adiacente ([math]c[/math]):

Sappiamo che [math]b = 15[/math] e [math]\tan(\beta) = \frac{3}{2}[/math].

Sostituendo i valori:

[math]\frac{3}{2} = \frac{15}{c}[/math]

Moltiplicando a croce:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3 \cdot c &= 15 \cdot 2 \
&{} \implies 3c = 30 \
&{} \implies c = 10
\end{aligned}[/math]

Calcolo dell’ipotenusa ([math]a[/math]): Usiamo il Teorema di Pitagora:

[math]a = \sqrt{b^2 + c^2}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a &= \sqrt{15^2 + 10^2} \
&{} = \sqrt{225 + 100} \
&{} = \sqrt{325}
\end{aligned}[/math]

Semplificazione del radicale:

[math]a = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13}[/math]

Risposta corretta: □ B. [math]5\sqrt{13}[/math]

Risposta alla domanda di riflessione

Domanda: Come hai fatto a risalire dai valori di [math]\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)[/math] (o [math]\tan(\beta)[/math]) ai valori di [math]\text{sen}(\beta)[/math] e [math]\cos(\beta)[/math] senza calcolare l’angolo [math]\beta[/math]?

Risposta:

Per risalire alle funzioni trigonometriche senza calcolare l’angolo (ovvero senza usare l’arcotangente), utilizziamo le formule razionali (o parametriche). Queste formule permettono di esprimere [math]\text{sen}(\beta)[/math] e [math]\cos(\beta)[/math] come funzioni algebriche della tangente dell’angolo (o della sua metà).

Se conosciamo [math]\tan(\beta) = k[/math]:

Possiamo costruire un triangolo rettangolo “di riferimento” in cui il cateto opposto è [math]k[/math] e quello adiacente è [math]1[/math]. L’ipotenusa di questo triangolo sarà [math]\sqrt{k^2 + 1^2}[/math]. A questo punto, per definizione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{sen}(\beta) &= \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} \
&{} = \frac{k}{\sqrt{k^2+1}}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos(\beta) &= \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} \
&{} = \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}
\end{aligned}[/math]

Se conosciamo [math]\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = t[/math]:

Usiamo direttamente le formule parametriche:

• [math]\text{sen}(\beta) = \frac{2t}{1+t^2}[/math]
• [math]\cos(\beta) = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

Questi strumenti sono “potenti” perché trasformano un problema di natura trascendente (dove l’incognita è un angolo dentro una funzione trigonometrica) in un problema puramente algebrico (dove l’incognita è un numero reale [math]t[/math]), permettendo di manipolare i valori senza mai dover passare per il calcolo dell’ampiezza dell’angolo in gradi o radianti.

Q9. (Difficile)

Risposta corretta: B

Svolgimento:

Applicando le formule di duplicazione al numeratore e denominatore:

Numeratore:

[math]\sin(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(\alpha)(1 + 2\cos(\alpha))[/math]

Denominatore:

[math]1 + \cos(\alpha) + (2\cos^2(\alpha) – 1) = \cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) = \cos(\alpha)(1 + 2\cos(\alpha))[/math]

Semplificando il blocco [math](1 + 2\cos(\alpha))[/math], rimane [math]\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}[/math], che è esattamente [math]\tan(\alpha)[/math].

Domanda di riflessione: Perché la sostituzione con un valore numerico non è sufficiente?

Risposta: Un’identità trigonometrica afferma che due espressioni sono equivalenti per tutti i valori possibili del loro dominio. Sostituire 30° prova solo che l’equazione è vera per 30°, ma potrebbe benissimo fallire per 45° o 60°. Solo una manipolazione algebrica generale dimostra la verità universale dell’uguaglianza.

Q10. (Molto Difficile)

Risposta corretta: B