Serie di Taylor di seno e coseno: dimostrazioni, convergenza ed esercizi

Il seno e il coseno sono tra le funzioni più familiari della matematica, perché la loro interpretazione geometrica attraverso la circonferenza goniometrica permette di comprenderne immediatamente il significato. Quando però si passa dallo studio delle proprietà geometriche al calcolo analitico, emerge una domanda interessante: come possiamo calcolare il valore di queste funzioni senza ricorrere alla costruzione di un grafico o alla misurazione di un angolo?

Una risposta arriva dalle serie di potenze, che permettono di rappresentare una funzione attraverso una somma infinita di termini algebrici. In particolare, gli sviluppi di Maclaurin del seno e del coseno trasformano due funzioni trigonometriche in espressioni costruite con potenze della variabile e coefficienti che coinvolgono i fattoriali.

Questa rappresentazione non è soltanto una diversa scrittura delle funzioni, perché consente di studiarne la convergenza, calcolarne le derivate, dimostrarne alcune proprietà fondamentali e ottenere approssimazioni numeriche accompagnate da una stima dell’errore.

Vediamo come si costruiscono questi sviluppi, perché convergono per ogni numero reale e in che modo possiamo utilizzarli per dimostrare proprietà che normalmente vengono introdotte attraverso la geometria.

Gli sviluppi di Maclaurin di seno e coseno

Per ricavare le serie di potenze del seno e del coseno possiamo utilizzare la formula di Taylor centrata nell’origine, detta anche formula di Maclaurin.

Data una funzione sufficientemente derivabile in un intorno di zero, il suo polinomio di Maclaurin di grado [math]n[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
\end{aligned}[/math]

I coefficienti del polinomio dipendono quindi dai valori delle derivate successive della funzione nell’origine. Nel caso delle funzioni trigonometriche, il procedimento è particolarmente interessante perché le derivate si ripetono ciclicamente.

Consideriamo inizialmente la funzione seno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=\sin x
\end{aligned}[/math]

Le sue derivate successive sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)&=\sin x\\
f'(x)&=\cos x\\
f”(x)&=-\sin x\\
f”'(x)&=-\cos x\\
f^{(4)}(x)&=\sin x
\end{aligned}[/math]

La successione ricomincia quindi ogni quattro derivazioni. Valutando queste funzioni nell’origine otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(0)&=0\\
f'(0)&=1\\
f”(0)&=0\\
f”'(0)&=-1\\
f^{(4)}(0)&=0
\end{aligned}[/math]

Sostituendo i valori nella formula di Maclaurin, i coefficienti delle potenze pari risultano nulli, mentre quelli delle potenze dispari assumono segno alternato. Si ottiene così:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots
\end{aligned}[/math]

In forma compatta:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin x= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{aligned}[/math]

Passiamo al coseno, per il quale le derivate seguono la stessa successione ciclica:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)&=\cos x\\
f'(x)&=-\sin x\\
f”(x)&=-\cos x\\
f”'(x)&=\sin x\\
f^{(4)}(x)&=\cos x
\end{aligned}[/math]

Nell’origine troviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(0)&=1\\
f'(0)&=0\\
f”(0)&=-1\\
f”'(0)&=0\\
f^{(4)}(0)&=1
\end{aligned}[/math]

In questo caso sono nulli i coefficienti delle potenze dispari, mentre quelli delle potenze pari hanno segno alternato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos x= 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!}+\cdots
\end{aligned}[/math]

La corrispondente rappresentazione mediante una serie infinita è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos x= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

È importante osservare che queste formule rappresentano effettivamente le funzioni seno e coseno, e non soltanto i rispettivi polinomi di Taylor. Per verificarlo dobbiamo studiare il comportamento del resto, cioè la differenza tra la funzione originale e il suo polinomio approssimante.

Poiché tutte le derivate successive di seno e coseno sono ancora seno, coseno o le loro opposte, il loro valore assoluto non supera mai uno. Il resto di Lagrange soddisfa quindi la maggiorazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
\end{aligned}[/math]

Per ogni [math]x[/math] reale fissato, il secondo membro tende a zero quando [math]n[/math] cresce indefinitamente, perché il fattoriale al denominatore cresce più rapidamente di qualsiasi potenza fissata di [math]x[/math].

Di conseguenza, i polinomi di Maclaurin convergono rispettivamente a [math]\sin x[/math] e [math]\cos x[/math] per ogni numero reale.

Questa osservazione completa il passaggio dalla formula di Taylor alla rappresentazione delle funzioni mediante serie di potenze.

Convergenza delle serie e raggio di convergenza

Dopo aver ricavato gli sviluppi, possiamo verificare direttamente la loro convergenza utilizzando il criterio del rapporto di d’Alembert.

Il procedimento consiste nel calcolare il limite del rapporto tra il valore assoluto di due termini consecutivi della serie. Se il limite è minore di uno, la serie converge assolutamente; se è maggiore di uno, diverge.

Cominciamo dalla serie del coseno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

Indichiamo con:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
a_k(x)= \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

il termine generale. Per [math]x\neq 0[/math], il rapporto tra i moduli di due termini consecutivi è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left|\frac{a_{k+1}(x)}{a_k(x)}\right|
&= \frac{|x|^{2k+2}}{(2k+2)!} \cdot \frac{(2k)!}{|x|^{2k}}\\
&= \frac{|x|^2}{(2k+2)(2k+1)}
\end{aligned}[/math]

Mantenendo fisso il valore di [math]x[/math] e facendo tendere [math]k[/math] all’infinito, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{k\to\infty} \frac{|x|^2}{(2k+2)(2k+1)} =0
\end{aligned}[/math]

Il limite è quindi minore di uno per qualsiasi valore reale di [math]x[/math]. Anche per [math]x=0[/math] la convergenza è immediata, perché tutti i termini successivi al primo sono nulli.

La serie del coseno converge dunque assolutamente su tutta la retta reale.

Ripetiamo il procedimento per la serie del seno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{aligned}[/math]

Il termine generale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
b_k(x)= \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{aligned}[/math]

Il rapporto tra i moduli dei termini consecutivi diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left|\frac{b_{k+1}(x)}{b_k(x)}\right|
&= \frac{|x|^{2k+3}}{(2k+3)!} \cdot \frac{(2k+1)!}{|x|^{2k+1}}\\
&= \frac{|x|^2}{(2k+3)(2k+2)}
\end{aligned}[/math]

Anche in questo caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{k\to\infty} \frac{|x|^2}{(2k+3)(2k+2)} =0
\end{aligned}[/math]

La serie converge assolutamente per ogni [math]x\in\mathbb{R}[/math].

Il raggio di convergenza di entrambe le serie è pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
R=+\infty
\end{aligned}[/math]

Questo risultato significa che gli sviluppi di Maclaurin di seno e coseno possono essere utilizzati su tutta la retta reale, senza intervalli di esclusione o limitazioni sul valore della variabile.

Derivazione termine a termine: il legame tra seno e coseno

Una delle proprietà più interessanti delle serie di potenze riguarda la possibilità di derivarle termine a termine.

Per comprendere il procedimento, consideriamo una serie generica:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots
\end{aligned}[/math]

All’interno del suo intervallo di convergenza, la derivazione termine a termine produce:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots
\end{aligned}[/math]

Il teorema di derivazione delle serie di potenze garantisce che la serie derivata conserva lo stesso raggio di convergenza della serie originale.

Applichiamo questa proprietà allo sviluppo del seno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin x= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{aligned}[/math]

Derivando ogni termine rispetto a [math]x[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{d}{dx}\sin x
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!}\\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

L’ultima espressione coincide esattamente con lo sviluppo di Maclaurin del coseno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(\sin x)’=\cos x
\end{aligned}[/math]

Possiamo eseguire lo stesso procedimento partendo dalla serie del coseno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos x= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

Derivando, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{d}{dx}\cos x
&= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k 2k x^{2k-1}}{(2k)!}\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k-1}}{(2k-1)!}
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo il segno negativo e sostituendo l’indice [math]j=k-1[/math], la sommatoria assume la forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j x^{2j+1}}{(2j+1)!}
\end{aligned}[/math]

che coincide con l’opposto dello sviluppo del seno.

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(\cos x)’=-\sin x
\end{aligned}[/math]

Abbiamo ricavato entrambe le relazioni fondamentali attraverso le serie di potenze, mostrando come la derivazione trasformi lo sviluppo di una funzione nell’altra.

Parità e disparità: le simmetrie leggibili dagli esponenti

Le serie di potenze permettono anche di verificare le proprietà di simmetria delle funzioni senza utilizzare la rappresentazione geometrica.

Una funzione è pari quando:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=f(x)
\end{aligned}[/math]

mentre è dispari quando:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-f(x)
\end{aligned}[/math]

Nel caso del seno, sostituiamo [math]-x[/math] al posto di [math]x[/math] nel suo sviluppo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin(-x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(-x)^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{aligned}[/math]

Poiché gli esponenti sono tutti dispari, vale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}
\end{aligned}[/math]

Possiamo quindi raccogliere il segno negativo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin(-x)
&= -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
&=-\sin x
\end{aligned}[/math]

La funzione seno è dunque dispari.

Consideriamo ora il coseno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos(-x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(-x)^{2k}}{(2k)!}
\end{aligned}[/math]

In questo caso tutti gli esponenti sono pari, perciò:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(-x)^{2k}=x^{2k}
\end{aligned}[/math]

Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\cos(-x)
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\\
&=\cos x
\end{aligned}[/math]

Il coseno è quindi una funzione pari.

Queste proprietà emergono direttamente dalla struttura degli sviluppi: una serie composta soltanto da potenze dispari rappresenta una funzione dispari, mentre una serie composta soltanto da potenze pari rappresenta una funzione pari, purché la serie converga nel dominio considerato.

Dimostrazione dell’identità fondamentale senza la geometria

L’identità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin^2x+\cos^2x=1
\end{aligned}[/math]

è normalmente introdotta attraverso la circonferenza goniometrica e il teorema di Pitagora. Possiamo però dimostrarla anche utilizzando esclusivamente le proprietà analitiche che abbiamo appena ricavato.

Definiamo una funzione ausiliaria:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u(x)=\sin^2x+\cos^2x
\end{aligned}[/math]

Deriviamo utilizzando la regola della derivazione delle funzioni composte:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u'(x)= 2\sin x\cdot(\sin x)’ + 2\cos x\cdot(\cos x)’
\end{aligned}[/math]

Sostituendo le derivate dimostrate attraverso le serie di potenze, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u'(x)
&=2\sin x\cos x +2\cos x(-\sin x)\\
&=2\sin x\cos x -2\sin x\cos x\\
&=0
\end{aligned}[/math]

La derivata della funzione ausiliaria è quindi nulla su tutta la retta reale.

Per il teorema di Lagrange, una funzione derivabile con derivata identicamente nulla su un intervallo è costante. Poiché la retta reale è un intervallo, anche [math]u(x)[/math] è costante.

Per determinare il valore di questa costante è sufficiente calcolare la funzione nell’origine:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u(0)=\sin^2(0)+\cos^2(0)
\end{aligned}[/math]

Dagli sviluppi di Maclaurin sappiamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin(0)=0 \qquad \cos(0)=1
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
u(0)=0^2+1^2=1
\end{aligned}[/math]

Essendo costante e assumendo valore uno nell’origine, la funzione ausiliaria vale uno per ogni numero reale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin^2x+\cos^2x=1 \qquad \forall x\in\mathbb{R}
\end{aligned}[/math]

La dimostrazione è interessante perché mostra come una proprietà geometrica possa essere recuperata attraverso il calcolo differenziale, una volta stabilite le relazioni tra le derivate del seno e del coseno.

Esercizio guidato: approssimare sin(0,1) con un errore inferiore a 10⁻⁴

Vogliamo calcolare un’approssimazione di:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin(0{,}1)
\end{aligned}[/math]

utilizzando uno sviluppo di Maclaurin e garantendo che l’errore assoluto sia inferiore a [math]10^{-4}[/math].

Il problema non consiste soltanto nel trovare un valore numerico sufficientemente vicino a quello effettivo, ma anche nel dimostrare che la differenza tra i due valori rispetta la tolleranza richiesta.

1. Costruzione del polinomio approssimante

Lo sviluppo del seno è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin x= x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots
\end{aligned}[/math]

Consideriamo il polinomio di terzo grado:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_3(x)=x-\frac{x^3}{3!}
\end{aligned}[/math]

Per [math]x=0{,}1[/math], la sua valutazione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_3(0{,}1)
&=0{,}1-\frac{(0{,}1)^3}{6}\\
&=0{,}1-\frac{0{,}001}{6}\\
&=0{,}0998333333
\end{aligned}[/math]

Questo è il valore che utilizzeremo come approssimazione, ma dobbiamo ancora verificare quanto si discosti dal valore effettivo della funzione.

2. Stima dell’errore attraverso il resto di Lagrange

Il teorema di Taylor con resto nella forma di Lagrange stabilisce che, per un polinomio di grado [math]n[/math], la differenza tra la funzione originale e il polinomio approssimante è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}
\end{aligned}[/math]

dove [math]\xi[/math] è un punto compreso tra zero e [math]x[/math].

Nel caso del seno, tutte le derivate successive hanno valore assoluto minore o uguale a uno. Possiamo quindi scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
\end{aligned}[/math]

Per sfruttare anche il fatto che il coefficiente della potenza quarta è nullo, consideriamo il polinomio di Taylor di grado quattro.

Poiché la quarta derivata del seno nell’origine è zero, il polinomio di quarto grado coincide con quello di terzo grado:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_4(x)=P_3(x)
\end{aligned}[/math]

Il resto di Lagrange è ora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
R_4(x)= \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5
\end{aligned}[/math]

e, dato che la quinta derivata del seno è il coseno, il cui valore assoluto non supera mai uno, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_4(x)|\leq\frac{|x|^5}{5!}
\end{aligned}[/math]

Sostituendo [math]x=0{,}1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_4(0{,}1)|
&\leq\frac{(0{,}1)^5}{120}\\
&=\frac{0{,}00001}{120}\\
&\approx 8{,}33\cdot10^{-8}
\end{aligned}[/math]

Confrontando il risultato con la tolleranza richiesta:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
8{,}33\cdot10^{-8}<10^{-4}
\end{aligned}[/math]

L’approssimazione soddisfa quindi ampiamente la condizione richiesta, perché l’errore assoluto è garantito teoricamente inferiore a [math]10^{-4}[/math].

3. Confronto tra le approssimazioni

Possiamo osservare come cambia la precisione aumentando il numero di termini dello sviluppo.

• [math]P_1(x)=x[/math]: approssimazione di [math]\sin(0{,}1)[/math] pari a [math]0{,}1000000000[/math]
• [math]P_3(x)=x-x^3/6[/math]: approssimazione di [math]\sin(0{,}1)[/math] pari a [math]0{,}0998333333[/math]
• [math]P_5(x)=x-x^3/6+x^5/120[/math]: approssimazione di [math]\sin(0{,}1)[/math] pari a [math]0{,}0998334167[/math]

Il valore effettivo è approssimativamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sin(0{,}1)=0{,}0998334166
\end{aligned}[/math]

Già con il polinomio di terzo grado otteniamo un’approssimazione molto accurata, mentre l’aggiunta del termine di quinto grado migliora ulteriormente il risultato.

4. Verifica numerica con Python

Possiamo ripetere il calcolo utilizzando NumPy e confrontare le approssimazioni ottenute con il valore restituito dalla funzione sin().

import numpy as np

# Valore dell'argomento
x = 0.1

# Valore di riferimento
sin_esatto = np.sin(x)

# Polinomi di Maclaurin
p1 = x
p3 = x - x**3 / 6
p5 = x - x**3 / 6 + x**5 / 120

# Raccolta delle approssimazioni
approssimazioni = {
    "P1": p1,
    "P3": p3,
    "P5": p5
}

print(f"Valore NumPy: {sin_esatto:.12f}\n")

for nome, valore in approssimazioni.items():

    errore = abs(sin_esatto - valore)

    print(
        f"{nome}: {valore:.12f} "
        f"| Errore assoluto: {errore:.3e}"
    )

L’esecuzione restituisce valori approssimativamente pari a:

Valore NumPy: 0.099833416647

P1: 0.100000000000 | Errore assoluto: 1.666e-04
P3: 0.099833333333 | Errore assoluto: 8.331e-08
P5: 0.099833416667 | Errore assoluto: 1.987e-11

Il confronto conferma quanto previsto dall’analisi matematica: aggiungendo termini allo sviluppo, l’approssimazione migliora rapidamente per questo valore dell’argomento.

È importante distinguere, tuttavia, tra la verifica numerica e la dimostrazione teorica. Python mostra l’errore rispetto al valore calcolato dalla libreria NumPy, mentre il resto di Lagrange fornisce una garanzia matematica indipendente dal risultato numerico restituito dal programma.

Perché le serie di potenze sono importanti nell’analisi matematica

Gli sviluppi di Maclaurin del seno e del coseno mostrano come una funzione possa essere studiata attraverso una successione di polinomi, ciascuno dei quali ne approssima il comportamento con precisione crescente.

Il vantaggio non riguarda soltanto il calcolo numerico, perché la rappresentazione mediante serie permette di dimostrare proprietà che nella trattazione geometrica vengono generalmente accettate come risultati già acquisiti.

Abbiamo verificato la convergenza assoluta su tutta la retta reale, ricavato le relazioni tra le derivate del seno e del coseno, dimostrato le rispettive proprietà di simmetria e ricostruito l’identità fondamentale della trigonometria attraverso il calcolo differenziale.

Il collegamento con il resto di Lagrange aggiunge un ulteriore elemento: non ci limitiamo a ottenere un’approssimazione, ma possiamo anche stabilire quanto essa sia distante dal valore effettivo della funzione.

È proprio questa combinazione tra rappresentazione analitica, proprietà teoriche e controllo dell’errore a rendere le serie di potenze uno strumento centrale dell’Analisi matematica, con applicazioni che vanno dallo studio delle funzioni ai metodi numerici utilizzati nei programmi di calcolo scientifico.