Esercizio 1 – Carlo e il furto in casa

Testo:

Carlo vive in una zona generalmente sicura, ma sa che esiste una piccola possibilità ([math]5\%[/math]) che la sua casa subisca un furto con un danno stimato di [math]20.000€[/math]. Il suo reddito annuale è di [math]80.000€[/math] e la sola idea di una perdita del genere lo preoccupa, perché valuta il denaro in modo “logaritmico”: ogni euro in più gli dà un’utilità sempre minore, il che lo rende naturalmente avverso al rischio.

La compagnia assicurativa applica un prezzo di [math]0,15€[/math] per ogni euro di copertura. Gli presenta due opzioni:

• Polizza 1 (con franchigia): paga un premio di [math]2.700€[/math]. Franchigia di [math]2.000€[/math], copertura [math]18.000€[/math].
• Polizza 2 (a copertura totale): paga un premio di [math]3.000€[/math]. Copertura [math]20.000€[/math].

Carlo, uomo prudente, si chiede: “Data la mia avversione al rischio e il prezzo non proprio equo di questa assicurazione, qual è la scelta più razionale per massimizzare la mia utilità attesa?”

Soluzione:

Stato senza assicurazione:

• Nessun furto ([math]95\%[/math]): Reddito [math]= 80.000€[/math]
• Con furto ([math]5\%[/math]): Reddito [math]= 80.000€ – 20.000€ = 60.000€[/math]

Analisi della Polizza 1 (Franchigia [math]2.000€[/math]):

Reddito dopo il premio: [math]80.000€ – 2.700€ = 77.300€[/math].

• Nessun furto ([math]95\%[/math]): [math]I_{no} = 77.300€[/math]
• Con furto ([math]5\%[/math]): Perdita netta per Carlo = [math]2.000€[/math] (franchigia).Reddito finale: [math]77.300€ – 2.000€ = 75.300€[/math].

Utilità Attesa ([math]U(I)=\ln(I)[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EU_1 &= 0.95 \times \ln(77.300) + 0.05 \times \ln(75.300) \\
&{} \quad \text{(Usando valori calcolati: } \ln(77300)\approx 11.255, \ln(75300)\approx 11.229) \\
&\approx 0.95 \times 11.255 + 0.05 \times 11.229 \\
&\approx 10.69225 + 0.56145 \\
&\approx 11.2537
\end{aligned}[/math]

Analisi della Polizza 2 (Copertura Totale):

Reddito dopo il premio: [math]80.000€ – 3.000€ = 77.000€[/math].

In qualsiasi scenario (furto o meno), il suo reddito finale è [math]77.000€[/math].

Utilità Attesa:

[math]EU_2 = \ln(77.000) \approx 11.2515[/math]

Confronto e decisione:

• [math]EU_1 \approx 11.2537[/math]
• [math]EU_2 \approx 11.2515[/math]

Poiché [math]EU_1 > EU_2[/math], la polizza con franchigia offre un’utilità attesa leggermente superiore.

Richiamo Teorico:

Il premio attuarialmente equo sarebbe [math]0,05€[/math] per euro di copertura. L’assicurazione costa [math]0,15€[/math], ovvero tre volte il premio equo. Questo forte “caricamento” rende l’assicurazione totale troppo costosa per l’individuo avverso al rischio.

Carlo sceglierà la Polizza 1 (con franchigia).

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Esercizio 2 – Maria e l’incidente automobilistico

Testo:

Maria ha un reddito di [math]100.000€[/math]. Stima una probabilità del [math]2\%[/math] di causare in un anno un danno all’auto di [math]40.000€[/math]. Per lei, l’utilità del denaro segue la radice quadrata: [math]U=\sqrt{I}[/math].

La sua assicurazione le propone due piani, sapendo che il costo è [math]0,08€[/math] per ogni euro di copertura:

• Piano “Smart” (Franchigia [math]5.000€[/math]): Premio annuo di [math]2.800€[/math]. Copertura [math]35.000€[/math].
• Piano “Tutto Compreso” (Copertura Totale): Premio annuo di [math]3.200€[/math]. Copertura [math]40.000€[/math].

Quale polizza le garantirà la maggiore serenità, tradotta in utilità attesa?

Soluzione:

Stato senza assicurazione:

• Nessun incidente ([math]98\%[/math]): Reddito [math]= 100.000€[/math]
• Con incidente ([math]2\%[/math]): Reddito [math]= 60.000€[/math]

Analisi del Piano “Smart” (Franchigia [math]5.000€[/math]):

Reddito dopo premio: [math]100.000€ – 2.800€ = 97.200€[/math].

• Senza incidente ([math]98\%[/math]): [math]I_{no} = 97.200€[/math]
• Con incidente ([math]2\%[/math]): Perdita netta = [math]5.000€[/math] (franchigia).Reddito finale: [math]97.200€ – 5.000€ = 92.200€[/math].

Utilità Attesa ([math]U=\sqrt{I}[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EU_{Smart} &= 0.98 \times \sqrt{97.200} + 0.02 \times \sqrt{92.200} \\
&{} \quad \text{(Usando valori calcolati: } \sqrt{97200}\approx 311.77, \sqrt{92200}\approx 303.64) \\
&\approx 0.98 \times 311.77 + 0.02 \times 303.64 \\
&\approx 305.5346 + 6.0728 \\
&\approx 311.6074
\end{aligned}[/math]

Analisi del Piano “Tutto Compreso”:

Reddito dopo premio: [math]100.000€ – 3.200€ = 96.800€[/math].

In qualsiasi scenario, il suo reddito finale è [math]96.800€[/math].

Utilità Attesa:

[math]EU_{Tutto} = \sqrt{96.800} \approx 311.127[/math]

Confronto e decisione:

• [math]EU_{Smart} \approx 311.607[/math]
• [math]EU_{Tutto} \approx 311.127[/math]

Poiché [math]EU_{Smart} > EU_{Tutto}[/math], il Piano “Smart” con franchigia è chiaramente superiore (differenza di circa [math]0.48[/math] punti di utilità).

Richiamo Teorico:

Il premio attuarialmente equo è [math]0,02€[/math] per euro, mentre il costo è [math]0,08€[/math] per euro. Il premio è quattro volte quello equo. Anche se Maria è avversa al rischio, il “prezzo della tranquillità totale” è troppo elevato rispetto al costo di assumersi una piccola parte del rischio (la franchigia).

Maria sceglierà il Piano “Smart”.

Questo calcolo è lo stesso che fanno i Fleet Manager quando devono assicurare flotte aziendali di 500 veicoli. Lì, non si tratta di ‘tranquillità’, ma di statistica pura. Un’azienda che sceglie la copertura totale su 500 auto sta regalando statisticamente migliaia di euro all’assicurazione. L’auto-assicurazione (accettare il rischio) è un lusso che chi ha i capitali può permettersi, mentre i poveri tendono a sovra-assicurarsi.

 

💡 Perché la matematica preferisce la Franchigia?

Ti sarai accorto che in tutti e tre gli esercizi la risposta vincente è la Polizza con Franchigia. È un caso? Assolutamente no. Ecco la spiegazione economica dietro i numeri:

1. Il Teorema di Mossin: Senza scendere in dimostrazioni complesse, questo teorema afferma che se un’assicurazione non è “equa” (cioè se il premio che paghi è superiore al puro costo atteso del danno, cosa ovvia perché l’assicurazione deve guadagnarci e pagare le spese), un individuo razionale non si assicurerà mai completamente.

2. L’efficienza del rischio: La franchigia serve a eliminare i “piccoli sinistri” che hanno costi amministrativi enormi per l’assicurazione. Accettando una franchigia, ti fai carico della parte di rischio più costosa da gestire burocraticamente ma meno grave finanziariamente. In cambio, ottieni uno sconto sul premio che, in termini di utilità attesa, vale più del rischio che ti assumi.

3. Morale: Assicurati contro le catastrofi che non puoi sostenere (danni da milioni di euro, invalidità, incendio casa), ma usa il tuo reddito per coprire i piccoli imprevisti (graffi all’auto, piccoli furti). È lì che massimizzi la tua ricchezza.

La trappola psicologica

 Se la matematica dice che la franchigia conviene, perché la maggior parte delle persone sceglie la copertura totale?

Si chiama Loss Aversion (Avversione alla perdita). Per molte persone, dover tirare fuori 1.000 € per una franchigia dopo un incidente fa molto più male psicologicamente che averne spesi 500 € in più di premio a fondo perduto mesi prima. Le assicurazioni lo sanno e ci costruiscono i margini di profitto.

Conclusione Generale:

In tutti gli esercizi presentati, la soluzione ottimale per gli individui avversi al rischio è stata una polizza con franchigia (copertura parziale). Questo risultato dipende criticamente dal rapporto tra il premio applicato e il premio attuarialmente equo.

Quando le compagnie applicano un “caricamento” significativo (ovvero il costo dell’assicurazione è notevolmente superiore alla probabilità dell’evento), l’individuo razionale trova più conveniente auto-assicurarsi per la prima parte della perdita (la franchigia), pagando un premio inferiore e acquistando copertura solo per le perdite più gravi. È un elegante esempio di come la teoria economica della scelta in condizioni di incertezza guidi decisioni pratiche di vita reale.