Risolvere un’equazione tra numeri interi richiede un’attenzione diversa rispetto alla normale risoluzione di un’equazione algebrica. Se lavoriamo nei numeri reali, possiamo utilizzare equazioni, disequazioni e trasformazioni per individuare le soluzioni; quando invece le incognite devono appartenere a [math]\mathbb{Z}[/math], il problema cambia natura, perché non basta trovare una coppia che soddisfi l’uguaglianza: dobbiamo dimostrare che non ne esistono altre, oppure individuare una regola che permetta di descriverle tutte.

Le equazioni diofantee non lineari mostrano bene questa differenza. Alcune ammettono soltanto poche soluzioni, che possiamo individuare attraverso la fattorizzazione, la parità e lo studio dei divisori; altre, pur avendo una struttura apparentemente semplice, generano famiglie infinite di coppie intere.

In questo approfondimento partiamo da un’equazione di terzo grado, nella quale un opportuno cambio di variabili permette di trasformare un’espressione articolata in una condizione molto più restrittiva. Passeremo poi attraverso quattro problemi, ciascuno caratterizzato da una tecnica particolare: differenza di quadrati, completamento del prodotto, terne pitagoriche ed equazioni di Pell.

L’obiettivo non è soltanto arrivare ai risultati, ma capire quale proprietà dell’equazione rende possibile la dimostrazione e quando conviene utilizzare un determinato strumento.

Prima di cominciare: quale tecnica utilizzare?

Quando ci troviamo davanti a un’equazione diofantea, conviene osservare attentamente la sua struttura prima di iniziare i calcoli. La presenza di prodotti, differenze di potenze, quadrati o termini misti può suggerire una strategia risolutiva.

• Differenza di potenze — Tecnica da considerare: Fattorizzazione — Obiettivo: Ridurre il grado dell’espressione
• Differenza di quadrati — Tecnica da considerare: Studio dei divisori — Obiettivo: Trasformare l’equazione in un prodotto
• Prodotto con termini lineari — Tecnica da considerare: Completamento del prodotto — Obiettivo: Ricondursi alla ricerca dei divisori
• Somma di due quadrati — Tecnica da considerare: Teorema dei due quadrati — Obiettivo: Stabilire quando esiste una rappresentazione intera
• Somma di due quadrati uguale a un quadrato — Tecnica da considerare: Terne pitagoriche — Obiettivo: Individuare le possibili coordinate
• Quadrato meno un multiplo di un quadrato — Tecnica da considerare: Equazione di Pell — Obiettivo: Generare eventuali famiglie infinite di soluzioni

Non si tratta di una classificazione rigida, perché uno stesso problema può richiedere più strumenti. È però un buon punto di partenza per evitare tentativi numerici poco produttivi.

Il problema principale: un’equazione diofantea di terzo grado

Determiniamo tutte le coppie di interi [math](x,y)\in\mathbb{Z}^2[/math] che soddisfano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-y^3=2xy+8
\end{aligned}[/math]

Il primo aspetto da osservare è la presenza della differenza di cubi, che possiamo scomporre utilizzando l’identità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).
\end{aligned}[/math]

L’equazione diventa quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x-y)(x^2+xy+y^2)=2xy+8.
\end{aligned}[/math]

La fattorizzazione è utile, ma non basta ancora a individuare direttamente le soluzioni. Conviene introdurre due nuove variabili che permettano di separare il comportamento della differenza da quello della somma.

Dal cambio di variabili alla struttura algebrica

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=x-y,\qquad s=x+y.
\end{aligned}[/math]

Invertendo il sistema otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{s+d}{2},\qquad
y=\frac{s-d}{2}.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]x[/math] e [math]y[/math] devono essere interi, anche [math]s[/math] e [math]d[/math] devono avere la stessa parità. Infatti, le somme [math]s+d[/math] e [math]s-d[/math] devono essere entrambe divisibili per 2.

Questa condizione sarà importante nella verifica finale, perché non tutte le coppie di interi [math](s,d)[/math] corrispondono necessariamente a coppie intere [math](x,y)[/math].

Esprimere i prodotti attraverso le nuove variabili

Calcoliamo innanzitutto il prodotto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy=\frac{(s+d)(s-d)}{4}
=\frac{s^2-d^2}{4}.
\end{aligned}[/math]

Per il termine quadratico abbiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=
\frac{(s+d)^2+(s-d)^2}{4}
=\frac{2s^2+2d^2}{4}.
\end{aligned}[/math]

Sommando [math]xy[/math], ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+xy+y^2
&=\frac{2s^2+2d^2+s^2-d^2}{4}\\
&=\frac{3s^2+d^2}{4}.
\end{aligned}[/math]

L’equazione iniziale può quindi essere riscritta come:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d\frac{3s^2+d^2}{4}
=
2\frac{s^2-d^2}{4}+8.
\end{aligned}[/math]

Moltiplicando entrambi i membri per 4 ed espandendo i prodotti otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d(3s^2+d^2)=2(s^2-d^2)+32.
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini che contengono [math]s^2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3ds^2+d^3=2s^2-2d^2+32.
\end{aligned}[/math]

Portando tutto al primo membro:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(3d-2)s^2+d^3+2d^2-32=0.
\end{aligned}[/math]

Questa è la relazione centrale del problema, perché permette di esprimere il quadrato di [math]s[/math] in funzione del solo intero [math]d[/math].

Lo studio dei segni restringe le possibilità

Prima di isolare [math]s^2[/math], consideriamo il caso [math]d=0[/math]. In questo caso avremmo [math]x=y[/math], e l’equazione originaria diventerebbe:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0=2x^2+8.
\end{aligned}[/math]

Non esistono soluzioni reali, quindi possiamo escludere [math]d=0[/math].

Per [math]d\neq0[/math], isoliamo il quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2=
\frac{-d^3-2d^2+32}{3d-2}.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]s[/math] è un intero, il membro destro deve essere un numero non negativo e, soprattutto, un quadrato perfetto.

Iniziamo con lo studio dei valori negativi di [math]d[/math]. Se [math]d<0[/math], il denominatore [math]3d-2[/math] è sempre negativo. Il numeratore può essere scritto come:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-d^3-2d^2+32=-d^2(d+2)+32.
\end{aligned}[/math]

Per ogni intero [math]d\leq-2[/math], abbiamo [math]d+2\leq0[/math], quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-d^2(d+2)+32\geq32>0.
\end{aligned}[/math]

Anche per [math]d=-1[/math] il numeratore è positivo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-(-1)^3-2(-1)^2+32=31.
\end{aligned}[/math]

Di conseguenza, per qualsiasi intero negativo [math]d[/math], il rapporto che esprime [math]s^2[/math] è negativo. Questo è impossibile, perché il quadrato di un numero reale non può essere negativo.

Rimane quindi soltanto il caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d>0.
\end{aligned}[/math]

Per gli interi positivi il denominatore [math]3d-2[/math] è sempre positivo. Affinché [math]s^2[/math] sia non negativo, anche il numeratore deve esserlo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-d^3-2d^2+32\geq0.
\end{aligned}[/math]

Equivalentemente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d^3+2d^2\leq32.
\end{aligned}[/math]

La funzione [math]d^3+2d^2[/math] è strettamente crescente per [math]d>0[/math], come si vede anche dalla derivata [math]3d^2+4d>0[/math]. Possiamo quindi controllare i primi valori interi positivi:

• Per [math]d=1[/math], otteniamo [math]1+2=3\leq32[/math].
• Per [math]d=2[/math], otteniamo [math]8+8=16\leq32[/math].
• Per [math]d=3[/math], otteniamo [math]27+18=45>32[/math].

Per tutti i valori [math]d\geq3[/math] la disuguaglianza non è più verificata. L’intera ricerca si riduce dunque a due possibilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=1\qquad\text{oppure}\qquad d=2.
\end{aligned}[/math]

Verifica dei casi e determinazione delle soluzioni

Sostituiamo i due valori nell’espressione di [math]s^2[/math].

Caso [math]d=1[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2=\frac{-1-2+32}{3-2}=29.
\end{aligned}[/math]

Poiché 29 non è un quadrato perfetto, non esiste alcun valore intero di [math]s[/math] che soddisfi questa condizione.

Caso [math]d=2[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2=\frac{-8-8+32}{6-2}
=\frac{16}{4}=4.
\end{aligned}[/math]

Otteniamo quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s=\pm2.
\end{aligned}[/math]

Entrambe le possibilità rispettano il vincolo di parità, perché [math]s[/math] e [math]d[/math] sono entrambi pari.

Ricostruiamo ora le variabili iniziali.

Per [math]s=2[/math] e [math]d=2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{2+2}{2}=2,\qquad
y=\frac{2-2}{2}=0.
\end{aligned}[/math]

La prima soluzione è quindi [math](2,0)[/math].

Per [math]s=-2[/math] e [math]d=2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{-2+2}{2}=0,\qquad
y=\frac{-2-2}{2}=-2.
\end{aligned}[/math]

La seconda soluzione è [math](0,-2)[/math].

Verifichiamo direttamente entrambe le coppie nell’equazione iniziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2^3-0^3=2\cdot2\cdot0+8=8
\end{aligned}[/math]

e

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0^3-(-2)^3=2\cdot0\cdot(-2)+8=8.
\end{aligned}[/math]

Abbiamo quindi dimostrato che le uniche soluzioni intere sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x,y)=(2,0)\quad\text{oppure}\quad(0,-2).
\end{aligned}[/math]

Il passaggio decisivo non è stato il calcolo delle due coppie, ma la dimostrazione che [math]d[/math] poteva assumere soltanto due valori. Una volta ottenuta questa limitazione, la verifica dei quadrati perfetti ha concluso il problema.

Esercizio 1 – Differenza di quadrati e analisi dei divisori

Determiniamo tutte le coppie di interi [math](x,y)[/math] che soddisfano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-y^2=2025.
\end{aligned}[/math]

La differenza di quadrati suggerisce immediatamente la fattorizzazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x-y)(x+y)=2025.
\end{aligned}[/math]

Introduciamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a=x-y,\qquad b=x+y.
\end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
ab=2025.
\end{aligned}[/math]

Le formule inverse sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=\frac{a+b}{2},\qquad
y=\frac{b-a}{2}.
\end{aligned}[/math]

Affinché [math]x[/math] e [math]y[/math] siano interi, [math]a[/math] e [math]b[/math] devono avere la stessa parità.

Scomponiamo 2025 in fattori primi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2025=3^4\cdot5^2.
\end{aligned}[/math]

Il numero possiede:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(4+1)(2+1)=15
\end{aligned}[/math]

divisori positivi, tutti dispari. Di conseguenza, qualsiasi coppia di divisori [math]a,b[/math] il cui prodotto sia 2025 soddisfa automaticamente il vincolo di parità, purché entrambi abbiano lo stesso segno.

Indichiamo con [math]d[/math] un divisore positivo di 2025 e poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a=d,\qquad b=\frac{2025}{d}.
\end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono quindi descritte da:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x,y)=
\pm\left(
\frac{d+2025/d}{2},
\frac{2025/d-d}{2}
\right),
\quad d\mid2025,\ d>0.
\end{aligned}[/math]

Il segno simultaneo delle due coordinate tiene conto anche delle coppie ottenute scegliendo entrambi i fattori negativi.

Per esempio:

• Con [math]d=1[/math], otteniamo [math](1013,1012)[/math].
• Con [math]d=45[/math], otteniamo [math](45,0)[/math].
• Con [math]d=2025[/math], otteniamo [math](1013,-1012)[/math].

Poiché esistono 15 divisori positivi e ogni scelta genera due coppie opposte, il numero complessivo delle soluzioni è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
30.
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione

Perché non dobbiamo considerare separatamente le combinazioni in cui un fattore è positivo e l’altro negativo?

Risposta

Perché il loro prodotto sarebbe negativo, mentre deve essere uguale a 2025, che è positivo. Sono ammissibili soltanto fattori dello stesso segno.

Esercizio 2 – Completamento del prodotto

Determiniamo tutte le coppie di interi [math](x,y)[/math] che soddisfano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy+x+y=2025.
\end{aligned}[/math]

Quando compaiono contemporaneamente un prodotto e due termini lineari, può essere conveniente cercare una forma che permetta di raccogliere tutto in un unico prodotto.

Aggiungiamo 1 a entrambi i membri:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy+x+y+1=2026.
\end{aligned}[/math]

Il primo membro può essere fattorizzato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+1)(y+1)=2026.
\end{aligned}[/math]

La scomposizione in fattori primi è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2026=2\cdot1013.
\end{aligned}[/math]

Il numero 1013 è primo: non è divisibile per nessun numero primo minore o uguale a [math]\sqrt{1013}<32[/math].

I divisori interi di 2026 sono quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\pm1,\quad\pm2,\quad\pm1013,\quad\pm2026.
\end{aligned}[/math]

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a=x+1,\qquad b=y+1.
\end{aligned}[/math]

Dobbiamo considerare tutte le coppie di divisori con prodotto 2026 e ricostruire le variabili originali.

Le possibilità sono:

• [math]a=1[/math], [math]b=2026[/math], [math]x=0[/math], [math]y=2025[/math]
• [math]a=2[/math], [math]b=1013[/math], [math]x=1[/math], [math]y=1012[/math]
• [math]a=1013[/math], [math]b=2[/math], [math]x=1012[/math], [math]y=1[/math]
• [math]a=2026[/math], [math]b=1[/math], [math]x=2025[/math], [math]y=0[/math]
• [math]a=-1[/math], [math]b=-2026[/math], [math]x=-2[/math], [math]y=-2027[/math]
• [math]a=-2[/math], [math]b=-1013[/math], [math]x=-3[/math], [math]y=-1014[/math]
• [math]a=-1013[/math], [math]b=-2[/math], [math]x=-1014[/math], [math]y=-3[/math]
• [math]a=-2026[/math], [math]b=-1[/math], [math]x=-2027[/math], [math]y=-2[/math]

Non esistono altre combinazioni, perché abbiamo considerato tutti i divisori interi del numero 2026.

Le soluzioni sono pertanto otto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&(0,2025),\ (1,1012),\\
&(1012,1),\ (2025,0),\\
&(-2,-2027),\ (-3,-1014),\\
&(-1014,-3),\ (-2027,-2).
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione

Perché abbiamo aggiunto proprio 1 e non un altro numero?

Risposta

Perché i termini [math]xy+x+y[/math] diventano un prodotto completo aggiungendo l’unità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy+x+y+1=(x+1)(y+1).
\end{aligned}[/math]

La scelta deriva direttamente dall’identità del prodotto di due binomi, non da un tentativo numerico.

Esercizio 3 – Somma di quadrati e terne pitagoriche

Determiniamo tutte le coppie di interi [math](x,y)[/math] che soddisfano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=2025.
\end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2025=45^2,
\end{aligned}[/math]

possiamo interpretare il problema come la ricerca di punti a coordinate intere appartenenti alla circonferenza di raggio 45, oppure come la ricerca di triangoli rettangoli con ipotenusa 45.

Iniziamo considerando le soluzioni nelle quali una delle due coordinate è nulla.

Se [math]y=0[/math], abbiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2=2025\implies x=\pm45.
\end{aligned}[/math]

Otteniamo quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(45,0),\qquad(-45,0).
\end{aligned}[/math]

Analogamente, ponendo [math]x=0[/math], troviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(0,45),\qquad(0,-45).
\end{aligned}[/math]

Rimane da studiare il caso in cui entrambe le coordinate siano non nulle.

Riduzione alle terne pitagoriche primitive

Indichiamo con:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g=\gcd(|x|,|y|)
\end{aligned}[/math]

il massimo comune divisore delle due coordinate e scriviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=gu,\qquad y=gv,
\end{aligned}[/math]

dove [math]u[/math] e [math]v[/math] sono coprimi.

Sostituendo nell’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g^2(u^2+v^2)=45^2.
\end{aligned}[/math]

Dividendo per [math]g^2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u^2+v^2=\left(\frac{45}{g}\right)^2.
\end{aligned}[/math]

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
n=\frac{45}{g}.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]g[/math] divide 45, anche [math]n[/math] è un intero positivo. Inoltre:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u^2+v^2=n^2
\end{aligned}[/math]

è una terna pitagorica primitiva, perché [math]u[/math] e [math]v[/math] sono coprimi.

In una terna pitagorica primitiva, ogni divisore primo dispari dell’ipotenusa è congruente a 1 modulo 4.

La condizione è necessaria per il nostro ragionamento: se un primo congruo a 3 modulo 4 dividesse l’ipotenusa, dovrebbe dividere anche entrambi i cateti, in contraddizione con la loro coprimalità.

La fattorizzazione del numero iniziale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
45=3^2\cdot5.
\end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3\equiv3\pmod4,\qquad5\equiv1\pmod4,
\end{aligned}[/math]

l’unico primo che può comparire nell’ipotenusa della terna primitiva è 5. L’ipotenusa ridotta non può essere 1, perché stiamo considerando il caso di cateti entrambi non nulli.

Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
n=5.
\end{aligned}[/math]

Questo determina anche il massimo comune divisore:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g=\frac{45}{5}=9.
\end{aligned}[/math]

La terna pitagorica primitiva con ipotenusa 5 è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3^2+4^2=5^2.
\end{aligned}[/math]

Possiamo quindi scegliere:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(u,v)=(3,4)
\end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(u,v)=(4,3).
\end{aligned}[/math]

Moltiplicando per 9 otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(|x|,|y|)=(27,36)
\end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(|x|,|y|)=(36,27).
\end{aligned}[/math]

Poiché l’equazione contiene soltanto quadrati, possiamo scegliere indipendentemente il segno delle due coordinate.

Le soluzioni non degeneri sono quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(\pm27,\pm36),\qquad(\pm36,\pm27).
\end{aligned}[/math]

Aggiungendo le quattro soluzioni con una coordinata nulla, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&(45,0),\ (-45,0),\ (0,45),\ (0,-45),\\
&(\pm27,\pm36),\ (\pm36,\pm27).
\end{aligned}[/math]

Il numero complessivo delle soluzioni è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
12.
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione

Perché abbiamo introdotto il massimo comune divisore prima di utilizzare le proprietà delle terne pitagoriche?

Risposta

Perché il teorema utilizzato riguarda le terne primitive, nelle quali i cateti sono coprimi. Senza separare il massimo comune divisore, non potremmo applicare direttamente la proprietà di divisibilità dell’ipotenusa.

Esercizio 4 – Equazione di Pell e successioni infinite di soluzioni

Consideriamo ora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-2y^2=1.
\end{aligned}[/math]

A differenza degli esercizi precedenti, questa equazione ammette infinite soluzioni intere. Non possiamo quindi limitarci a individuare alcuni divisori o a restringere la ricerca a un insieme finito di valori.

Siamo davanti a una particolare equazione di Pell, nella forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-Dy^2=1,
\end{aligned}[/math]

con [math]D=2[/math].

Le prime soluzioni positive sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(1,0),\qquad(3,2),\qquad(17,12),\qquad(99,70).
\end{aligned}[/math]

La coppia [math](3,2)[/math] è la prima soluzione positiva non banale, come possiamo verificare:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3^2-2\cdot2^2=9-8=1.
\end{aligned}[/math]

La questione interessante è capire se esista una regola che permetta di generare tutte le soluzioni senza doverle cercare una alla volta.

La struttura algebrica delle soluzioni

Introduciamo l’espressione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\alpha=x+y\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

L’equazione iniziale può essere riscritta attraverso il prodotto coniugato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y\sqrt2)(x-y\sqrt2)=1.
\end{aligned}[/math]

La coppia fondamentale [math](3,2)[/math] corrisponde all’espressione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon=3+2\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

La sua norma è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=9-8=1.
\end{aligned}[/math]

Poiché il prodotto di due elementi di norma 1 ha ancora norma 1, possiamo generare nuove soluzioni attraverso le potenze:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_n+y_n\sqrt2=(3+2\sqrt2)^n.
\end{aligned}[/math]

Per ogni intero [math]n\geq0[/math], i coefficienti [math]x_n[/math] e [math]y_n[/math] sono interi e soddisfano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_n^2-2y_n^2=1.
\end{aligned}[/math]

La ragione è che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&(x_n+y_n\sqrt2)(x_n-y_n\sqrt2)\\
&=(3+2\sqrt2)^n(3-2\sqrt2)^n\\
&=(9-8)^n=1.
\end{aligned}[/math]

Abbiamo quindi costruito una famiglia infinita di soluzioni.

Ricavare una formula ricorsiva

Per ottenere una regola di calcolo più pratica, moltiplichiamo la potenza di ordine [math]n[/math] per la soluzione fondamentale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt2
=(x_n+y_n\sqrt2)(3+2\sqrt2).
\end{aligned}[/math]

Sviluppando il prodotto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt2
&=3x_n+2x_n\sqrt2\\
&\quad+3y_n\sqrt2+4y_n.
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini razionali e quelli contenenti [math]\sqrt2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt2
=(3x_n+4y_n)+(2x_n+3y_n)\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

Uguagliando i coefficienti otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
x_{n+1}=3x_n+4y_n\\
y_{n+1}=2x_n+3y_n
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

con condizioni iniziali:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x_0=1,\qquad y_0=0.
\end{aligned}[/math]

Questa ricorrenza permette di generare le soluzioni successive senza dover calcolare ogni volta una potenza con radicali.

Perché questa successione genera tutte le soluzioni?

Finora abbiamo dimostrato che ogni coppia generata dalla ricorrenza è una soluzione, ma non abbiamo ancora dimostrato che tutte le soluzioni positive appartengano alla successione.

Per completare la dimostrazione dobbiamo utilizzare la minimalità dell’unità fondamentale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon=3+2\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

Consideriamo una soluzione con [math]x>0[/math] e [math]y\geq0[/math], e poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\alpha=x+y\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

Dall’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-2y^2=1
\end{aligned}[/math]

segue che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\alpha>0,\qquad \alpha\geq1.
\end{aligned}[/math]

Possiamo quindi scegliere un intero [math]n\geq0[/math] tale che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon^n\leq\alpha<\varepsilon^{n+1}.
\end{aligned}[/math]

Moltiplichiamo tutti i membri per [math]\varepsilon^{-n}[/math], ricordando che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon^{-1}=3-2\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

Otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1\leq\beta<\varepsilon,
\end{aligned}[/math]

dove:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\beta=\alpha\varepsilon^{-n}=u+v\sqrt2.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]\alpha[/math] e [math]\varepsilon^{-n}[/math] hanno coefficienti interi nell’espressione [math]a+b\sqrt2[/math], anche [math]u[/math] e [math]v[/math] sono interi.

Inoltre, la norma di [math]\beta[/math] è ancora uguale a 1:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u^2-2v^2=1.
\end{aligned}[/math]

Dalla relazione precedente ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u=\frac{\beta+\beta^{-1}}2,
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v=\frac{\beta-\beta^{-1}}{2\sqrt2}.
\end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1\leq\beta<3+2\sqrt2,
\end{aligned}[/math]

e le due espressioni sono crescenti per [math]\beta\geq1[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1\leq u<3,\qquad0\leq v<2.
\end{aligned}[/math]

Essendo [math]u[/math] e [math]v[/math] interi, possiamo avere soltanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u\in\{1,2\},\qquad v\in\{0,1\}.
\end{aligned}[/math]

Verificando tutte le combinazioni nell’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u^2-2v^2=1,
\end{aligned}[/math]

l’unica possibilità è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(u,v)=(1,0).
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\beta=1.
\end{aligned}[/math]

Ma questo significa che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\alpha=\varepsilon^n.
\end{aligned}[/math]

Abbiamo così dimostrato che ogni soluzione con [math]x>0[/math] e [math]y\geq0[/math] appartiene alla successione generata dalla potenza di [math]3+2\sqrt2[/math].

Tutte le soluzioni intere

Poiché l’equazione contiene soltanto quadrati, possiamo cambiare indipendentemente il segno di [math]x[/math] e di [math]y[/math] senza modificare l’uguaglianza.

La totalità delle soluzioni intere è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x,y)=(\pm x_n,\pm y_n),\qquad n\geq0.
\end{aligned}[/math]

Le prime coppie generate dalla ricorrenza sono:

• [math]n=0[/math]: [math]x_n=1[/math], [math]y_n=0[/math]
• [math]n=1[/math]: [math]x_n=3[/math], [math]y_n=2[/math]
• [math]n=2[/math]: [math]x_n=17[/math], [math]y_n=12[/math]
• [math]n=3[/math]: [math]x_n=99[/math], [math]y_n=70[/math]
• [math]n=4[/math]: [math]x_n=577[/math], [math]y_n=408[/math]
• [math]n=5[/math]: [math]x_n=3363[/math], [math]y_n=2378[/math]

Verifichiamo l’ultima coppia:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3363^2-2\cdot2378^2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
=11\,309\,769-11\,309\,768=1.
\end{aligned}[/math]

La coppia soddisfa quindi l’equazione.

Il punto fondamentale è che non abbiamo soltanto trovato alcune soluzioni: abbiamo individuato una regola che le genera tutte e dimostrato che non esistono altre famiglie nascoste.

Domanda di riflessione

Perché nelle equazioni di Pell non possiamo concludere la ricerca dopo aver individuato alcune soluzioni numeriche?

Risposta

Perché il problema ammette infinite soluzioni. La verifica dei primi valori dimostra soltanto che esistono alcune coppie, mentre la rappresentazione attraverso le potenze dell’unità fondamentale e la dimostrazione di completezza permettono di descrivere l’intero insieme delle soluzioni.

Quale tecnica abbiamo utilizzato e perché?

I quattro esercizi hanno mostrato che equazioni apparentemente simili possono richiedere ragionamenti differenti, soprattutto quando le incognite devono essere intere.

• [math]x^3-y^3=2xy+8[/math] — Strumento utilizzato: Cambio di variabili e studio dei segni — Proprietà decisiva: Il vincolo [math]s^2\geq0[/math] limita i valori di [math]d[/math]
• [math]x^2-y^2=2025[/math] — Strumento utilizzato: Differenza di quadrati — Proprietà decisiva: Le soluzioni corrispondono ai divisori del numero
• [math]xy+x+y=2025[/math] — Strumento utilizzato: Completamento del prodotto — Proprietà decisiva: Il problema diventa una ricerca sui divisori di 2026
• [math]x^2+y^2=2025[/math] — Strumento utilizzato: Terne pitagoriche primitive — Proprietà decisiva: La fattorizzazione dell’ipotenusa limita le possibilità
• [math]x^2-2y^2=1[/math] — Strumento utilizzato: Equazione di Pell — Proprietà decisiva: Le potenze dell’unità fondamentale generano tutte le soluzioni

La differenza più evidente riguarda il numero delle soluzioni. Nei primi problemi siamo riusciti a restringere la ricerca fino a ottenere un insieme finito di possibilità, mentre nell’equazione di Pell abbiamo dovuto individuare una struttura capace di descrivere una successione infinita.

Gli errori da evitare nella risoluzione

Quando si affrontano equazioni diofantee, alcuni errori possono compromettere la correttezza della dimostrazione anche quando i calcoli sono eseguiti senza sbavature.

Confondere una verifica con una dimostrazione di completezza. Trovare una coppia che soddisfa l’equazione dimostra soltanto che esiste almeno una soluzione; per affermare che abbiamo trovato tutte le soluzioni dobbiamo escludere ogni altra possibilità.

Trascurare le soluzioni negative. Quando un’equazione viene trasformata in un prodotto di fattori, dobbiamo considerare anche le combinazioni in cui entrambi i fattori sono negativi, se il loro prodotto deve essere positivo.

Dimenticare i vincoli di parità. Quando introduciamo variabili come [math]s=x+y[/math] e [math]d=x-y[/math], non basta che siano intere: devono avere la stessa parità affinché le formule inverse restituiscano valori interi.

Applicare un teorema senza verificarne le ipotesi. Le proprietà delle terne pitagoriche primitive, per esempio, non possono essere utilizzate direttamente su una terna qualsiasi senza aver prima separato il massimo comune divisore.

Interrompere troppo presto la ricerca nelle equazioni con infinite soluzioni. Nelle equazioni di Pell, individuare i primi termini di una successione non basta: occorre dimostrare che la regola generatrice descriva tutte le soluzioni.

Un percorso didattico per approfondire la teoria dei numeri

 

Le tecniche utilizzate in questo articolo non sono isolate, ma si collegano a diversi argomenti già affrontati su Matematica Oltre. Per seguire un percorso progressivo, conviene partire dalle equazioni diofantee più semplici, passare attraverso le congruenze e arrivare infine alle strutture quadratiche.

Dalle equazioni lineari alle equazioni non lineari

Equazioni Diofantee: Guida Pratica con Esercizi Risolti (Dalla Lineare all’Esponenziale)

È il punto di partenza per riprendere il significato delle equazioni diofantee e familiarizzare con i vincoli imposti dalle soluzioni intere. La guida permette di confrontare equazioni lineari, problemi con più incognite e strutture non lineari.

Dalle soluzioni possibili all’esclusione delle soluzioni impossibili

Equazioni Diofantee e Aritmetica Modulare: Come Dimostrare l’Assenza di Soluzioni (con Esercizi Svolti)

L’aritmetica modulare introduce un modo diverso di affrontare i problemi: invece di cercare direttamente le soluzioni, permette di dimostrare che determinate combinazioni sono impossibili. È un approfondimento particolarmente utile quando la fattorizzazione non è sufficiente.

Dai quadrati perfetti alle equazioni di Pell

Quadrati Perfetti: dal Completamento del Quadrato alle Equazioni di Pell

Questo approfondimento permette di riprendere il legame tra espressioni quadratiche, rappresentazioni intere e successioni generate da equazioni di Pell. È il naturale proseguimento della parte più avanzata di questo articolo.

Il percorso segue quindi una progressione precisa: prima si impara a riconoscere la struttura delle equazioni, poi si utilizzano le proprietà dei resti e dei divisori per restringere le possibilità, infine si affrontano problemi nei quali le soluzioni sono legate a successioni e strutture algebriche.

Considerazioni finali

Le equazioni diofantee mostrano che la difficoltà di un problema non dipende necessariamente dal grado dell’equazione. Un’equazione di terzo grado può ammettere soltanto due soluzioni intere, mentre un’espressione quadratica può generare infinite coppie di numeri che soddisfano la stessa relazione.

La differenza non risiede soltanto nei calcoli, ma nelle proprietà aritmetiche che possiamo utilizzare. La fattorizzazione permette di trasformare un’equazione in una ricerca sui divisori, la parità elimina combinazioni non ammissibili, le congruenze individuano condizioni impossibili e le equazioni di Pell mostrano come una singola soluzione fondamentale possa generare un’intera famiglia infinita.

Quando affrontiamo un problema diofanteo, la domanda più importante non è quindi soltanto quale valore possa soddisfare l’equazione, ma quale proprietà ci consenta di dimostrare che abbiamo individuato tutte le possibilità.

È questo passaggio, dalla semplice verifica alla dimostrazione di completezza, che distingue la ricerca di una soluzione dalla vera risoluzione di un’equazione diofantea.