Radicali ed Equazioni Esponenziali: Esercizi Svolti, Basi Coniugate e Metodi di Risoluzione

Capire dove si colloca la somma di due radici quadrate senza toccare la calcolatrice, o risolvere un’equazione esponenziale apparentemente complessa riducendola a un semplice polinomio di secondo grado, richiede di guardare oltre il calcolo meccanico.

Spesso i problemi proposti nei test e nelle competizioni matematiche non chiedono forza bruta, ma la capacità di riconoscere una simmetria nascosta: prodotti che fanno esattamente uno, basi reciproche e funzioni pari che si comportano in modo speculare. 

I due quesiti proposti appartengono a una famiglia di problemi nei quali il calcolo diretto non è necessario: la soluzione si ottiene riconoscendo alcune proprietà dei radicali, sfruttando le disuguaglianze e individuando particolari relazioni tra basi esponenziali.

Il primo esercizio richiede di determinare la parte intera di una somma di radicali, mentre il secondo propone un’equazione esponenziale nella quale le due basi sono legate da una proprietà particolarmente importante: il loro prodotto è uguale a 1.

Vediamo entrambi i problemi con tutti i passaggi, per poi affrontare quattro esercizi di livello più avanzato.

Esercizio 1 – Determinare la parte intera di una somma di radicali

Testo

Determinare, senza utilizzare la calcolatrice, la parte intera del numero:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{7}+\sqrt{13} \end{aligned}[/math]

Richiamo teorico

La parte intera di un numero reale [math]x[/math], indicata con [math]\lfloor x\rfloor[/math], è il massimo numero intero minore o uguale a [math]x[/math].

Per dimostrare che la parte intera di un numero è [math]n[/math], dobbiamo quindi verificare che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n\leq x<n+1 \end{aligned}[/math]

Non è necessario calcolare il valore decimale dei radicali: è sufficiente trovare due maggiorazioni e minorazioni che permettano di collocare la somma tra due interi consecutivi.

Soluzione

Consideriamo separatamente i due radicali.

Per il primo, osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac52<\sqrt7<3 \end{aligned}[/math]

Infatti, elevando al quadrato i termini, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{25}{4}<7<9 \end{aligned}[/math]

Le disuguaglianze sono vere e possiamo quindi concludere che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2{,}5<\sqrt7<3 \end{aligned}[/math]

Per il secondo radicale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac72<\sqrt{13}<4 \end{aligned}[/math]

perché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{49}{4}<13<16 \end{aligned}[/math]

Anche in questo caso le disuguaglianze sono verificate.

Sommiamo membro a membro le due coppie di disuguaglianze:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac52+\frac72 < \sqrt7+\sqrt{13} < 3+4 \end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 6<\sqrt7+\sqrt{13}<7 \end{aligned}[/math]

Abbiamo dimostrato che il numero cercato è compreso tra 6 e 7.

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\lfloor\sqrt7+\sqrt{13}\rfloor=6} \end{aligned}[/math]

Risultato verificato

Osservazione didattica

L’aspetto interessante dell’esercizio è che non abbiamo avuto bisogno di conoscere il valore approssimato dei radicali. Abbiamo utilizzato soltanto confronti tra quadrati, sfruttando il fatto che la funzione radice quadrata è strettamente crescente nell’insieme dei numeri non negativi.

È una tecnica molto utile negli esercizi in cui viene esplicitamente richiesto di non utilizzare la calcolatrice.

Esercizio 2 – Equazione esponenziale con basi coniugate

Testo

Risolvere, senza utilizzare la calcolatrice, l’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4+\sqrt{15})^x+(4-\sqrt{15})^x=62 \end{aligned}[/math]

Richiamo teorico

Quando compaiono due espressioni della forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a+b\sqrt{c} \qquad\text{e}\qquad a-b\sqrt{c} \end{aligned}[/math]

è opportuno controllare il loro prodotto.

Nel nostro caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15}) \end{aligned}[/math]

Applicando la formula della differenza di due quadrati:

[math]\displaystyle \begin{aligned} =4^2-(\sqrt{15})^2 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =16-15=1 \end{aligned}[/math]

Le due basi sono quindi reciproche.

Questa proprietà consente di ricondurre l’equazione a una forma molto più semplice.

Soluzione

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a=4+\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

e osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4-\sqrt{15}=\frac1a \end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+\frac1{a^x}=62 \end{aligned}[/math]

Introduciamo la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

Poiché [math]a>0[/math], si ha necessariamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t>0 \end{aligned}[/math]

L’equazione si trasforma in:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t=62 \end{aligned}[/math]

Moltiplichiamo entrambi i membri per [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2+1=62t \end{aligned}[/math]

Portiamo tutto a sinistra:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2-62t+1=0 \end{aligned}[/math]

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado.

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Delta=(-62)^2-4 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Delta=3844-4=3840 \end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{3840}=16\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=\frac{62\pm16\sqrt{15}}2 \end{aligned}[/math]

quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=31\pm8\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

A questo punto arriva il passaggio fondamentale.

Osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4+\sqrt{15})^2 = 16+15+8\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =31+8\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4-\sqrt{15})^2 = 31-8\sqrt{15} \end{aligned}[/math]

Pertanto le due soluzioni dell’equazione di secondo grado possono essere riscritte come:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^2 \end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Ricordando che [math]t=a^x[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=a^2 \end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Poiché [math]a=4+\sqrt{15}[/math] è positivo e diverso da 1, la funzione esponenziale di base [math]a[/math] è iniettiva.

Possiamo quindi uguagliare gli esponenti:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=2 \end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=-2 \end{aligned}[/math]

La soluzione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{S=\{-2,2\}} \end{aligned}[/math]

Risultato verificato

Verifica delle soluzioni

Per [math]x=2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4+\sqrt{15})^2+(4-\sqrt{15})^2 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =(31+8\sqrt{15})+(31-8\sqrt{15}) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =62 \end{aligned}[/math]

Per [math]x=-2[/math], poiché le due basi sono reciproche, si ottiene la stessa somma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (4+\sqrt{15})^{-2}+(4-\sqrt{15})^{-2}=62 \end{aligned}[/math]

Entrambe le soluzioni soddisfano l’equazione.

Un’osservazione importante

Una proprietà generale delle equazioni esponenziali con basi reciproche

Consideriamo l’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+a^{-x}=k \end{aligned}[/math]

con [math]a>0[/math] e [math]a\neq1[/math].

Introduciamo la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

Poiché una potenza con base positiva è sempre positiva, abbiamo [math]t>0[/math]. Inoltre:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^{-x}=\frac{1}{t} \end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t=k \end{aligned}[/math]

Moltiplicando per [math]t[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2-kt+1=0 \end{aligned}[/math]

Prima ancora di risolvere l’equazione di secondo grado, possiamo ricavare una proprietà importante.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{t+\frac1t}{2}\geq\sqrt{t\cdot\frac1t}=1 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t\geq2 \end{aligned}[/math]

e quindi l’equazione non può avere soluzioni reali se [math]k<2[/math].

Possiamo distinguere tre casi:

• Se [math]k<2[/math], non esistono soluzioni reali.
• Se [math]k=2[/math], l’equazione ammette una sola soluzione: [math]x=0[/math], perché [math]a^0=1[/math].
• Se [math]k>2[/math], esistono due soluzioni reali distinte e opposte.

Nel terzo caso, risolvendo l’equazione di secondo grado troviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_{1,2}=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}2 \end{aligned}[/math]

Il prodotto delle due radici è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1t_2=1 \end{aligned}[/math]

Le due soluzioni sono quindi reciproche. Tornando alla sostituzione, gli esponenti corrispondenti sono opposti.

La soluzione generale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ x=\pm\log_a\left( \frac{k+\sqrt{k^2-4}}2 \right) } \end{aligned}[/math]

dove [math]a>1[/math] oppure [math]0<a<1[/math], con [math]a\neq1[/math].

La simmetria delle soluzioni dipende dalla struttura dell’equazione, non dal fatto che la base sia maggiore di 1.

Quattro esercizi di livello più avanzato

Gli esercizi seguenti riprendono le tecniche appena utilizzate, introducendo qualche passaggio in più: confronti tra radicali meno immediati, basi reciproche, potenze successive e dimostrazioni dell’unicità delle soluzioni.

Esercizio 3 – Parte intera di una somma di tre radicali

Testo

Determinare senza calcolatrice:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left\lfloor\sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}\right\rfloor \end{aligned}[/math]

Soluzione dettagliata

Dobbiamo individuare due interi consecutivi tra i quali si trova la somma.

Partiamo dalle seguenti disuguaglianze:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2<\sqrt5<\frac94 \end{aligned}[/math]

La verifica è immediata:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4<5<\frac{81}{16} \end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 3<\sqrt{11}<\frac{10}{3} \end{aligned}[/math]

perché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 9<11<\frac{100}{9} \end{aligned}[/math]

Infine:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4<\sqrt{17}<\frac{17}{4} \end{aligned}[/math]

poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 16<17<\frac{289}{16} \end{aligned}[/math]

Sommiamo le disuguaglianze inferiori:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}>2+3+4 \end{aligned}[/math]

quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}>9 \end{aligned}[/math]

Per il limite superiore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}<\frac94+\frac{10}{3}+\frac{17}{4} \end{aligned}[/math]

Portiamo tutto al denominatore comune 12:

[math]\displaystyle \begin{aligned} <\frac{27+40+51}{12} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =\frac{118}{12}=\frac{59}{6} \end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{59}{6}<10 \end{aligned}[/math]

abbiamo dimostrato che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 9<\sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}<10 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\left\lfloor\sqrt5+\sqrt{11}+\sqrt{17}\right\rfloor=9} \end{aligned}[/math]

Commento

La difficoltà consiste nel trovare maggiorazioni sufficientemente precise. Non basta utilizzare gli interi immediatamente superiori ai radicali, perché la somma delle maggiorazioni potrebbe superare il limite che vogliamo dimostrare.

La scelta delle frazioni è quindi strategica: devono essere semplici da verificare elevando al quadrato, ma anche abbastanza vicine ai radicali da fornire un risultato utile.

Esercizio 4 – Equazione esponenziale con potenze successive

Testo

Risolvere nell’insieme dei numeri reali:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=14 \end{aligned}[/math]

Soluzione dettagliata

Cominciamo verificando il prodotto delle due basi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1 \end{aligned}[/math]

Le basi sono positive e reciproche, quindi possiamo scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2-\sqrt3=\frac1{2+\sqrt3} \end{aligned}[/math]

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a=2+\sqrt3 \end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+a^{-x}=14 \end{aligned}[/math]

Introduciamo la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

con [math]t>0[/math].

Otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t=14 \end{aligned}[/math]

Moltiplicando per [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2-14t+1=0 \end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Delta=196-4=192 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\Delta}=8\sqrt3 \end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=\frac{14\pm8\sqrt3}{2} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=7\pm4\sqrt3 \end{aligned}[/math]

Riconosciamo ora che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3 \end{aligned}[/math]

e:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3 \end{aligned}[/math]

Dunque:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^2 \qquad\text{oppure}\qquad t=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Tornando alla sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=a^2 \end{aligned}[/math]

oppure:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Dato che [math]a>1[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=2 \qquad\text{oppure}\qquad x=-2 \end{aligned}[/math]

La soluzione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{S=\{-2,2\}} \end{aligned}[/math]

Verifica

Per [math]x=2[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)^2+(2-\sqrt3)^2 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =(7+4\sqrt3)+(7-4\sqrt3)=14 \end{aligned}[/math]

Per [math]x=-2[/math], le due potenze si scambiano perché le basi sono reciproche, quindi la somma rimane invariata.

Entrambe le soluzioni sono corrette.

Commento matematico

L’esercizio è strutturalmente simile al secondo, ma permette di osservare una proprietà generale: quando le basi sono reciproche, l’equazione è simmetrica rispetto al cambio di segno dell’esponente.

Infatti, se:

[math]\displaystyle \begin{aligned} f(x)=a^x+a^{-x} \end{aligned}[/math]

allora:

[math]\displaystyle \begin{aligned} f(-x)=a^{-x}+a^x=f(x) \end{aligned}[/math]

La funzione è pari e, se ammette una soluzione positiva, ammette anche la corrispondente soluzione negativa.

Esercizio 5 – Equazione esponenziale e successione ricorrente

Testo

Risolvere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (3+2\sqrt2)^x+(3-2\sqrt2)^x=34 \end{aligned}[/math]

senza utilizzare la calcolatrice.

Soluzione dettagliata

Verifichiamo innanzitutto il prodotto delle basi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2) \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} =9-8=1 \end{aligned}[/math]

Possiamo quindi porre:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a=3+2\sqrt2 \end{aligned}[/math]

e riscrivere l’equazione come:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+a^{-x}=34 \end{aligned}[/math]

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t=34 \end{aligned}[/math]

Moltiplicando per [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2-34t+1=0 \end{aligned}[/math]

Il discriminante è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Delta=34^2-4=1152 \end{aligned}[/math]

e:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{1152}=24\sqrt2 \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=\frac{34\pm24\sqrt2}{2} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=17\pm12\sqrt2 \end{aligned}[/math]

Osserviamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (3+2\sqrt2)^2=9+8+12\sqrt2=17+12\sqrt2 \end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (3-2\sqrt2)^2=17-12\sqrt2 \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^2 \qquad\text{oppure}\qquad t=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=a^2 \qquad\text{oppure}\qquad a^x=a^{-2} \end{aligned}[/math]

Essendo [math]a>1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{S=\{-2,2\}} \end{aligned}[/math]

Un metodo alternativo: la successione ricorrente

Questo esercizio permette di introdurre una tecnica interessante, che diventa particolarmente utile quando gli esponenti sono interi.

Definiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S_n=a^n+a^{-n} \end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a+a^{-1}=6 \end{aligned}[/math]

abbiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S_0=2,\qquad S_1=6 \end{aligned}[/math]

Moltiplicando [math]S_n[/math] per [math]a+a^{-1}[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (a+a^{-1})(a^n+a^{-n}) \end{aligned}[/math]

otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^{n+1}+a^{n-1}+a^{-n+1}+a^{-n-1} \end{aligned}[/math]

Raggruppando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S_{n+1}=6S_n-S_{n-1} \end{aligned}[/math]

Possiamo quindi calcolare:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S_2=6\cdot6-2=34 \end{aligned}[/math]

La condizione richiesta è dunque soddisfatta per [math]x=2[/math], e per simmetria anche per [math]x=-2[/math].

La ricorrenza, da sola, riguarda gli esponenti interi; per dimostrare che non esistono altre soluzioni reali, si può utilizzare la sostituzione [math]t=a^x[/math] già vista.

Commento

Questa relazione ricorrente è collegata alle successioni di Lucas e alle identità algebriche generate da due radici reciproche. È un collegamento utile perché mostra come un’equazione esponenziale possa nascondere una struttura algebrica più ampia.

Esercizio 6 – Equazione esponenziale con basi reciproche e soluzioni irrazionali

Testo

Risolvere nell’insieme dei numeri reali:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=5 \end{aligned}[/math]

Richiamo teorico

Quando le basi di un’equazione esponenziale sono reciproche, possiamo ricondurre il problema a un’equazione algebrica mediante la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

Se però le soluzioni dell’equazione ausiliaria non corrispondono a potenze semplici della base, può essere necessario utilizzare i logaritmi.

Ricordiamo che, per [math]a>0[/math] e [math]a\neq1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=t \quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_a t \end{aligned}[/math]

Soluzione

Verifichiamo innanzitutto il prodotto delle due basi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1 \end{aligned}[/math]

Le basi sono quindi reciproche.

Poniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a=2+\sqrt3 \end{aligned}[/math]

L’equazione diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+a^{-x}=5 \end{aligned}[/math]

Introduciamo la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x \end{aligned}[/math]

con [math]t>0[/math].

Otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t+\frac1t=5 \end{aligned}[/math]

Moltiplichiamo per [math]t[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t^2-5t+1=0 \end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \Delta=25-4=21 \end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}2 \end{aligned}[/math]

Entrambe sono positive, quindi sono compatibili con la sostituzione.

In particolare:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_1=\frac{5+\sqrt{21}}2 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_2=\frac{5-\sqrt{21}}2 \end{aligned}[/math]

Poiché il prodotto delle radici è 1:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_2=\frac1{t_1} \end{aligned}[/math]

Torniamo ora alla variabile [math]x[/math].

Dalla prima soluzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=\frac{5+\sqrt{21}}2 \end{aligned}[/math]

ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=\log_a\left(\frac{5+\sqrt{21}}2\right) \end{aligned}[/math]

Dalla seconda:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x=\frac{5-\sqrt{21}}2 \end{aligned}[/math]

otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=\log_a\left(\frac{5-\sqrt{21}}2\right) \end{aligned}[/math]

Utilizzando la proprietà del logaritmo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \log_a\frac1u=-\log_a u \end{aligned}[/math]

possiamo esprimere le due soluzioni in forma simmetrica.

La soluzione finale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ S= \left\{ -\log_{2+\sqrt3}\left(\frac{5+\sqrt{21}}2\right), \log_{2+\sqrt3}\left(\frac{5+\sqrt{21}}2\right) \right\} } \end{aligned}[/math]

Oppure, in forma più compatta:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ x=\pm\log_{2+\sqrt3} \left(\frac{5+\sqrt{21}}2\right) } \end{aligned}[/math]

Verifica e unicità

La sostituzione ha prodotto un’equazione di secondo grado con due radici positive e distinte. Entrambe generano quindi una soluzione reale dell’equazione originaria.

Non possono esistere altre soluzioni, perché l’equazione ausiliaria è di secondo grado e la funzione esponenziale di base [math]a=2+\sqrt3[/math] è iniettiva.

 

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Errori comuni da evitare

Nelle espressioni con radicali

• Confondere la parte intera con l’arrotondamento. La parte intera è il massimo intero non superiore al numero, non l’intero più vicino.
• Elevare al quadrato senza verificare i segni. Il confronto tra radici quadrate si può effettuare elevando al quadrato perché tutti i termini considerati sono non negativi.
• Utilizzare maggiorazioni troppo grossolane. Se vogliamo dimostrare che una somma è minore di 7, non basta trovare una maggiorazione che dia 8.
• Approssimare i radicali inutilmente. Negli esercizi senza calcolatrice è preferibile costruire disuguaglianze esatte.

Nelle equazioni esponenziali

• Non controllare il prodotto delle basi. Quando le basi sono coniugate, la differenza di quadrati può rivelare immediatamente che sono reciproche.
• Dimenticare la condizione [math]t>0[/math]. Nella sostituzione [math]t=a^x[/math], il valore di [math]t[/math] è sempre strettamente positivo.
• Confondere basi reciproche e basi uguali. Se [math]b=1/a[/math], allora [math]b^x=a^{-x}[/math], non [math]a^x[/math].
• Accettare automaticamente tutte le radici dell’equazione ausiliaria. Occorre verificare che siano compatibili con il dominio della sostituzione.
• Dimenticare che la funzione esponenziale è iniettiva solo fissata una base positiva diversa da 1. È questa proprietà che consente di passare da [math]a^x=a^2[/math] a [math]x=2[/math].

La tecnica da ricordare

I problemi affrontati mostrano come il riconoscimento di una proprietà algebrica possa cambiare completamente il modo di affrontare un esercizio.

Nel caso dei radicali, non serve conoscere il valore decimale delle espressioni: basta costruire disuguaglianze sufficientemente precise per individuare l’intervallo in cui si trova il numero.

Nel caso delle equazioni esponenziali, invece, il passaggio decisivo consiste nel verificare se le basi sono reciproche.

Se:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ab=1 \end{aligned}[/math]

possiamo riscrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} a^x+b^x=a^x+a^{-x} \end{aligned}[/math]

e introdurre la sostituzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t=a^x>0 \end{aligned}[/math]

ottenendo un’equazione algebrica:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{t^2-kt+1=0} \end{aligned}[/math]

Il prodotto delle radici è uguale a 1 e questo spiega perché le soluzioni dell’equazione esponenziale, quando esistono, sono opposte.

La differenza tra un esercizio risolto meccanicamente e uno compreso davvero sta proprio qui: non ricordare soltanto una sequenza di passaggi, ma riconoscere la proprietà che permette di applicarli.

 

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