Integrali con 1 ± cos x: formule, sostituzioni ed esercizi svolti

Un esempio significativo è l’integrale

[math]\displaystyle \int\frac{dx}{1+\cos x}[/math]

A prima vista, il denominatore sembra richiedere manipolazioni trigonometriche elaborate, ma la formula dell’angolo dimezzato permette di ricondurre il calcolo alla derivata della tangente. Il risultato si ottiene con pochi passaggi, a condizione di prestare attenzione al fattore introdotto dalla sostituzione e al dominio nel quale la primitiva è definita.

Partendo da questo integrale, esamineremo anche il caso con [math]1-\cos x[/math], le potenze del denominatore, una sostituzione diretta e un esempio che richiede la sostituzione di Weierstrass. Ogni soluzione sarà accompagnata da una verifica mediante derivazione, perché controllare il risultato è parte integrante del procedimento e permette di individuare eventuali errori di segno, coefficienti mancanti o condizioni di validità trascurate.

L’integrale fondamentale con 1 + cos x

Calcoliamo l’integrale indefinito

[math]\displaystyle I=\int\frac{dx}{1+\cos x}[/math]

L’obiettivo è trasformare il denominatore in un’espressione della quale conosciamo facilmente una primitiva, evitando di affrontare direttamente la frazione trigonometrica.

Riscrivere il denominatore con l’angolo dimezzato

La prima identità da riconoscere è

[math]\displaystyle 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}[/math]

Sostituendo questa espressione nell’integrale otteniamo

[math]\displaystyle I=\int\frac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}}[/math]

Poiché la secante è definita come il reciproco del coseno, possiamo scrivere

[math]\displaystyle I=\frac12\int\sec^2\frac{x}{2}\,dx[/math]

Questa trasformazione rende visibile una funzione fondamentale del calcolo integrale, perché la derivata della tangente è proprio il quadrato della secante:

[math]\displaystyle \frac{d}{dt}\tan t=\sec^2t[/math]

Rimane da gestire l’argomento [math]x/2[/math], che richiede una sostituzione per applicare correttamente la formula.

Effettuare la sostituzione

Poniamo

[math]\displaystyle t=\frac{x}{2}[/math]

Derivando rispetto a [math]x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle dt=\frac12\,dx[/math]

da cui segue

[math]\displaystyle dx=2\,dt[/math]

Il fattore [math]2[/math] è essenziale: dimenticarlo o invertirlo altera il risultato finale. Sostituendo nell’integrale,

[math]\displaystyle I=\frac12\int\sec^2t\cdot2\,dt[/math]

i due coefficienti si semplificano e rimane

[math]\displaystyle I=\int\sec^2t\,dt[/math]

Possiamo quindi applicare direttamente la formula della primitiva della secante quadrata:

[math]\displaystyle I=\tan t+C[/math]

Tornare alla variabile iniziale

Poiché [math]t=x/2[/math], sostituendo nuovamente la variabile ausiliaria otteniamo

[math]\displaystyle I=\tan\frac{x}{2}+C[/math]

Questa è una primitiva dell’integranda su ciascun intervallo che non contenga punti nei quali [math]1+\cos x=0[/math], cioè i punti

[math]\displaystyle x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z[/math]

L’indicazione del dominio non è un dettaglio formale, perché una primitiva deve essere definita e derivabile nell’intervallo considerato e non può attraversare una singolarità dell’integranda.

Verificare la primitiva mediante derivazione

Per controllare il risultato, deriviamo la funzione ottenuta:

[math]\displaystyle F(x)=\tan\frac{x}{2}+C[/math]

Applicando la regola di derivazione della funzione composta,

[math]\displaystyle F'(x)=\frac12\sec^2\frac{x}{2}[/math]

e ricordando che

[math]\displaystyle \sec^2\frac{x}{2}=\frac{1}{\cos^2(x/2)}[/math]

ricaviamo

[math]\displaystyle F'(x)=\frac{1}{2\cos^2(x/2)}[/math]

L’identità dell’angolo dimezzato consente infine di riscrivere il denominatore come [math]1+\cos x[/math], per cui

[math]\displaystyle F'(x)=\frac{1}{1+\cos x}[/math]

La derivata coincide con l’integranda iniziale, quindi la primitiva è corretta.

Esercizio 1 — L’integrale con 1 − cos x

Calcolare

[math]\displaystyle I=\int\frac{dx}{1-\cos x}[/math]

Soluzione

Quando compare [math]1-\cos x[/math], l’identità più conveniente è

[math]\displaystyle 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/math]

L’integrale diventa

[math]\displaystyle I=\frac12\int\csc^2\frac{x}{2}\,dx[/math]

dove [math]\csc t=1/\sin t[/math] indica la cosecante. Come nell’esercizio precedente, poniamo [math]t=x/2[/math], da cui [math]dx=2\,dt[/math], e otteniamo

[math]\displaystyle I=\frac12\int\csc^2t\cdot2\,dt=\int\csc^2t\,dt[/math]

La differenza rispetto al caso precedente riguarda la funzione trigonometrica coinvolta e, soprattutto, il segno della sua primitiva, poiché

[math]\displaystyle \frac{d}{dt}\cot t=-\csc^2t[/math]

Di conseguenza,

[math]\displaystyle I=-\cot t+C[/math]

e, tornando alla variabile iniziale,

[math]\displaystyle I=-\cot\frac{x}{2}+C[/math]

Il risultato può essere verificato derivando la funzione composta:

[math]\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-\cot\frac{x}{2}\right)=\frac12\csc^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1-\cos x}[/math]

La primitiva è quindi corretta su ogni intervallo che non contenga punti [math]x=2k\pi[/math], nei quali il denominatore si annulla.

Commento

Il confronto con l’integrale precedente mette in evidenza una regola utile: [math]1+\cos x[/math] si riscrive attraverso il quadrato del coseno dell’angolo dimezzato, mentre [math]1-\cos x[/math] richiede il quadrato del seno. Il procedimento è quasi identico nei due casi, ma la funzione trigonometrica risultante determina quale primitiva utilizzare e quale segno conservare.

Esercizio 2 — Il quadrato del denominatore

Calcolare

[math]\displaystyle I=\int\frac{dx}{(1+\cos x)^2}[/math]

Soluzione

L’identità dell’angolo dimezzato rimane il punto di partenza:

[math]\displaystyle 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}[/math]

Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo

[math]\displaystyle (1+\cos x)^2=4\cos^4\frac{x}{2}[/math]

e quindi

[math]\displaystyle I=\frac14\int\sec^4\frac{x}{2}\,dx[/math]

Con la sostituzione [math]t=x/2[/math], per la quale [math]dx=2\,dt[/math], l’integrale si trasforma in

[math]\displaystyle I=\frac12\int\sec^4t\,dt[/math]

A questo punto una sostituzione diretta del tipo [math]u=\sec t[/math] non sarebbe la scelta più semplice, perché la derivata della secante contiene anche la tangente. Conviene invece separare un fattore [math]\sec^2t[/math] e utilizzare l’identità

[math]\displaystyle \sec^2t=1+\tan^2t[/math]

In questo modo,

[math]\displaystyle I=\frac12\int(1+\tan^2t)\sec^2t\,dt[/math]

La struttura dell’integrale suggerisce la sostituzione

[math]\displaystyle u=\tan t,\qquad du=\sec^2t\,dt[/math]

che permette di eliminare la funzione trigonometrica dall’integrando:

[math]\displaystyle I=\frac12\int(1+u^2)\,du[/math]

Integrando separatamente i due termini,

[math]\displaystyle I=\frac12\left(u+\frac{u^3}{3}\right)+C[/math]

Sostituendo prima [math]u=\tan t[/math] e poi [math]t=x/2[/math], ricaviamo la primitiva

[math]\displaystyle I=\frac12\tan\frac{x}{2}+\frac16\tan^3\frac{x}{2}+C[/math]

Verifica della soluzione

Deriviamo il risultato, applicando la regola della funzione composta a entrambi i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned} F'(x)&=\frac14\sec^2\frac{x}{2}+\frac14\tan^2\frac{x}{2}\sec^2\frac{x}{2}\\ &=\frac14\sec^2\frac{x}{2}\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)\\ &=\frac14\sec^4\frac{x}{2}\\ &=\frac{1}{(1+\cos x)^2}. \end{aligned}[/math]

La derivata restituisce l’integranda di partenza, confermando che i coefficienti sono corretti. Il dominio esclude i punti [math]x=(2k+1)\pi[/math], nei quali il denominatore si annulla.

Commento

Questo esercizio mostra come una sostituzione possa diventare utile solo dopo una prima trasformazione algebrica. L’angolo dimezzato porta a una potenza della secante, mentre l’identità [math]\sec^2t=1+\tan^2t[/math] consente di riconoscere la derivata della tangente e di ricondurre il calcolo a un integrale polinomiale.

Esercizio 3 — Numeratore e denominatore legati dalla stessa funzione

Calcolare

[math]\displaystyle I=\int\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\,dx[/math]

Soluzione

In questo caso non è necessario applicare subito le formule dell’angolo dimezzato, perché il numeratore contiene già, a meno del segno, la derivata della funzione presente al denominatore. La scelta più efficiente consiste quindi nel porre

[math]\displaystyle u=1+\cos x[/math]

Derivando rispetto a [math]x[/math],

[math]\displaystyle du=-\sin x\,dx[/math]

e dunque

[math]\displaystyle \sin x\,dx=-du[/math]

L’integrale si trasforma in

[math]\displaystyle I=-\int\frac{du}{u^2}=-\int u^{-2}\,du[/math]

Applicando la regola di integrazione delle potenze, ricordando che la primitiva di [math]u^{-2}[/math] è [math]-u^{-1}[/math], otteniamo

[math]\displaystyle I=-\left(-u^{-1}\right)+C=\frac1u+C[/math]

Tornando alla variabile iniziale, la soluzione è

[math]\displaystyle I=\frac{1}{1+\cos x}+C[/math]

Verifica della soluzione

La derivata della primitiva è

[math]\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+\cos x}\right)=\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}[/math]

e coincide con l’integranda, perciò il risultato è corretto su ogni intervallo che non contenga punti [math]x=(2k+1)\pi[/math].

Commento

L’esercizio illustra una regola generale che torna utile in numerosi integrali, anche al di fuori della trigonometria: quando il numeratore contiene la derivata della funzione al denominatore, una sostituzione diretta può essere più efficace di una trasformazione trigonometrica completa. In particolare, per [math]n\ne1[/math],

[math]\displaystyle \int\frac{f'(x)}{[f(x)]^n}\,dx=\frac{[f(x)]^{1-n}}{1-n}+C[/math]

purché si lavori in un intervallo nel quale [math]f(x)\ne0[/math]. Nel nostro caso [math]f(x)=1+\cos x[/math], ma la derivata è [math]f'(x)=-\sin x[/math], motivo per cui il segno negativo introdotto dalla sostituzione è essenziale.

Esercizio 4 — Un denominatore del tipo a + b cos x

Calcolare

[math]\displaystyle I=\int\frac{dx}{2+\cos x}[/math]

Quando il denominatore contiene una combinazione come [math]a+b\cos x[/math], le identità dell’angolo dimezzato non sempre conducono alla primitiva più immediata. Una tecnica più generale è la sostituzione di Weierstrass, che trasforma seno e coseno in funzioni razionali di una nuova variabile.

Trasformare l’integrale con la sostituzione di Weierstrass

Poniamo

[math]\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}[/math]

Le formule associate alla sostituzione sono

[math]\displaystyle \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}[/math]

Sostituendo il coseno nel denominatore,

[math]\displaystyle 2+\cos x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

e portando i termini allo stesso denominatore otteniamo

[math]\displaystyle 2+\cos x=\frac{2(1+t^2)+1-t^2}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2}[/math]

L’integrale diventa pertanto

[math]\displaystyle I=\int\frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{\frac{3+t^2}{1+t^2}}[/math]

I fattori [math]1+t^2[/math] si semplificano e il problema si riduce all’integrale razionale

[math]\displaystyle I=2\int\frac{dt}{t^2+3}[/math]

Applicare la formula dell’arcotangente

Per risolvere l’integrale ottenuto utilizziamo la formula standard

[math]\displaystyle \int\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac{t}{a}+C,\qquad a>0[/math]

Poiché [math]3=(\sqrt3)^2[/math], segue che

[math]\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3}+C[/math]

Sostituendo nuovamente [math]t=\tan(x/2)[/math], otteniamo

[math]\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right)+C[/math]

Questa espressione rappresenta una primitiva sugli intervalli

[math]\displaystyle ((2k-1)\pi,(2k+1)\pi),\qquad k\in\mathbb Z[/math]

nei quali la tangente dell’angolo dimezzato è definita. È importante notare che l’integranda originale, invece, è definita su tutta la retta reale, perché [math]2+\cos x\ge1[/math]; le singolarità della tangente introdotta dalla sostituzione sono quindi limiti della rappresentazione scelta e non singolarità dell’integrale di partenza.

Per raccordare le primitive sui diversi intervalli, le costanti devono essere scelte in modo coerente. Se indichiamo con [math]C_k[/math] la costante sull’intervallo [math]((2k-1)\pi,(2k+1)\pi)[/math], la continuità attraverso i punti [math]x=(2k+1)\pi[/math] richiede

[math]\displaystyle C_{k+1}=C_k+\frac{2\pi}{\sqrt3}[/math]

Questa precisazione permette di distinguere il dominio della funzione trigonometrica ausiliaria dal dominio effettivo dell’integranda originale.

Verificare la primitiva

Poniamo

[math]\displaystyle F(x)=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right)[/math]

Derivando con la regola della funzione composta e utilizzando la derivata dell’arcotangente, otteniamo

[math]\displaystyle F'(x)=\frac{\sec^2(x/2)}{3+\tan^2(x/2)}[/math]

Poiché [math]\sec^2t=1+\tan^2t[/math], possiamo scrivere

[math]\displaystyle F'(x)=\frac{1+\tan^2(x/2)}{3+\tan^2(x/2)}[/math]

D’altra parte, riscrivendo [math]2+\cos x[/math] attraverso la stessa sostituzione,

[math]\displaystyle \frac{1}{2+\cos x}=\frac{1+\tan^2(x/2)}{3+\tan^2(x/2)}[/math]

Le due espressioni coincidono, perciò la derivata della funzione ottenuta restituisce l’integranda iniziale.

Commento

La sostituzione di Weierstrass cambia il problema alla radice, perché converte un integrale trigonometrico in un integrale razionale al quale si possono applicare le tecniche di integrazione algebrica. Il vantaggio è una maggiore generalità, mentre il prezzo consiste in passaggi più articolati e in una maggiore attenzione al dominio della variabile ausiliaria e ai rami delle funzioni inverse.

Riepilogo delle formule e delle tecniche

Le primitive ottenute negli esercizi possono essere raccolte in una tabella che aiuta a confrontare la struttura dell’integrando con la tecnica più conveniente.

Integrale	Primitiva
[math]\displaystyle \int\frac{dx}{1+\cos x}[/math]	[math]\displaystyle \tan\frac{x}{2}+C[/math]
[math]\displaystyle \int\frac{dx}{1-\cos x}[/math]	[math]\displaystyle -\cot\frac{x}{2}+C[/math]
[math]\displaystyle \int\frac{dx}{(1+\cos x)^2}[/math]	[math]\displaystyle \frac12\tan\frac{x}{2}+\frac16\tan^3\frac{x}{2}+C[/math]
[math]\displaystyle \int\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\,dx[/math]	[math]\displaystyle \frac{1}{1+\cos x}+C[/math]
[math]\displaystyle \int\frac{dx}{2+\cos x}[/math]	[math]\displaystyle \frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right)+C_k[/math] sui singoli intervalli indicati

Nell’ultima riga la costante è indicata con [math]C_k[/math] perché la formula con la tangente dell’angolo dimezzato è valida direttamente soltanto sui singoli intervalli del suo dominio, mentre le costanti devono essere raccordate se si vuole ottenere una primitiva continua su tutta la retta reale.

Integrali delle funzioni trigonometriche

Tabella degli integrali contenenti seno

Tabella degli integrali contenenti coseno

Tabella degli integrali contenenti seno e coseno

Tabella degli integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo tangente

Tabella degli integrali contenenti solo la secante

Gli errori più comuni negli integrali trigonometrici

Durante il calcolo conviene controllare alcuni punti che, pur sembrando secondari, possono compromettere il risultato finale. Il primo riguarda il fattore introdotto dalla sostituzione [math]t=x/2[/math], per la quale la relazione corretta è [math]dx=2\,dt[/math], e non [math]dx=dt/2[/math]; il secondo riguarda la scelta dell’identità dell’angolo dimezzato, perché [math]1-\cos x=2\sin^2(x/2)[/math], mentre [math]1+\cos x=2\cos^2(x/2)[/math].

Un’altra fonte frequente di errori è il segno della derivata, soprattutto quando si pone [math]u=1+\cos x[/math], poiché [math]du=-\sin x\,dx[/math] e il segno negativo deve essere mantenuto durante tutta la sostituzione. È altrettanto importante non trascurare le singolarità dell’integranda, ricordando che una primitiva viene definita su intervalli del dominio e che la stessa espressione non può essere prolungata indiscriminatamente attraverso un punto nel quale l’integranda non esiste.

Infine, verificare il risultato mediante derivazione non è un passaggio puramente formale, perché consente di riconoscere rapidamente coefficienti mancanti, errori di segno e sostituzioni incomplete. Nel caso della sostituzione di Weierstrass, il controllo deve comprendere anche il dominio della rappresentazione ottenuta, distinguendolo da quello dell’integranda originale.

Come scegliere la tecnica di integrazione

La scelta del metodo dipende dalla struttura dell’integrando, non soltanto dalla presenza di seno e coseno. Quando compare [math]1+\cos x[/math] oppure [math]1-\cos x[/math], conviene iniziare dalle formule dell’angolo dimezzato, che trasformano il denominatore in un quadrato trigonometrico e spesso permettono di riconoscere una primitiva immediata; se invece il numeratore contiene la derivata della funzione al denominatore, come accade nell’integrale dell’esercizio 3, una sostituzione diretta può evitare passaggi inutili.

Quando le trasformazioni più semplici non bastano e il denominatore contiene una combinazione generale di seno e coseno, la sostituzione di Weierstrass offre una strada più sistematica, anche se richiede maggiore attenzione alla variabile ausiliaria e ai rami delle funzioni inverse. In tutti i casi, il procedimento più affidabile consiste nel riconoscere la struttura dell’integrando, scegliere la trasformazione che semplifica realmente il calcolo e verificare infine che la derivata della primitiva restituisca l’espressione di partenza.

L’obiettivo non è applicare sempre la stessa formula, ma capire quale proprietà dell’integrando rende conveniente una determinata sostituzione, così da affrontare anche esercizi diversi da quelli già svolti.