Quando stappi una birra artigianale, guidi un’auto elettrica o leggi di un nuovo lancio spaziale, probabilmente pensi al prodotto. Ma dietro le quinte si gioca una partita a scacchi invisibile. Le aziende leader non decidono “quanto produrre” nel vuoto: osservano i rivali, anticipano le loro mosse e scelgono la strategia migliore per massimizzare i profitti.
Questo gioco strategico ha un nome: oligopolio. E uno dei modelli più potenti per decifrarlo è il Duopolio di Cournot. Non è solo teoria accademica; è uno strumento pratico per sbirciare nella mente di un CEO o di uno stratega di mercato.
In questa guida, mettiamo le mani in pasta. Attraverso 6 esercizi progressivi, basati su scenari realistici e dati aggiornati al 2025, vedremo come si calcola l’equilibrio di mercato, come i costi influenzano il potere di un’azienda e come le decisioni di investimento vengono prese in condizioni di incertezza.
Partiamo.
Esercizio 1 – Primi passi
Contesto reale
Nel 2025 la “Birra del Borgo” (azienda umbra) e il birrificio “Baladin” (Piemonte) controllano insieme il 90 % del mercato nazionale delle birre artigianali in lattina (segmento premium). Il prezzo di mercato € P dipende dalla quantità complessiva immessa [math]Q = q_1 + q_2[/math] secondo la relazione
[math]P(Q) = 6 – 0{,}02\,Q[/math]
(dove Q è in migliaia di lattine/anno e P in €/lattina).
Entrambi hanno un costo marginale costante pari a 1 € per lattina.
Obiettivo
Calcola la quantità di Cournot e il profitto di ciascuna impresa.
Risoluzione guidata
- Ricorda il modello
In Cournot ogni impresa sceglie [math]q_i[/math] dato fissato la quantità dell’altra.
Profitto [math]\pi_i = \text{Ricavo} – \text{Costo} = P(Q)\cdot q_i – C_i(q_i)[/math]. - Scrivi il ricavo di Birra del Borgo (impresa 1)
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
R_1 &= P(q_1+q_2)\cdot q_1 \\
&= (6 – 0{,}02\,(q_1+q_2))\,q_1 \\
&= 6q_1 – 0{,}02\,q_1^{2} – 0{,}02\,q_1 q_2
\end{aligned}
[/math] - Costo di impresa 1
[math]C_1 = 1\cdot q_1 \Rightarrow \pi_1 = 6q_1 – 0{,}02\,q_1^{2} – 0{,}02\,q_1 q_2 – 1q_1[/math] - Massimizza [math]\pi_1[/math] rispetto a [math]q_1[/math] ([math]q_2[/math] fissato)
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{\partial\pi_1}{\partial q_1} &= 5 – 0{,}04\,q_1 – 0{,}02\,q_2 = 0 \\
\Rightarrow q_1 &= 125 – 0{,}5\,q_2 \quad \text{(funzione di reazione di 1)}
\end{aligned}
[/math] - Per simmetria [math]q_2 = 125 – 0{,}5\,q_1[/math].
- Sistema di Cournot
Sostituisci nella prima:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
q_1 &= 125 – 0{,}5\,(125 – 0{,}5\,q_1) \\
&= 125 – 62{,}5 + 0{,}25\,q_1 \\
0{,}75\,q_1 &= 62{,}5 \Rightarrow q_1^* = 83{,}33 \;(\text{migliaia di lattine})
\end{aligned}
[/math] - Quantità totale e prezzo
[math]Q^* = 166{,}66;\quad P^* = 6 – 0{,}02\cdot 166{,}66 \approx 2{,}67\;\text{€/lattina}[/math] - Profitto
[math]\pi^* = (P^* – 1)\,q^* = 1{,}67\cdot 83{,}33 \approx 139\,200\;\text{€ ciascuna}[/math]
Il prezzo di Cournot (2,67 €) è inferiore al monopolio (dove [math]Q = 125,\; P = 3{,}5\;\text{€}[/math]) ma superiore alla concorrenza perfetta ([math]P = \text{costo marginale} = 1\;\text{€}[/math]).
Mini-quiz
Cosa succederebbe al prezzo se un’impresa riuscisse a credibilmente impegnarsi a produrre il doppio ([math]q_1 = 166{,}66[/math]) prima che l’altra scelga?
Esercizio 2 – Costi diversi
Contesto reale
Nel mercato europeo delle batterie agli ioni di litio per auto elettriche (2025) due leader, Northvolt (Svezia) e Tesla–Berlin, hanno costi marginali diversi a causa di fonti energetiche e scala.
Funzione di domanda: [math]P = 120 – 0{,}5\,Q[/math] (€/kWh, Q in MWh/mese).
Costi: [math]c_1 = 40\;\text{€/kWh},\; c_2 = 60\;\text{€/kWh}[/math].
Obiettivo
Trova le quantità di Cournot, il prezzo di mercato e il profitto di entrambi.
Risoluzione
- [math]\pi_1 = (120 – 0{,}5\,(q_1+q_2))\,q_1 – 40q_1[/math]
[math]\displaystyle \frac{\partial\pi_1}{\partial q_1} = 120 – q_1 – 0{,}5\,q_2 – 40 = 0 \Rightarrow q_1 = 80 – 0{,}5\,q_2[/math] - [math]\pi_2 = (120 – 0{,}5\,(q_1+q_2))\,q_2 – 60q_2[/math]
[math]\displaystyle \frac{\partial\pi_2}{\partial q_2} = 120 – 0{,}5\,q_1 – q_2 – 60 = 0 \Rightarrow q_2 = 60 – 0{,}5\,q_1[/math] - Sostituisci:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
q_1 &= 80 – 0{,}5\,(60 – 0{,}5\,q_1) \\
&= 80 – 30 + 0{,}25\,q_1 \\
0{,}75\,q_1 &= 50 \Rightarrow q_1^* = 66{,}67\;\text{MWh/mese}\\
q_2^* &= 60 – 0{,}5\cdot 66{,}67 = 26{,}67\;\text{MWh/mese}
\end{aligned}
[/math] - [math]Q^* = 93{,}34;\quad P^* = 120 – 0{,}5\cdot 93{,}34 \approx 73{,}33\;\text{€/kWh}[/math]
- Profitti
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\pi_1 &= (73{,}33 – 40)\cdot 66{,}67 \approx 2\,222\;\text{k€/mese}\\
\pi_2 &= (73{,}33 – 60)\cdot 26{,}67 \approx 355\;\text{k€/mese}
\end{aligned}
[/math]
L’impresa con costo più basso produce 2,5 volte di più e guadagna 6 volte di più: il vantaggio di costo si amplifica nel Cournot.
Mini-quiz
Quale proprietà del duopolio di Cournot abbiamo usato per derivare le funzioni di reazione?
Esercizio 3 – Tasse ambientali
Contesto reale
Per ridurre l’inquinamento da zuccheri, dal 1-1-2026 il governo introdurrà una tassa di 0,20 €/lattina sulle bibite gassate.
Il duopolio Coca-Cola Italia vs PepsiCo Italia domanda la parte restante del mercato.
Dati: [math]P = 4 – 0{,}01\,Q;\; c = 1\;\text{€};\; t = 0{,}20\;\text{€}[/math] (a carico delle imprese).
Obiettivo
Calcola la variazione di quantità, prezzo e profitto rispetto alla situazione senza tassa.
Risoluzione
(Senza tassa, per simmetria [math]q^* = 100,\; P = 2\;\text{€},\; \pi = 100\;\text{k€}[/math] ciascuno – verifica per esercizio!)
Con tassa il costo marginale effettivo diventa [math]1 + 0{,}2 = 1{,}2\;\text{€}[/math].
Rifacciamo i passi 1-5 (uguale all’es. 1 con [math]c = 1{,}2[/math]).
Si ottiene:
[math]q^* = 93{,}33;\quad P^* = 2{,}13;\quad \pi^* = (2{,}13 – 1{,}2)\cdot 93{,}33 \approx 86{,}7\;\text{k€}[/math]
Variazione: –6,7 % quantità, +6,5 % prezzo, –13 % profitto.
Le imprese trasferiscono solo in parte la tassa al consumatore (da 2 a 2,13 €) perché la competizione alla Cournot limita il markup.
Mini-quiz
Se la tassa fosse per unità di emissione e non di prodotto, quale informazione aggiuntiva servirebbe per rifare il conto?
Esercizio 4 – n > 2: il caso “Trio”
Contesto reale
Nel 2025 tre aziende (SpaceX, Blue Origin, Arianespace) controllano il 95 % dei lanci commerciali in Low-Earth Orbit.
Domanda inversa: [math]P = 180 – 2\,Q[/math] (Q in lanci/anno, P in milioni €/lancio).
Costi marginali: [math]60\;\text{Mio €}[/math] tutti uguali.
Obiettivo
Trova la quantità di ciascuna impresa e il profitto. Confronta con il duopolio “SpaceX + Blue” se Arianespace uscisse dal mercato.
Risoluzione
- Per [math]n[/math] imprese simmetriche la formula di Cournot generale è
[math]q^* = \frac{a – c}{(n + 1)\,b}[/math] - [math]q^* = \frac{180 – 60}{4\cdot 2} = 15\;\text{lanci/anno ciascuna}[/math]
[math]Q^* = 45;\quad P^* = 180 – 2\cdot 45 = 90\;\text{Mio €}[/math]
[math]\pi^* = (90 – 60)\cdot 15 = 450\;\text{Mio €/anno}[/math] - Se [math]n = 2[/math]:
[math]q^* = \frac{120}{3\cdot 2} = 20\;\text{lanci ciascuna},\; Q = 40,\; P = 100\;\text{Mio €},\; \pi^* = 800\;\text{Mio €}[/math]
Più concorrenti ⇒ maggiore output totale ma minore profitto individuale. I consumatori (operatori satellitari) beneficiano della “faida” dei tre.
Mini-quiz
Dimostra che al crescere di [math]n[/math] il prezzo di Cournot tende al costo marginale (concorrenza perfetta).
Esercizio 5 – Capacità vincolata (fixed capacity)
Contesto reale
Nel mercato italiano dei semiconduttori auto (2025) STMicroelectronics ha una capacità produttiva massima di 20 000 chip/mese a causa di forniture limitate di wafers.
Infineon Italia può produrre fino a 60 000 chip/mese.
Domanda: [math]P = 120 – 0{,}002\,Q[/math] (€/chip, Q in migliaia/mese).
Costi: [math]c = 20\;\text{€/chip}[/math] entrambi.
Obiettivo
Verifica se la capacità è vincolante e calcola l’equilibrio effettivo.
Risoluzione guidata
- Cournot senza vincoli
Domanda inversa: [math]P = 120 – 0{,}002\,Q[/math]
Profitto impresa 1:
[math]\pi_1 = (120 – 0{,}002(q_1+q_2) – 20)\,q_1[/math]
[math]\pi_1 = 100q_1 – 0{,}002q_1^{2} – 0{,}002q_1q_2[/math]
Derivata:
[math]\frac{\partial\pi_1}{\partial q_1}=100-0{,}004q_1-0{,}002q_2=0[/math]
[math]\Rightarrow q_1 = 25\,000 – 0{,}5q_2 \quad \text{(funzione di reazione R₁)}[/math]
Per simmetria:
[math]q_2 = 25\,000 – 0{,}5q_1 \quad \text{(R₂)}[/math] - Equilibrio di Cournot puro
Sostituisci R₂ in R₁:
[math]\begin{aligned}
q_1 &= 25\,000 – 0{,}5(25\,000 – 0{,}5q_1) \\
&= 25\,000 – 12\,500 + 0{,}25q_1 \\
0{,}75q_1 &= 12\,500 \\
q_1^* &= 16\,667\;\text{(migliaia di chip al mese)}
\end{aligned}[/math]
Per simmetria [math]q_2^* = 16\,667[/math].
Quantità totale [math]Q^* = 33\,334[/math]; prezzo
[math]P^* = 120 – 0{,}002\cdot 33\,334 \approx 53{,}3\;\text{€/chip}[/math] - Verifica vincolo di capacità
STMicroelectronics ha capienza 20 000 chip/mese → il valore di equilibrio [math]16\,667[/math] è inferiore al limite: il vincolo non è vincolante nella situazione base.
Infineon (limite 60 000) è ovviamente non vincolata. - Esercizio di sensitività – domanda più alta
Supponiamo la domanda diventi [math]P = 180 – 0{,}002Q[/math] (maggiore interesse per elettronica auto).
Ricalcoliamo Cournot:
[math]\pi_1 = (180 – 0{,}002(q_1+q_2)-20)\,q_1[/math]
[math]\frac{\partial\pi_1}{\partial q_1}=160-0{,}004q_1-0{,}002q_2=0[/math]
[math]\Rightarrow q_1 = 40\,000 – 0{,}5q_2 \quad \text{(nuova R₁)}[/math]
Simmetricamente:
[math]q_2 = 40\,000 – 0{,}5q_1[/math]
[math]\begin{aligned}
q_1 &= 40\,000 – 0{,}5(40\,000 – 0{,}5q_1) \\
&= 40\,000 – 20\,000 + 0{,}25q_1 \\
0{,}75q_1 &= 20\,000 \\
q_1^* &= 26\,667 < 40\,000 \quad \text{(ancora non vincolato)}
\end{aligned}[/math]
Nota: 26 667 è la quantità corretta di equilibrio, NON 40 000 (l’intercetta).
Se, però, la capacità STM fosse stata 25 000, il vincolo sarebbe divenuto attivo e l’equilibrio si sarebbe trovato con STM a 25 000 e Infineon che, sulla propria R₂, sceglierebbe
[math]q_2 = 40\,000 – 0{,}5\cdot 25\,000 = 27\,500[/math]
Quando un vincolo di capacità è attivo, l’impresa “vincolata” produce al massimo e l’altra si comporta da leader di Stackelberg nei confronti della quantità residuale.
Mini-quiz
Se STM potesse espandere capacità pagando un fixed cost di [math]0{,}5\;\text{Mio €/mese}[/math], conviene farlo quando la domanda è “alta” ([math]P = 180 – 0{,}002Q[/math])?
Esercizio 6 – Introduzione alla DINAMICA (tutto o niente)
Contesto reale
Nel 2025 Samsung e LG Display valutano l’investimento in un nuovo stabilimento di OLED flessibili per smartphone pieghevoli.
La domanda è incerta: con probabilità 0,5 sarà “Alta” ([math]P = 200 – Q[/math]) oppure “Bassa” ([math]P = 100 – Q[/math]) (Q in milioni di pannelli/anno, P in €/pannello).
Il costo marginale dopo l’investimento è [math]40\;\text{€}[/math]; l’investimento stesso costa [math]2\;\text{Mld €}[/math] (una tantum). Le imprese scelgono contemporaneamente la capacità (e quindi la quantità massima) prima di conoscere lo stato di domanda.
Obiettivo
Determina se per ciascuna impresa conviene entrare (e quanto produrre) calcolando il profitto atteso di Cournot in entrambi gli stati del mondo.
Risoluzione
- Caso “Domanda Alta”
[math]a = 200,\; b = 1,\; c = 40[/math]
[math]q^* = \frac{200 – 40}{3} = 53{,}3\;\text{milioni ciascuna},\; P = 93{,}3\;\text{€}[/math] - Caso “Domanda Bassa”
[math]a = 100 \Rightarrow q^* = 20\;\text{milioni},\; P = 60\;\text{€}[/math]
[math]\pi = (60 – 40)\cdot 20 = 400\;\text{Mln €}[/math] - Profitto atteso
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\mathbb{E}[\pi] &= 0{,}5\cdot[(53{,}3\cdot 53{,}3) – 2\,000] + 0{,}5\cdot[20\cdot 20 – 2\,000] \\
&= 0{,}5\cdot(2\,840 – 2\,000) + 0{,}5\cdot(400 – 2\,000) \\
&= 420 – 800 = -380\;\text{Mln €}
\end{aligned}
[/math]
Con questi numeri l’investimento non è conveniente in attesa. Le aziende potrebbero:
– ridurre il costo fisso (sub-forniture, incentivi statali),
– attuare un accordo per condivisione del rischio (joint-venture),
– aspettare informazioni migliori (opzione reale).
Mini-quiz
Se la probabilità di domanda Alta salisse al 70 %, qual è il minimo costo fisso che rende l’investimento a pareggio?
Riepilogo grafico (concetti chiave)
| Concetto | Formula ricordabile |
|---|---|
| Quantità simmetrica Cournot | [math]q^* = \dfrac{a – c}{(n + 1)\,b}[/math] |
| Prezzo | [math]P^* = a – b\,n\,q^*[/math] |
| Profitto | [math]\pi^* = (P^* – c)\,q^*[/math] |
Il duopolio di Cournot è un punto di partenza per capire oligopoli reali: basta inserire dati di mercato aggiornati e costi propri per avere previsioni di prezzo e profitto.
Risposte approfondite ai Mini-Quiz
Esercizio 1 – Aggiornamento della risposta al mini-quiz
Domanda originale: Cosa succederebbe al prezzo se un’impresa riuscisse a credibilmente impegnarsi a produrre il doppio (q₁ = 166,66) prima che l’altra scelga?
▶ Risposta dettagliata
- Con q₁ = 166,66 la funzione di reazione di impresa 2 fornisce
[math]q_2 = 125 – 0{,}5\cdot 166{,}66 \approx 41{,}67[/math]. - Quantità totale Q ≈ 208,33 → P ≈ 6 – 0,02·208,33 ≈ 1,83 €.
- Il prezzo rimane superiore al costo marginale (1 €); pertanto entrambe le imprese realizzano un profitto positivo:
- Impresa 1: π₁ = (1,83 – 1)·166,66 ≈ 138 300 €
- Impresa 2: π₂ = (1,83 – 1)·41,67 ≈ 34 600 €
- Confronto con l’equilibrio di Cournot
Nell’equilibrio standard ciascuna impresa avrebbe ottenuto ≈ 139 200 €. L’impresa “aggressiva” guadagna quindi leggermente meno e l’altra molto di meno. - Lezione strategica
Un impegno a sovra-produrre in modo così aggressivo è non credibile o irrazionale perché l’impresa 1 stessa peggiora il proprio risultato rispetto all’equilibrio di Cournot. Un concorrente razionale non si aspetterebbe una mossa che danneggia chi la compie, a meno che non esista un meccanismo di impegno credibile (es. contratti, capacità pre-installata, reputazione).
Esercizio 2 – Quale proprietà del duopolio di Cournot abbiamo usato?
▶ Risposta dettagliata
- La proprietà di best-reply (miglior risposta): ogni impresa massimizza il proprio profitto dato fissato la quantità dell’altra.
- Questo genera le funzioni di reazione lineari; il punto di intersezione è l’unico profilo di quantità in cui entrambe le “previsioni” sono reciprocamente consistenti → equilibrio di Nash in quantità.
- Il procedimento è identico alla risoluzione grafica con le “curve di reazione” (spesso chiamate anche “curve di best-reply”).
Esercizio 3 – Se la tassa fosse per unità di emissione?
Domanda: Quale informazione aggiuntiva servirebbe?
▶ Risposta dettagliata
- Servirebbe il coefficiente “emissioni per unità di output” (es. kg-CO₂/lattina), chiamiamolo e.
- Il costo marginale effettivo diventerebbe
[math]c + t\cdot e[/math]
dove t è la tassa per kg di CO₂.
- Se e differisce tra le imprese (es. una usa energia verde, l’altra no) il vantaggio di costo si sposta ulteriormente → si altera l’intercetta delle funzioni di reazione.
- In sintesi: serve la matrice dei fattori di emissione per trasformare la tassa ambientale in un costo marginale proporzionale all’output.
Esercizio 4 – Dimostra che P → c quando n → ∞
▶ Risposta dettagliata
- Formula generale per n imprese simmetriche:
[math]\displaystyle q^* = \frac{a – c}{(n + 1)\,b}[/math] - Quantità totale:
[math]\displaystyle Q^* = n\,q^* = \frac{n}{n + 1}\cdot\frac{a – c}{b}[/math] - Prezzo di mercato:
[math]\displaystyle P^* = a – b\,Q^* = a – b\cdot\frac{n}{n + 1}\cdot\frac{a – c}{b} = a – \frac{n}{n + 1}(a – c)[/math] - Calcola il limite:
[math]\displaystyle \lim_{n\to\infty} P^* = a – (a – c) = c[/math] - Interpretazione: al crescere del numero di concorrenti, ognuno diventa “piccolo” rispetto al mercato e non riesce più a influenzare il prezzo → situazione di concorrenza perfetta.
Esercizio 5 – Conviene espandere capacità a 0,5 Mio €/mese?
▶ Risposta dettagliata
Dati aggiornati: domanda “alta” [math]P = 180 – 0{,}002Q[/math], capacità STM attuale 20 000, costo di espansione 0,5 Mio €/mese.
- Senza vincolo STM produrrebbe 26 667 (→ limite 20 000 è vincolante).
- Con vincolo (STM a 20 000) Infineon sceglie
[math]q_2 = 40\,000 – 0{,}5\cdot 20\,000 = 30\,000[/math]
Q = 50 000 → P = 180 – 0,002·50 000 = 80 €
- Profitto mensile STM:
[math](80 – 20)\cdot 20\,000 = 1{,}2\;\text{Mio €}[/math] - Se STM espande (costo fisso 0,5 Mio/mese) può produrre 26 667:
Q = 53 334 → P ≈ 73,3 €
Profitto lordo = (73,3 – 20)·26 667 ≈ 1,42 Mio €
Profitto netto = 1,42 – 0,5 = 0,92 Mio € < 1,2 Mio €
- Conclusione: non conviene espandere con questi numeri; restare al limite garantisce un profitto netto mensile superiore.
- Sensibilità: l’espansione diventa conveniente solo se il costo fisso scende sotto ≈ 0,22 Mio €/mese oppure se la domanda è ancora più alta (a > 180).
Esercizio 6 – Minimo costo fisso a pareggio con probabilità 70 % alta
▶ Risposta dettagliata
- Probabilità Alta = 0,7 → Bassa = 0,3
- Profitto lordo atteso:[math]\mathbb{E}[\pi_{\text{lordo}}] = 0{,}7\cdot 2\,840 + 0{,}3\cdot 400 = 1\,988 + 120 = 2\,108\;\text{Mln €}[/math]
- Pareggio se:[math]2\,108 – F = 0 \Rightarrow F = 2\,108\;\text{Mln €}[/math]
- Quindi il costo fisso massimo che mantiene l’indifferenza è 2,108 miliardi di € (una tantum).
Se il costo reale di impianto è < 2,108 Mld, l’investimento ha NPV ≥ 0.
Approfondimenti: Duopolio di Cournot
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