Rettangolo inscritto in un quarto di cerchio: 5 problemi svolti con il teorema di Pitagora

La difficoltà principale non consiste nell’applicare una formula già conosciuta, quanto nel tradurre correttamente le informazioni geometriche in relazioni tra segmenti. Una volta individuati i lati del triangolo rettangolo coinvolto, il problema assume una struttura algebrica precisa, che può essere affrontata con strategie differenti a seconda dei dati disponibili.

Partiremo da un problema nel quale occorre determinare il raggio della circonferenza, conoscendo due distanze esterne al rettangolo. Successivamente analizzeremo quattro varianti che permettono di approfondire la stessa configurazione attraverso generalizzazioni parametriche, identità notevoli, proprietà del quadrato e relazioni tra perimetro e diagonale.

Il problema principale: trovare il raggio conoscendo due distanze

Testo del problema

Nella figura è rappresentato un quarto di cerchio [math]ACD[/math], con centro in [math]A[/math].

All’interno del quarto di cerchio è inscritto il rettangolo [math]EAGF[/math], dove:

• [math]C,E,A[/math] sono allineati;
• [math]A,G,D[/math] sono allineati;
• [math]CE=2[/math];
• [math]DG=16[/math];
• [math]F[/math] appartiene all’arco di circonferenza [math]CD[/math].

Sapendo che [math]EAGF[/math] è un rettangolo, determinare il raggio del quarto di cerchio.

Analisi geometrica

Il primo passaggio consiste nell’individuare le lunghezze che dipendono dal raggio incognito.

Poiché [math]ACD[/math] è un quarto di cerchio con centro in [math]A[/math], i segmenti [math]AC[/math], [math]AD[/math] e [math]AF[/math] sono raggi della stessa circonferenza.

Indichiamo con [math]r[/math] il raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=AD=AF=r
\end{aligned}[/math]

Inoltre, essendo [math]EAGF[/math] un rettangolo, i lati opposti sono congruenti e gli angoli interni sono retti. In particolare:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EF=AG
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
FG=EA
\end{aligned}[/math]

Questa seconda relazione è importante perché consente di esprimere anche il cateto verticale del triangolo che utilizzeremo attraverso il segmento [math]AG[/math].

Consideriamo ora le distanze assegnate dal problema.

I punti [math]C,E,A[/math] sono allineati e [math]E[/math] si trova tra [math]C[/math] e [math]A[/math]. Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=CE+EA
\end{aligned}[/math]

Sostituendo i valori conosciuti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=2+EA
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EA=r-2
\end{aligned}[/math]

Analogamente, poiché [math]A,G,D[/math] sono allineati e [math]G[/math] si trova tra [math]A[/math] e [math]D[/math], possiamo scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AD=AG+GD
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=AG+16
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-16
\end{aligned}[/math]

Abbiamo così espresso entrambe le dimensioni del rettangolo in funzione del raggio incognito.

Applicazione del teorema di Pitagora

Il vertice [math]F[/math] appartiene alla circonferenza, perciò [math]AF[/math] coincide con il raggio.

Consideriamo il triangolo [math]AEF[/math], rettangolo in [math]E[/math], i cui lati sono:

• [math]AE=r-2[/math], primo cateto;
• [math]EF=AG=r-16[/math], secondo cateto;
• [math]AF=r[/math], ipotenusa.

Il teorema di Pitagora fornisce la relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF^2=AE^2+EF^2
\end{aligned}[/math]

Sostituendo le espressioni ricavate:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=(r-2)^2+(r-16)^2
\end{aligned}[/math]

Sviluppiamo i quadrati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=r^2-4r+4+r^2-32r+256
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini simili:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=2r^2-36r+260
\end{aligned}[/math]

Portiamo tutti i termini al primo membro:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2-36r+260=0
\end{aligned}[/math]

Il problema geometrico si è trasformato in un’equazione di secondo grado.

Risoluzione dell’equazione

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=b^2-4ac
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=(-36)^2-4\cdot1\cdot260
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=1296-1040=256
\end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{\Delta}=16
\end{aligned}[/math]

possiamo applicare la formula risolutiva:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=\frac{36\pm16}{2}
\end{aligned}[/math]

Otteniamo due soluzioni:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_1=\frac{36+16}{2}=26
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_2=\frac{36-16}{2}=10
\end{aligned}[/math]

Entrambi i valori soddisfano l’equazione algebrica, ma soltanto uno può rappresentare il raggio della circonferenza.

Per stabilirlo, dobbiamo tornare alla configurazione geometrica.

Il segmento [math]AG[/math] deve avere lunghezza positiva e sappiamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-16
\end{aligned}[/math]

Se scegliessimo [math]r=10[/math], otterremmo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=10-16=-6
\end{aligned}[/math]

Una lunghezza negativa non ha significato geometrico, quindi questa soluzione deve essere scartata.

Rimane:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=26
\end{aligned}[/math]

Il raggio del quarto di cerchio misura quindi 26 unità.

Verifica del risultato

Una verifica numerica permette di controllare che il valore trovato sia coerente con tutti i dati iniziali.

Con [math]r=26[/math], le dimensioni del rettangolo risultano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=26-2=24
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=26-16=10
\end{aligned}[/math]

Il triangolo rettangolo [math]AEF[/math] ha quindi cateti di lunghezza 24 e 10, mentre la sua ipotenusa deve coincidere con il raggio.

Verifichiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF^2=24^2+10^2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF^2=576+100=676
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF=\sqrt{676}=26
\end{aligned}[/math]

Il risultato coincide con il raggio della circonferenza e conferma la correttezza della soluzione.

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Esercizio 1 – Generalizzazione: due distanze qualsiasi

Livello avanzato – Equazione parametrica

Testo

Consideriamo un quarto di cerchio di centro [math]A[/math] e raggio [math]r[/math], al cui interno è inscritto un rettangolo [math]EAGF[/math], con il vertice [math]F[/math] appartenente all’arco di circonferenza.

I punti [math]C,E,A[/math] sono allineati, così come i punti [math]A,G,D[/math].

Sono assegnate le seguenti lunghezze:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=3,\qquad DG=12
\end{aligned}[/math]

Determinare il raggio della circonferenza e le dimensioni del rettangolo.

Soluzione

Indichiamo con [math]r[/math] il raggio della circonferenza. Come nel problema precedente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=AD=AF=r
\end{aligned}[/math]

Dalla prima distanza assegnata ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=AC-CE=r-3
\end{aligned}[/math]

Dalla seconda otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=AD-DG=r-12
\end{aligned}[/math]

Essendo [math]EAGF[/math] un rettangolo, vale anche [math]EF=AG[/math].

Il triangolo [math]AEF[/math] è rettangolo in [math]E[/math], con ipotenusa [math]AF=r[/math]. Possiamo quindi applicare Pitagora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=(r-3)^2+(r-12)^2
\end{aligned}[/math]

Sviluppando i quadrati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=r^2-6r+9+r^2-24r+144
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=2r^2-30r+153
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2-30r+153=0
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=30^2-4\cdot153
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=900-612=288
\end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{\Delta}=12\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=\frac{30\pm12\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}[/math]

ovvero:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=15\pm6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Dobbiamo ora verificare quale dei due valori sia compatibile con la geometria.

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-12
\end{aligned}[/math]

è necessario che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r>12
\end{aligned}[/math]

La soluzione con il segno negativo vale approssimativamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
15-6\sqrt{2}\approx6{,}515
\end{aligned}[/math]

e non soddisfa questa condizione.

Il raggio cercato è pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=15+6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo le dimensioni del rettangolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=r-3=12+6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-12=3+6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

I risultati sono quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=12+6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=3+6\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Una formula che vale per qualsiasi coppia di distanze

Il risultato permette di andare oltre il singolo esercizio e ricavare una relazione generale.

Indichiamo con:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=p,\qquad DG=q
\end{aligned}[/math]

dove [math]p[/math] e [math]q[/math] sono due lunghezze positive.

Le dimensioni del rettangolo diventano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=r-p
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-q
\end{aligned}[/math]

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=(r-p)^2+(r-q)^2
\end{aligned}[/math]

Sviluppando:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=r^2-2pr+p^2+r^2-2qr+q^2
\end{aligned}[/math]

Riordinando i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2-2(p+q)r+p^2+q^2=0
\end{aligned}[/math]

Le soluzioni dell’equazione sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=p+q\pm\sqrt{2pq}
\end{aligned}[/math]

Per stabilire quale sia geometricamente ammissibile, osserviamo che il raggio deve essere maggiore sia di [math]p[/math] sia di [math]q[/math].

Supponiamo, senza perdere generalità, che [math]q\geq p[/math]. Per la soluzione con il segno negativo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_-=p+q-\sqrt{2pq}
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]q\geq p>0[/math], risulta:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{2pq}>p
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_-<q
\end{aligned}[/math]

La soluzione con il segno negativo non può dunque rappresentare una configurazione con entrambi i lati del rettangolo positivi.

Rimane la soluzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=p+q+\sqrt{2pq}
\end{aligned}[/math]

La formula è valida per [math]p,q>0[/math], nel modello geometrico descritto.

Il vantaggio di questa generalizzazione è evidente: una volta riconosciuta la struttura del problema, non occorre ripetere ogni volta tutti i passaggi per risolvere l’equazione di secondo grado, purché siano rispettate le ipotesi geometriche.

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Esercizio 2 – Il problema inverso: conoscere il raggio e l’area

Livello avanzato – Identità algebriche e sistema

Testo

In un quarto di cerchio di centro [math]A[/math] e raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=25
\end{aligned}[/math]

è inscritto un rettangolo [math]EAGF[/math], con il vertice [math]F[/math] appartenente all’arco.

L’area del rettangolo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=300
\end{aligned}[/math]

Determinare le lunghezze dei lati del rettangolo e le distanze [math]CE[/math] e [math]DG[/math].

Soluzione

In questo caso conosciamo il raggio e l’area del rettangolo, mentre non sappiamo quanto misurino i suoi lati.

Indichiamo con:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=AE,\qquad y=AG
\end{aligned}[/math]

Poiché il rettangolo ha i lati opposti congruenti, vale anche:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EF=y
\end{aligned}[/math]

Il triangolo [math]AEF[/math] è rettangolo e la sua ipotenusa coincide con il raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF=25
\end{aligned}[/math]

Applicando Pitagora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=25^2
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=625
\end{aligned}[/math]

L’area del rettangolo fornisce una seconda relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy=300
\end{aligned}[/math]

Disponiamo quindi del sistema:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
x^2+y^2=625\\
xy=300
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

La presenza contemporanea della somma dei quadrati e del prodotto suggerisce di utilizzare un’identità notevole.

Ricordiamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
\end{aligned}[/math]

Sostituendo le informazioni conosciute:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y)^2=625+2\cdot300
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y)^2=1225
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]x[/math] e [math]y[/math] rappresentano lunghezze positive, scegliamo la radice positiva:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+y=35
\end{aligned}[/math]

Ora conosciamo sia la somma sia il prodotto dei due lati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
x+y=35\\
xy=300
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Possiamo determinare le due incognite considerando l’equazione di secondo grado le cui radici sono proprio [math]x[/math] e [math]y[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2-35t+300=0
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=35^2-4\cdot300
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=1225-1200=25
\end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=\frac{35\pm5}{2}
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t_1=20,\qquad t_2=15
\end{aligned}[/math]

Le dimensioni del rettangolo sono pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=20,\qquad AG=15
\end{aligned}[/math]

oppure, scambiando i due lati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=15,\qquad AG=20
\end{aligned}[/math]

Le due possibilità non rappresentano due rettangoli differenti per forma e dimensioni, ma due orientamenti della stessa configurazione rispetto ai due raggi del quarto di cerchio.

Calcolo delle distanze esterne

Poiché il raggio misura 25:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=AD=25
\end{aligned}[/math]

Ricordando le relazioni geometriche:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=AC-AE
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
DG=AD-AG
\end{aligned}[/math]

Se scegliamo [math]AE=20[/math] e [math]AG=15[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=25-20=5
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
DG=25-15=10
\end{aligned}[/math]

Una configurazione possibile è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=5,\qquad DG=10
\end{aligned}[/math]

Scambiando l’orientamento del rettangolo si ottiene anche:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=10,\qquad DG=5
\end{aligned}[/math]

Entrambe le configurazioni sono geometricamente ammissibili, perché tutte le lunghezze risultano positive.

Verifica

Per controllare il risultato, verifichiamo contemporaneamente area e diagonale.

L’area del rettangolo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=20\cdot15=300
\end{aligned}[/math]

La diagonale misura:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{20^2+15^2}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{400+225}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{625}=25
\end{aligned}[/math]

La diagonale coincide con il raggio, come richiesto dalla configurazione geometrica.

Il significato della strategia

La parte interessante di questo esercizio non è soltanto il risultato numerico, ma il modo in cui vengono combinate informazioni differenti.

Il teorema di Pitagora fornisce la somma dei quadrati dei lati, mentre la formula dell’area fornisce il loro prodotto. Attraverso un’identità notevole è possibile ricavare anche la somma dei lati e costruire l’equazione di secondo grado che permette di determinarli.

Questa strategia è particolarmente utile nei problemi in cui due grandezze incognite sono note attraverso la loro somma, il loro prodotto o la somma dei loro quadrati.

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Esercizio 3 – Quando il rettangolo diventa un quadrato

Livello avanzato – Diagonale, irrazionalità e area

Testo

In un quarto di cerchio di centro [math]A[/math] è inscritto un quadrato [math]EAGF[/math], con il vertice [math]F[/math] appartenente all’arco di circonferenza.

Il perimetro del quadrato è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P=40
\end{aligned}[/math]

Determinare:

• il raggio della circonferenza;
• le distanze [math]CE[/math] e [math]DG[/math];
• l’area della regione del quarto di cerchio non occupata dal quadrato.

Soluzione

Il dato iniziale permette di ricavare immediatamente il lato del quadrato.

Ricordiamo che il perimetro è quattro volte il lato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P=4l
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
l=\frac{40}{4}=10
\end{aligned}[/math]

Tutti i lati del quadrato misurano 10:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=AG=EF=FG=10
\end{aligned}[/math]

Determinazione del raggio

Consideriamo ancora il triangolo rettangolo [math]AEF[/math].

I suoi cateti sono entrambi uguali al lato del quadrato, mentre l’ipotenusa [math]AF[/math] coincide con il raggio della circonferenza.

Applicando Pitagora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF^2=AE^2+EF^2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=10^2+10^2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=200
\end{aligned}[/math]

Essendo il raggio positivo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=10\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Il risultato è coerente con la proprietà della diagonale del quadrato, che misura il lato moltiplicato per [math]\sqrt{2}[/math].

Determinazione delle distanze CE e DG

Sappiamo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=AD=10\sqrt{2}
\end{aligned}[/math]

Inoltre, dal momento che [math]AE=AG=10[/math], possiamo ricavare le distanze esterne al quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=AC-AE
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=10\sqrt{2}-10
\end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
DG=AD-AG
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
DG=10\sqrt{2}-10
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=DG=10(\sqrt{2}-1)
\end{aligned}[/math]

I due segmenti hanno necessariamente la stessa lunghezza perché il quadrato presenta lati uguali e i due raggi del quarto di cerchio sono congruenti.

Calcolo dell’area non occupata dal quadrato

Per determinare la regione compresa nel quarto di cerchio ma esterna al quadrato, dobbiamo sottrarre l’area del quadrato da quella del settore circolare.

L’area del quarto di cerchio è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_c=\frac{\pi r^2}{4}
\end{aligned}[/math]

Sostituendo il valore del raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_c=\frac{\pi\cdot200}{4}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_c=50\pi
\end{aligned}[/math]

L’area del quadrato è invece:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_q=l^2=10^2=100
\end{aligned}[/math]

La regione non occupata dal quadrato ha quindi area:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=S_c-S_q
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=50\pi-100
\end{aligned}[/math]

Utilizzando [math]\pi\approx3{,}14159[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S\approx157{,}08-100
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S\approx57{,}08
\end{aligned}[/math]

Un’osservazione geometrica

In questo caso il problema diventa particolarmente semplice grazie alla simmetria del quadrato.

La diagonale del quadrato coincide con il raggio della circonferenza, mentre le distanze esterne [math]CE[/math] e [math]DG[/math] risultano uguali.

È un esempio in cui una proprietà geometrica particolare, l’uguaglianza dei lati, riduce il numero delle incognite e rende immediata la determinazione delle altre grandezze.

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Esercizio 4 – Conoscere il perimetro del rettangolo e il raggio

Livello avanzato – Sistema, somma e prodotto

Testo

Consideriamo un quarto di cerchio di centro [math]A[/math] e raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=17
\end{aligned}[/math]

Al suo interno è inscritto un rettangolo [math]EAGF[/math], con [math]F[/math] appartenente all’arco.

Il perimetro del rettangolo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P=46
\end{aligned}[/math]

Determinare:

• le dimensioni del rettangolo;
• le distanze [math]CE[/math] e [math]DG[/math];
• l’area del rettangolo.

Soluzione

Introduciamo due incognite per rappresentare le dimensioni del rettangolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=AE,\qquad y=AG
\end{aligned}[/math]

Poiché i lati opposti sono congruenti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EF=y,\qquad FG=x
\end{aligned}[/math]

Il perimetro del rettangolo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P=2x+2y
\end{aligned}[/math]

Sostituendo il dato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
46=2x+2y
\end{aligned}[/math]

Dividendo entrambi i membri per 2:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x+y=23
\end{aligned}[/math]

Abbiamo così ricavato la somma delle due dimensioni.

Utilizzo del teorema di Pitagora

Il triangolo [math]AEF[/math] è rettangolo in [math]E[/math] e la sua ipotenusa coincide con il raggio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF=17
\end{aligned}[/math]

Applicando Pitagora:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=17^2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=289
\end{aligned}[/math]

Disponiamo ora di due relazioni:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
x+y=23\\
x^2+y^2=289
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Per ricavare il prodotto dei due lati utilizziamo l’identità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy
\end{aligned}[/math]

Sostituendo i valori conosciuti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
23^2=289+2xy
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
529=289+2xy
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2xy=240
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
xy=120
\end{aligned}[/math]

A questo punto conosciamo sia la somma sia il prodotto delle due incognite:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
x+y=23\\
xy=120
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Possiamo costruire l’equazione di secondo grado le cui radici sono proprio [math]x[/math] e [math]y[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t^2-23t+120=0
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=23^2-4\cdot120
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\Delta=529-480=49
\end{aligned}[/math]

Le soluzioni sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t=\frac{23\pm7}{2}
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t_1=15,\qquad t_2=8
\end{aligned}[/math]

Le dimensioni del rettangolo sono pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=15,\qquad AG=8
\end{aligned}[/math]

oppure, considerando l’orientamento opposto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=8,\qquad AG=15
\end{aligned}[/math]

Anche in questo caso le due possibilità corrispondono allo scambio dei lati rispetto ai due raggi.

Calcolo delle distanze esterne

Poiché il raggio misura 17:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=AD=17
\end{aligned}[/math]

Se scegliamo [math]AE=15[/math] e [math]AG=8[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=AC-AE=17-15=2
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
DG=AD-AG=17-8=9
\end{aligned}[/math]

Una configurazione possibile è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=2,\qquad DG=9
\end{aligned}[/math]

Scambiando i lati del rettangolo si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
CE=9,\qquad DG=2
\end{aligned}[/math]

Entrambe le configurazioni rispettano le condizioni geometriche.

Calcolo dell’area

L’area del rettangolo è il prodotto delle sue dimensioni:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=AE\cdot AG
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=15\cdot8
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=120
\end{aligned}[/math]

Verifica finale

La diagonale del rettangolo deve coincidere con il raggio della circonferenza.

Verifichiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{15^2+8^2}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{225+64}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
d=\sqrt{289}=17
\end{aligned}[/math]

La diagonale coincide con il raggio e il risultato è quindi corretto.

Il collegamento tra perimetro e diagonale

Questo esercizio mostra come due informazioni apparentemente indipendenti possano essere combinate per ricostruire le dimensioni di un rettangolo.

Il perimetro permette di conoscere la somma dei lati, mentre il teorema di Pitagora fornisce la somma dei loro quadrati. Attraverso l’identità del quadrato di un binomio si ricava il prodotto, ottenendo così tutti gli elementi necessari per costruire l’equazione di secondo grado.

È una strategia che ricorre frequentemente nei problemi di algebra e geometria, soprattutto quando le incognite compaiono attraverso relazioni simmetriche.

---

Perché questi problemi generano un’equazione di secondo grado?

Dopo aver analizzato le cinque configurazioni, possiamo riconoscere una struttura comune che merita di essere approfondita.

In tutti i problemi considerati compare un triangolo rettangolo la cui ipotenusa coincide con il raggio della circonferenza.

Indicando con [math]x[/math] e [math]y[/math] le dimensioni del rettangolo, la relazione fondamentale è sempre:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+y^2=r^2
\end{aligned}[/math]

Questa uguaglianza rappresenta il punto di partenza, ma non determina da sola le dimensioni del rettangolo. Per risolvere il problema occorre utilizzare le altre informazioni disponibili, che possono riguardare le distanze esterne, l’area oppure il perimetro.

La scelta del procedimento dipende quindi dai dati assegnati.

• Due distanze esterne al rettangolo: Equazione di secondo grado parametrica
• Raggio e area: Identità notevoli e prodotto
• Perimetro del quadrato: Calcolo della diagonale
• Raggio e perimetro del rettangolo: Sistema tra somma e somma dei quadrati

La differenza tra i procedimenti non dipende dalla figura geometrica, che rimane sostanzialmente invariata, ma dal tipo di informazione che dobbiamo utilizzare per determinare le incognite.

Questo è un aspetto importante del ragionamento matematico: prima di iniziare i calcoli conviene individuare quali relazioni siano effettivamente disponibili e capire quale combinazione di esse permetta di arrivare al risultato con il minor numero di passaggi.

Errori comuni da evitare

Questi problemi presentano alcune difficoltà ricorrenti, soprattutto quando si passa dalla rappresentazione geometrica alla scrittura delle equazioni.

Confondere il raggio con un lato del rettangolo

Il raggio non coincide con [math]AE[/math], [math]AG[/math] o [math]EF[/math], ma con il segmento [math]AF[/math], perché [math]F[/math] appartiene alla circonferenza di centro [math]A[/math].

La relazione corretta è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF^2=AE^2+EF^2
\end{aligned}[/math]

Confondere l’ipotenusa con uno dei cateti porta a impostare un’equazione non coerente con la figura.

Sommare anziché sottrarre le distanze assegnate

Nel problema principale, il punto [math]E[/math] si trova tra [math]C[/math] e [math]A[/math], quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AC=CE+EA
\end{aligned}[/math]

e di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=r-2
\end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=r-16
\end{aligned}[/math]

La posizione dei punti sulla retta determina il verso della relazione tra i segmenti e deve essere verificata prima di scrivere le espressioni algebriche.

Dimenticare che i lati opposti del rettangolo sono congruenti

La relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EF=AG
\end{aligned}[/math]

è essenziale perché consente di esprimere entrambi i cateti del triangolo [math]AEF[/math] attraverso le informazioni disponibili.

Accettare automaticamente entrambe le radici dell’equazione

Un’equazione di secondo grado può avere due soluzioni reali, ma questo non significa che entrambe rappresentino configurazioni geometriche possibili.

Nel problema principale, ad esempio, [math]r=10[/math] soddisfa l’equazione algebrica, ma produce:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AG=10-16=-6
\end{aligned}[/math]

Poiché una lunghezza non può essere negativa, questa soluzione deve essere scartata.

Trascurare le condizioni di esistenza

Nel modello generale, indicando con [math]p=CE[/math] e [math]q=DG[/math], occorre rispettare:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r>\max(p,q)
\end{aligned}[/math]

La disuguaglianza garantisce che entrambi i lati del rettangolo siano strettamente positivi.

Non verificare il risultato

Dopo aver trovato il raggio o le dimensioni del rettangolo, è sempre opportuno sostituire i valori nelle relazioni iniziali e controllare che il teorema di Pitagora sia soddisfatto.

La verifica non è un passaggio puramente formale, perché permette di accertare che la soluzione algebrica sia coerente con la configurazione geometrica.

Riepilogo delle strategie utilizzate

• Principale — Dati: [math]CE=2,\ DG=16[/math] — Risultato: [math]r=26[/math] — Strategia: Equazione di secondo grado
• Esercizio 1 — Dati: [math]CE=3,\ DG=12[/math] — Risultato: [math]r=15+6\sqrt2[/math] — Strategia: Generalizzazione parametrica
• Esercizio 2 — Dati: [math]r=25,\ S=300[/math] — Risultato: Lati 20 e 15 — Strategia: Identità notevoli
• Esercizio 3 — Dati: Perimetro quadrato 40 — Risultato: [math]r=10\sqrt2[/math] — Strategia: Diagonale e area
• Esercizio 4 — Dati: [math]r=17,\ P=46[/math] — Risultato: Lati 15 e 8 — Strategia: Somma e prodotto

Formulario: le relazioni da ricordare

Per affrontare problemi di questo tipo è utile raccogliere le relazioni geometriche e algebriche utilizzate più frequentemente.

Raggio e dimensioni del rettangolo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AF=r
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
AE=r-CE
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
EF=AG=r-DG
\end{aligned}[/math]

Teorema di Pitagora

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r^2=AE^2+AG^2
\end{aligned}[/math]

Area del rettangolo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S=AE\cdot AG
\end{aligned}[/math]

Perimetro del rettangolo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P=2(AE+AG)
\end{aligned}[/math]

Area del quarto di cerchio

[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_c=\frac{\pi r^2}{4}
\end{aligned}[/math]

Identità notevole

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
\end{aligned}[/math]

Formula generale del raggio

Quando sono note le distanze [math]CE=p[/math] e [math]DG=q[/math], il raggio si determina direttamente attraverso:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r=p+q+\sqrt{2pq}
\end{aligned}[/math]

La formula è valida per [math]p,q>0[/math] e per la configurazione geometrica descritta.

La geometria come punto di partenza per il ragionamento algebrico

Il problema del rettangolo inscritto in un quarto di cerchio mostra come una configurazione geometrica apparentemente elementare possa condurre a procedimenti algebrici differenti.

Nel problema iniziale è stato sufficiente individuare un triangolo rettangolo e tradurre correttamente le lunghezze in funzione del raggio incognito. Negli esercizi successivi, invece, abbiamo affrontato la stessa figura partendo da informazioni diverse, utilizzando identità notevoli, sistemi tra somma e prodotto e proprietà della diagonale.

Il passaggio più importante non consiste quindi nel ricordare una particolare equazione, ma nel riconoscere quali relazioni siano contenute nella figura e come possano essere combinate per determinare le grandezze richieste.

È proprio questo collegamento tra osservazione geometrica e costruzione algebrica che rende questi esercizi interessanti: il teorema di Pitagora non rappresenta soltanto una formula da applicare, ma diventa uno strumento attraverso il quale è possibile costruire e risolvere problemi matematici anche molto diversi tra loro.