Dalla massimizzazione dell’utilità alla minimizzazione della spesa

Quando si studia il comportamento del consumatore, il primo problema che si incontra è quello della scelta del paniere migliore compatibile con il reddito disponibile. Il consumatore conosce i prezzi, dispone di un budget limitato e cerca di ottenere il livello di utilità più elevato possibile.

Questo è il problema della massimizzazione dell’utilità, alla base della domanda marshalliana.

Esiste però una seconda prospettiva, altrettanto importante, che parte da un obiettivo diverso: invece di chiedersi quale utilità sia possibile raggiungere con un determinato reddito, si cerca di stabilire quanto occorre spendere per ottenere un livello di soddisfazione già fissato.

La domanda diventa quindi:

qual è il paniere meno costoso tra tutti quelli che garantiscono un’utilità almeno pari a quella desiderata?

È questo il problema della minimizzazione della spesa, che conduce alla funzione di spesa e alle domande hicksiane. Le due formulazioni sono strettamente collegate e descrivono lo stesso comportamento economico da punti di vista differenti.

La loro relazione costituisce la dualità del consumatore.

Il collegamento non è soltanto teorico. Permette di studiare come le quantità domandate reagiscono alle variazioni dei prezzi, di distinguere gli effetti di sostituzione dagli effetti di reddito e di ricavare le domande hicksiane attraverso il Lemma di Shephard.

In questo articolo affrontiamo sei esercizi progressivi, partendo dalle preferenze Cobb-Douglas e arrivando alle funzioni CES e quasi-lineari. Lungo il percorso incontreremo anche due situazioni che richiedono particolare attenzione: i punti angolosi, nei quali la soluzione ottima può non essere unica, e le soluzioni d’angolo, nelle quali il consumatore non acquista una quantità positiva di tutti i beni.

Due problemi, due prospettive sul consumatore

Indichiamo con [math]x[/math] e [math]y[/math] le quantità di due beni, con [math]p_x[/math] e [math]p_y[/math] i rispettivi prezzi e con [math]m[/math] il reddito disponibile.

Nel problema marshalliano il reddito è fissato e il consumatore sceglie il paniere che massimizza l’utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \max_{x,y} U(x,y) \end{aligned}[/math]

soggetto al vincolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_xx+p_yy\leq m. \end{aligned}[/math]

La soluzione fornisce le domande marshalliane:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=x(p,m), \qquad y=y(p,m). \end{aligned}[/math]

Nel problema hicksiano, invece, il livello di utilità è fissato e il consumatore cerca il paniere meno costoso che consenta di raggiungerlo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \min_{x,y} p_xx+p_yy \end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)\geq u. \end{aligned}[/math]

La soluzione fornisce le domande hicksiane:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=h_x(p,u), \qquad h_y=h_y(p,u). \end{aligned}[/math]

Aspetto	Problema marshalliano	Problema hicksiano
Obiettivo	Massimizzare l’utilità	Minimizzare la spesa
Vincolo	Reddito disponibile	Utilità obiettivo
Variabile fissata	Reddito [math]m[/math]	Utilità [math]u[/math]
Soluzione	Domanda marshalliana	Domanda hicksiana
Funzione associata	Utilità indiretta [math]v(p,m)[/math]	Funzione di spesa [math]e(p,u)[/math]

La differenza è importante quando si analizzano le variazioni dei prezzi. La domanda marshalliana descrive come cambia il paniere quando il consumatore mantiene invariato il reddito nominale, mentre quella hicksiana isola l’effetto della variazione dei prezzi mantenendo costante il livello di utilità.

Funzione di spesa, domanda hicksiana e Lemma di Shephard

La funzione di spesa è definita come il costo minimo necessario per raggiungere un determinato livello di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=\min_{x,y}\{p_xx+p_yy:U(x,y)\geq u\}. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane identificano le quantità dei beni che realizzano tale minimo.

Quando la funzione di spesa è differenziabile rispetto ai prezzi, il Lemma di Shephard stabilisce che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}=h_i(p,u)} \end{aligned}[/math]

In altre parole, la derivata della spesa minima rispetto al prezzo di un bene restituisce la quantità hicksiana domandata di quel bene.

Questa proprietà è particolarmente utile perché permette di ricavare le domande compensate direttamente dalla funzione di spesa, senza dover risolvere ogni volta il problema di minimizzazione.

La funzione di spesa possiede inoltre alcune proprietà importanti:

• è non decrescente nei prezzi, perché un aumento del prezzo di un bene non può ridurre il costo minimo necessario a raggiungere lo stesso livello di utilità;
• è non decrescente nel livello di utilità richiesto;
• è omogenea di grado 1 nei prezzi, perché moltiplicando tutti i prezzi per una stessa costante la spesa minima viene moltiplicata per quella costante;
• è concava rispetto ai prezzi, poiché è il minimo di una famiglia di funzioni lineari nei prezzi.

Le domande hicksiane sono invece omogenee di grado 0 nei prezzi: se tutti i prezzi vengono moltiplicati per la stessa costante positiva, le quantità ottimali non cambiano.

La dualità si completa attraverso due identità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{e(p,v(p,m))=m} \end{aligned}[/math]

e

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{h_i(p,v(p,m))=x_i(p,m)}. \end{aligned}[/math]

La prima afferma che la spesa minima necessaria per raggiungere l’utilità indiretta ottenibile con il reddito [math]m[/math] coincide proprio con quel reddito. La seconda stabilisce che, valutando la domanda hicksiana al livello di utilità effettivamente raggiunto dal consumatore, si ritrova la domanda marshalliana.

Queste identità saranno verificate nell’ultimo esercizio.

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Esercizio 1 — Cobb-Douglas simmetrica: funzione di spesa e Lemma di Shephard

Testo

Marta ha preferenze descritte dalla funzione di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}. \end{aligned}[/math]

I prezzi sono [math]p_x=4[/math] e [math]p_y=1[/math]. Marta desidera raggiungere un livello di utilità pari a [math]u=10[/math].

Calcolare:

• la funzione di spesa [math]e(p,u)[/math];
• le domande hicksiane [math]h_x[/math] e [math]h_y[/math];
• la spesa minima necessaria;
• la verifica del Lemma di Shephard;
• la spesa necessaria per raggiungere [math]u=20[/math].

Soluzione

Per una funzione di utilità Cobb-Douglas della forma:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=x^\alpha y^\beta, \qquad \alpha+\beta=1, \end{aligned}[/math]

la funzione di spesa è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=u \left(\frac{p_x}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{p_y}{\beta}\right)^\beta. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane si ottengono attraverso le quote di spesa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{\alpha e}{p_x}, \qquad h_y=\frac{\beta e}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Nel nostro caso gli esponenti sono entrambi pari a [math]1/2[/math], quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=u(2p_x)^{1/2}(2p_y)^{1/2}. \end{aligned}[/math]

Semplificando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{e(p,u)=2u\sqrt{p_xp_y}}. \end{aligned}[/math]

Sostituiamo i valori assegnati:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,10)=2\cdot10\sqrt{4\cdot1}=40. \end{aligned}[/math]

La spesa minima necessaria per raggiungere il livello di utilità desiderato è quindi pari a 40.

Calcoliamo ora le quantità hicksiane:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{1}{2}\frac{40}{4}=5, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=\frac{1}{2}\frac{40}{1}=20. \end{aligned}[/math]

Il paniere compensato è dunque:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{h(p,10)=(5,20)}. \end{aligned}[/math]

La verifica del vincolo di spesa conferma il risultato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 4\cdot5+1\cdot20=40. \end{aligned}[/math]

Verifica del Lemma di Shephard

Partiamo dalla funzione di spesa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=2u\sqrt{p_xp_y}. \end{aligned}[/math]

Derivando rispetto a [math]p_x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x} =u\sqrt{\frac{p_y}{p_x}}. \end{aligned}[/math]

Nel punto considerato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x} =10\sqrt{\frac{1}{4}}=5=h_x. \end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y} =u\sqrt{\frac{p_x}{p_y}}, \end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y} =10\sqrt{4}=20=h_y. \end{aligned}[/math]

Il Lemma di Shephard è verificato per entrambi i beni.

Variazione del livello di utilità

Se il livello di utilità desiderato passa da 10 a 20, la funzione di spesa raddoppia:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,20)=2\cdot20\sqrt{4}=80. \end{aligned}[/math]

Anche le quantità hicksiane raddoppiano:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=10,\qquad h_y=40. \end{aligned}[/math]

Questo risultato dipende dalla struttura omotetica delle preferenze Cobb-Douglas: in questo caso specifico, sia la spesa minima sia le quantità hicksiane sono proporzionali al livello di utilità richiesto.

Interpretazione economica

La soluzione mostra come la scelta compensata reagisca ai prezzi relativi. Poiché il bene [math]x[/math] costa quattro volte il bene [math]y[/math], il paniere ottimo contiene una quantità maggiore di [math]y[/math]. La funzione di spesa traduce questa scelta in un costo minimo, mentre il Lemma di Shephard permette di recuperare le quantità direttamente dalle variazioni marginali del costo.

Esercizio 2 — Cobb-Douglas asimmetrica: quote di spesa e variazione dei prezzi

Testo

Luca ha preferenze descritte dalla funzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}. \end{aligned}[/math]

I prezzi sono [math]p_x=3[/math] e [math]p_y=6[/math], mentre il livello di utilità desiderato è [math]u=12[/math].

Determinare:

• la funzione di spesa;
• le domande hicksiane;
• la spesa minima;
• la verifica del Lemma di Shephard;
• le quote di spesa dei due beni;
• la variazione di [math]h_x[/math] quando il prezzo [math]p_x[/math] aumenta da 3 a 6.

Soluzione

La funzione di utilità è ancora Cobb-Douglas, ma i due beni hanno pesi differenti:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \alpha=\frac13,\qquad \beta=\frac23. \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=u \left(\frac{p_x}{1/3}\right)^{1/3} \left(\frac{p_y}{2/3}\right)^{2/3}. \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ e(p,u)=u(3p_x)^{1/3} \left(\frac{3p_y}{2}\right)^{2/3} }. \end{aligned}[/math]

Sostituendo i prezzi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 3p_x=9, \qquad \frac{3p_y}{2}=9. \end{aligned}[/math]

La spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,12)=12\cdot9^{1/3}\cdot9^{2/3} =12\cdot9=108. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{\alpha e}{p_x} =\frac13\frac{108}{3}=12, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=\frac{\beta e}{p_y} =\frac23\frac{108}{6}=12. \end{aligned}[/math]

Il paniere compensato è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{h(p,12)=(12,12)}. \end{aligned}[/math]

La spesa associata al paniere è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 3\cdot12+6\cdot12=108. \end{aligned}[/math]

Verifica di Shephard e quote di spesa

Derivando la funzione di spesa rispetto ai prezzi si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x} =\frac{\alpha e}{p_x}=12=h_x, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y} =\frac{\beta e}{p_y}=12=h_y. \end{aligned}[/math]

Il Lemma di Shephard è quindi verificato.

Le quote di spesa sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s_x=\frac{p_xh_x}{e} =\frac{3\cdot12}{108} =\frac13, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} s_y=\frac{p_yh_y}{e} =\frac{6\cdot12}{108} =\frac23. \end{aligned}[/math]

Le quote coincidono con gli esponenti della funzione Cobb-Douglas, una proprietà caratteristica di questa famiglia di preferenze.

Aumento del prezzo di [math]x[/math]

Supponiamo che [math]p_x[/math] aumenti da 3 a 6, mentre [math]p_y[/math] rimane pari a 6.

La nuova spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=12(18)^{1/3}(9)^{2/3}. \end{aligned}[/math]

Poiché [math]18=2\cdot9[/math], possiamo scrivere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=108\cdot2^{1/3}. \end{aligned}[/math]

La nuova domanda hicksiana di [math]x[/math] diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{1}{3}\frac{108\cdot2^{1/3}}{6} =6\cdot2^{1/3} \approx7{,}56. \end{aligned}[/math]

La quantità compensata di [math]x[/math] diminuisce da 12 a circa 7,56, mentre la quota di spesa destinata al bene rimane pari a un terzo.

Interpretazione economica

Il risultato evidenzia una distinzione importante: una quota di spesa costante non implica una quantità acquistata costante. Quando il prezzo di [math]x[/math] aumenta, il consumatore deve destinare al bene una spesa maggiore per mantenere invariata la quota, ma il rincaro è tale da ridurre la quantità acquistata.

La domanda hicksiana registra quindi la sostituzione indotta dal cambiamento dei prezzi relativi, mantenendo costante il livello di utilità.

Esercizio 3 — Sostituti perfetti: punti angolosi e non unicità della domanda hicksiana

Testo

Alice considera bus e treno come servizi perfettamente sostituibili. Le sue preferenze sono rappresentate da:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=2x+y, \end{aligned}[/math]

dove [math]x[/math] indica gli abbonamenti al bus e [math]y[/math] quelli al treno.

I prezzi iniziali sono [math]p_x=1[/math] e [math]p_y=3[/math], mentre il livello di utilità desiderato è [math]u=8[/math].

Determinare:

• la funzione di spesa per tutti i possibili prezzi;
• le domande hicksiane;
• la spesa minima nel caso iniziale;
• la verifica del Lemma di Shephard;
• il comportamento del consumatore quando [math]p_x=6[/math] e [math]p_y=3[/math].

Soluzione

Con preferenze lineari, il consumatore confronta l’utilità ottenuta per ogni euro speso.

Per il bus:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{MU_x}{p_x}=\frac{2}{p_x}. \end{aligned}[/math]

Per il treno:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{MU_y}{p_y}=\frac{1}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Conviene acquistare esclusivamente il bene che offre la maggiore utilità per euro speso, a meno che i due rapporti non siano uguali.

Se si acquista soltanto il bene [math]x[/math], per raggiungere [math]u[/math] occorre:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2x=u\quad\Rightarrow\quad x=\frac{u}{2}. \end{aligned}[/math]

Il costo è [math]p_xu/2[/math].

Se si acquista soltanto il bene [math]y[/math], occorre [math]y=u[/math], con costo [math]p_yu[/math].

La funzione di spesa è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ e(p,u)=u\min\left\{\frac{p_x}{2},p_y\right\} }. \end{aligned}[/math]

La scelta dipende dal confronto tra [math]p_x/2[/math] e [math]p_y[/math].

Caso iniziale: [math]p_x=1[/math], [math]p_y=3[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{p_x}{2}=0{,}5<3=p_y, \end{aligned}[/math]

il bus è più conveniente in termini di utilità per euro speso.

Il consumatore acquista soltanto il bene [math]x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{u}{2}=4, \qquad h_y=0. \end{aligned}[/math]

La spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=1\cdot4+3\cdot0=4. \end{aligned}[/math]

Verifica di Shephard

Nel tratto in cui [math]p_x/2<p_y[/math], la funzione di spesa è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=\frac{up_x}{2}. \end{aligned}[/math]

Le derivate sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x}=\frac{u}{2}=4=h_x, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y}=0=h_y. \end{aligned}[/math]

Nel tratto in cui [math]p_x/2>p_y[/math], invece:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=up_y, \end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x}=0=h_x, \qquad \frac{\partial e}{\partial p_y}=u=h_y. \end{aligned}[/math]

In entrambi i tratti differenziabili il Lemma di Shephard restituisce le quantità hicksiane.

Caso particolare: [math]p_x=6[/math], [math]p_y=3[/math]

In questo caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{p_x}{2}=3=p_y. \end{aligned}[/math]

I due beni offrono la stessa utilità per euro speso. La funzione di spesa vale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=8\cdot3=24. \end{aligned}[/math]

A differenza dei casi precedenti, il paniere ottimo non è unico. Qualsiasi combinazione che soddisfi il vincolo di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2x+y=8 \end{aligned}[/math]

ha lo stesso costo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 6x+3y=3(2x+y)=24. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane sono quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x\in[0,4], \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=8-2h_x. \end{aligned}[/math]

Il consumatore può scegliere qualsiasi paniere compreso tra [math](0,8)[/math] e [math](4,0)[/math], senza modificare la spesa minima.

Il punto angoloso e la generalizzazione di Shephard

Nel punto in cui [math]p_x/2=p_y[/math], la funzione di spesa presenta un punto angoloso, detto anche kink, e non è differenziabile rispetto ai prezzi.

Non è quindi possibile applicare il Lemma di Shephard nella sua forma basata sulle derivate ordinarie. La relazione si generalizza attraverso i supergradienti, coerentemente con la concavità della funzione di spesa rispetto ai prezzi.

Nel caso considerato, le quantità hicksiane corrispondono alle pendenze compatibili con il superdifferenziale della funzione di spesa nel punto angoloso. La non unicità della domanda compensata non rappresenta una violazione del lemma, ma riflette la presenza di più panieri ugualmente convenienti.

Interpretazione economica

Questo esercizio mostra perché non sempre la domanda hicksiana è una funzione univoca dei prezzi e dell’utilità obiettivo. Quando due beni sono sostituti perfetti e offrono la stessa utilità per euro, il consumatore è indifferente tra diverse combinazioni.

Il punto angoloso nella funzione di spesa è la rappresentazione matematica di questa indifferenza.

Esercizio 4 — Leontief: preferenze a proporzioni fisse

Testo

Consideriamo un consumatore che utilizza due beni in proporzioni rigide, descritte dalla funzione di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=\min\{x,2y\}. \end{aligned}[/math]

I prezzi sono [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=5[/math], mentre il livello di utilità desiderato è [math]u=6[/math].

Determinare:

• le domande hicksiane;
• la funzione di spesa;
• la spesa minima;
• la verifica del Lemma di Shephard;
• l’effetto di una diminuzione del prezzo [math]p_y[/math] da 5 a 1.

Soluzione

La funzione di utilità è di tipo Leontief: i beni devono essere consumati in proporzioni fisse. Per ottenere un livello di utilità pari a [math]u[/math], occorre soddisfare entrambe le condizioni:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x\geq u, \qquad 2y\geq u. \end{aligned}[/math]

Poiché ogni quantità acquistata oltre queste soglie non aumenta il livello di utilità, il paniere meno costoso si trova nel punto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=u,\qquad y=\frac{u}{2}. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane sono pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{h_x=u,\qquad h_y=\frac{u}{2}}. \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa si ottiene sostituendo queste quantità nel costo del paniere:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=p_xu+p_y\frac{u}{2}. \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{e(p,u)=u\left(p_x+\frac{p_y}{2}\right)}. \end{aligned}[/math]

Calcolo numerico

Con [math]p_x=2[/math], [math]p_y=5[/math] e [math]u=6[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=6,\qquad h_y=3. \end{aligned}[/math]

La spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=6\left(2+\frac52\right) =6\cdot4{,}5=27. \end{aligned}[/math]

La verifica del vincolo di spesa restituisce:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2\cdot6+5\cdot3=27. \end{aligned}[/math]

Verifica di Shephard

Derivando la funzione di spesa rispetto ai prezzi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x}=u=6=h_x, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y}=\frac{u}{2}=3=h_y. \end{aligned}[/math]

Il Lemma di Shephard è verificato.

Diminuzione del prezzo di [math]y[/math]

Supponiamo ora che il prezzo del secondo bene scenda da 5 a 1.

La nuova spesa minima diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=6\left(2+\frac12\right)=15. \end{aligned}[/math]

Le quantità hicksiane rimangono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=6,\qquad h_y=3. \end{aligned}[/math]

La diminuzione del prezzo riduce il costo necessario a raggiungere l’utilità obiettivo, ma non modifica il paniere ottimo.

Interpretazione economica

Con preferenze Leontief non esiste una possibilità effettiva di sostituzione tra i beni: per ottenere un livello di utilità più elevato occorre aumentare entrambi nelle proporzioni richieste dalla funzione.

Una diminuzione del prezzo di uno dei beni produce quindi un risparmio, ma non induce il consumatore a modificare le quantità acquistate. La funzione di spesa è lineare nei prezzi e le domande hicksiane dipendono esclusivamente dal livello di utilità richiesto.

La stessa struttura matematica compare anche nei problemi di minimizzazione dei costi di una tecnologia produttiva a proporzioni fisse, pur trattandosi in quel caso di un problema di produzione e non di preferenze del consumatore.

Esercizio 5 — CES: elasticità di sostituzione costante

Testo

Una piattaforma digitale offre due servizi sostituibili, descritti dalla funzione di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2. \end{aligned}[/math]

I prezzi sono [math]p_x=9[/math] e [math]p_y=4[/math], mentre il livello di utilità desiderato è [math]u=25[/math].

Determinare:

• le domande hicksiane in funzione dei prezzi e dell’utilità;
• la funzione di spesa;
• la spesa minima e le quantità ottimali nel punto assegnato;
• la verifica del Lemma di Shephard;
• le variazioni delle domande quando [math]p_x[/math] scende a 4.

Soluzione

Il problema di minimizzazione della spesa è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \min_{x,y}\;p_xx+p_yy \end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=u. \end{aligned}[/math]

Poiché le quantità sono non negative, possiamo estrarre la radice quadrata dal vincolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{u}. \end{aligned}[/math]

La lagrangiana è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{L}=p_xx+p_yy+ \lambda\left(\sqrt{u}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\right). \end{aligned}[/math]

Le condizioni del primo ordine sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_x-\frac{\lambda}{2\sqrt{x}}=0, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_y-\frac{\lambda}{2\sqrt{y}}=0. \end{aligned}[/math]

Ricavando [math]\lambda[/math] dalle due equazioni:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \lambda=2p_x\sqrt{x} =2p_y\sqrt{y}. \end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_x\sqrt{x}=p_y\sqrt{y}. \end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{y}=\frac{p_x}{p_y}\sqrt{x}. \end{aligned}[/math]

Sostituendo nel vincolo di utilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{x}+\frac{p_x}{p_y}\sqrt{x} =\sqrt{u}. \end{aligned}[/math]

Raccogliendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{x}\left(1+\frac{p_x}{p_y}\right)=\sqrt{u}. \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{x}=\frac{p_y\sqrt{u}}{p_x+p_y}. \end{aligned}[/math]

Elevando al quadrato otteniamo la prima domanda hicksiana:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ h_x(p,u)=\frac{up_y^2}{(p_x+p_y)^2} }. \end{aligned}[/math]

Con un procedimento analogo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ h_y(p,u)=\frac{up_x^2}{(p_x+p_y)^2} }. \end{aligned}[/math]

Derivazione della funzione di spesa

Sostituiamo le domande hicksiane nella funzione di costo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=p_xh_x+p_yh_y. \end{aligned}[/math]

Otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)= p_x\frac{up_y^2}{(p_x+p_y)^2} + p_y\frac{up_x^2}{(p_x+p_y)^2}. \end{aligned}[/math]

Raccogliendo i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)= \frac{up_xp_y(p_x+p_y)} {(p_x+p_y)^2}. \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ e(p,u)=\frac{up_xp_y}{p_x+p_y} }. \end{aligned}[/math]

Calcolo numerico con [math]p_x=9[/math], [math]p_y=4[/math], [math]u=25[/math]

La spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=\frac{25\cdot9\cdot4}{9+4} =\frac{900}{13} \approx69{,}23. \end{aligned}[/math]

La domanda hicksiana del primo bene è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x= \frac{25\cdot4^2}{(9+4)^2} =\frac{400}{169} \approx2{,}37. \end{aligned}[/math]

Per il secondo bene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y= \frac{25\cdot9^2}{(9+4)^2} =\frac{2025}{169} \approx11{,}98. \end{aligned}[/math]

Il paniere compensato è pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ h(p,25)\approx(2{,}37;\,11{,}98) }. \end{aligned}[/math]

La verifica del costo restituisce:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 9\cdot\frac{400}{169} + 4\cdot\frac{2025}{169} = \frac{11700}{169} = \frac{900}{13}. \end{aligned}[/math]

Il risultato coincide con la funzione di spesa.

Verifica del Lemma di Shephard

Partiamo da:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,u)=\frac{up_xp_y}{p_x+p_y}. \end{aligned}[/math]

Derivando rispetto a [math]p_x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x} = u\frac{p_y^2}{(p_x+p_y)^2} =h_x. \end{aligned}[/math]

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y} = u\frac{p_x^2}{(p_x+p_y)^2} =h_y. \end{aligned}[/math]

Il Lemma di Shephard è verificato per entrambi i beni.

Variazione del prezzo di [math]x[/math]

Supponiamo che [math]p_x[/math] scenda da 9 a 4, mentre [math]p_y[/math] rimane pari a 4.

La nuova spesa minima diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=\frac{25\cdot4\cdot4}{4+4}=50. \end{aligned}[/math]

Le nuove quantità hicksiane sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=\frac{25\cdot4^2}{(4+4)^2} =\frac{400}{64}=6{,}25, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=\frac{25\cdot4^2}{(4+4)^2} =6{,}25. \end{aligned}[/math]

Il consumatore aumenta la quantità compensata del primo bene, diventato relativamente meno costoso, e riduce quella del secondo.

Interpretazione economica: il ruolo dell’elasticità di sostituzione

La funzione considerata appartiene alla famiglia CES (Constant Elasticity of Substitution). Può essere riscritta come:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)= \left(x^\rho+y^\rho\right)^{1/\rho}, \qquad \rho=\frac12. \end{aligned}[/math]

L’elasticità di sostituzione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sigma=\frac{1}{1-\rho}=2. \end{aligned}[/math]

Il valore indica una possibilità di sostituzione positiva e finita: i beni possono sostituirsi, ma non sono sostituti perfetti. La variazione dei prezzi modifica quindi la composizione del paniere compensato, come si osserva passando da una domanda di [math]x[/math] pari a circa 2,37 a una domanda pari a 6,25.

Il confronto con gli esercizi precedenti chiarisce il ruolo delle preferenze: con Leontief le quantità restano bloccate in proporzioni fisse, con i sostituti perfetti il consumatore può concentrarsi interamente su un bene, mentre con la CES la sostituzione avviene in modo graduale.

Esercizio 6 — Preferenze quasi-lineari: dualità completa e soluzione d’angolo

Testo

Carlo ha preferenze quasi-lineari descritte dalla funzione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U(x,y)=x+\ln y. \end{aligned}[/math]

I prezzi sono [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=1[/math], mentre il reddito disponibile è [math]m=10[/math].

Determinare:

• la domanda marshalliana e l’utilità indiretta;
• la funzione di spesa e le domande hicksiane;
• la verifica delle identità duali;
• il comportamento del consumatore quando [math]m\leq p_x[/math].

Soluzione

La domanda marshalliana

Il problema del consumatore è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \max_{x,y}\;x+\ln y \end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_xx+p_yy\leq m. \end{aligned}[/math]

Calcoliamo le utilità marginali:

[math]\displaystyle \begin{aligned} MU_x=1, \qquad MU_y=\frac{1}{y}. \end{aligned}[/math]

Il saggio marginale di sostituzione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} MRS=\frac{MU_x}{MU_y}=y. \end{aligned}[/math]

In una soluzione interna, la condizione di tangenza impone:

[math]\displaystyle \begin{aligned} MRS=\frac{p_x}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y=\frac{p_x}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Sostituendo nel vincolo di bilancio:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_xx+p_y\frac{p_x}{p_y}=m. \end{aligned}[/math]

Semplificando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_xx+p_x=m. \end{aligned}[/math]

Da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=\frac{m}{p_x}-1. \end{aligned}[/math]

La soluzione interna richiede [math]x>0[/math], cioè:

[math]\displaystyle \begin{aligned} m>p_x. \end{aligned}[/math]

La domanda marshalliana può quindi essere scritta come:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ x(p,m)=\max\left\{0,\frac{m}{p_x}-1\right\} }. \end{aligned}[/math]

Per il secondo bene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ y(p,m)= \min\left\{\frac{p_x}{p_y},\frac{m}{p_y}\right\} }. \end{aligned}[/math]

Con i valori assegnati:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y=\frac21=2, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=\frac{10}{2}-1=4. \end{aligned}[/math]

Il paniere marshalliano è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{x=4,\qquad y=2}. \end{aligned}[/math]

L’utilità indiretta

Sostituendo le domande nella funzione di utilità, nel caso interno otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} v(p,m)= \frac{m}{p_x}-1+ \ln\left(\frac{p_x}{p_y}\right). \end{aligned}[/math]

Nel punto considerato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} v(p,10)=4+\ln2 \approx4{,}693. \end{aligned}[/math]

Se invece [math]m\leq p_x[/math], il consumatore non dispone di reddito sufficiente per acquistare una quantità positiva di [math]x[/math] nella soluzione ottima. Il paniere diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=0,\qquad y=\frac{m}{p_y}. \end{aligned}[/math]

L’utilità indiretta è allora:

[math]\displaystyle \begin{aligned} v(p,m)=\ln\left(\frac{m}{p_y}\right). \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa e le domande hicksiane

Passiamo al problema duale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \min_{x,y}\;p_xx+p_yy \end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x+\ln y\geq u. \end{aligned}[/math]

Per una soluzione interna, la condizione di tangenza è ancora:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y=\frac{p_x}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Dal vincolo di utilità ricaviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=u-\ln\left(\frac{p_x}{p_y}\right). \end{aligned}[/math]

La quantità di [math]x[/math] deve essere non negativa. Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ h_x(p,u)= \max\left\{ 0,\, u-\ln\left(\frac{p_x}{p_y}\right) \right\} }. \end{aligned}[/math]

Per il secondo bene, la domanda hicksiana è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ h_y(p,u)= \min\left\{ \frac{p_x}{p_y},e^u \right\} }. \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa assume due espressioni, a seconda che il livello di utilità richiesto sia raggiungibile senza acquistare il bene [math]x[/math] oppure richieda una soluzione interna:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ e(p,u)= \begin{cases} p_ye^u, & u\leq\ln(p_x/p_y),\\[4pt] p_x\left(u+1-\ln(p_x/p_y)\right), & u\geq\ln(p_x/p_y). \end{cases} }. \end{aligned}[/math]

Nel primo tratto, il consumatore raggiunge l’utilità desiderata acquistando soltanto [math]y[/math]. Nel secondo, acquista entrambi i beni.

Con i prezzi assegnati e il livello di utilità ottenuto nella soluzione marshalliana:

[math]\displaystyle \begin{aligned} u=v=4+\ln2. \end{aligned}[/math]

Le domande hicksiane sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=\frac{p_x}{p_y}=2, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=4+\ln2-\ln2=4. \end{aligned}[/math]

Il paniere compensato coincide quindi con quello marshalliano:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{h(p,v)=(4,2)}. \end{aligned}[/math]

La spesa minima è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=2\cdot4+1\cdot2=10. \end{aligned}[/math]

Verifica delle identità duali

La prima identità richiede:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e(p,v(p,m))=m. \end{aligned}[/math]

Sostituendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=2\left[(4+\ln2)+1-\ln2\right]=10. \end{aligned}[/math]

La spesa minima coincide con il reddito disponibile.

La seconda identità richiede:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h(p,v(p,m))=x(p,m). \end{aligned}[/math]

Abbiamo ottenuto:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=4=x(p,m), \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_y=2=y(p,m). \end{aligned}[/math]

Anche la seconda identità è verificata.

Il caso d’angolo

Supponiamo ora che il reddito sia [math]m=1[/math], mantenendo [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=1[/math].

Poiché [math]m\leq p_x[/math], la soluzione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} x=0,\qquad y=1. \end{aligned}[/math]

L’utilità indiretta diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} v=\ln1=0. \end{aligned}[/math]

La funzione di spesa nel punto [math]u=0[/math] restituisce:

[math]\displaystyle \begin{aligned} e=p_ye^0=1. \end{aligned}[/math]

La spesa minima coincide nuovamente con il reddito.

Le domande hicksiane sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} h_x=0,\qquad h_y=1. \end{aligned}[/math]

Anche in questo caso il Lemma di Shephard è verificato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_x}=0=h_x, \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial p_y}=e^u=1=h_y. \end{aligned}[/math]

Nel punto di raccordo [math]u=\ln(p_x/p_y)[/math], le due espressioni della funzione di spesa coincidono. Anche le derivate rispetto ai prezzi sono compatibili con le domande hicksiane: la funzione cambia formula, ma non presenta un punto angoloso rispetto ai prezzi in quel punto.

Interpretazione economica: l’effetto reddito nella quasi-linearità

La caratteristica più interessante delle preferenze quasi-lineari emerge nella soluzione interna. La domanda del bene [math]y[/math] dipende esclusivamente dal rapporto tra i prezzi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} y=\frac{p_x}{p_y}. \end{aligned}[/math]

Il reddito aggiuntivo non modifica la quantità acquistata di [math]y[/math], ma viene interamente destinato al bene [math]x[/math]. Nel tratto interno, quindi, la quasi-linearità elimina l’effetto reddito sulla domanda di [math]y[/math].

Questo comportamento non vale quando il reddito è troppo basso per acquistare entrambi i beni: in quel caso il consumatore si trova in una soluzione d’angolo e la domanda di [math]y[/math] dipende dal reddito disponibile.

La funzione di spesa non è pertanto globalmente lineare nel livello di utilità. Nel tratto interno è lineare in [math]u[/math], con pendenza [math]p_x[/math], mentre nel tratto d’angolo cresce secondo la funzione esponenziale [math]p_ye^u[/math].

---

Un confronto tra le sei strutture di preferenza

I sei esercizi mostrano come la forma della funzione di utilità determini la risposta del consumatore alle variazioni dei prezzi.

Preferenze	Caratteristica principale	Comportamento della domanda hicksiana
Cobb-Douglas simmetrica	Quote di spesa uguali	Le quantità dipendono da prezzi e utilità
Cobb-Douglas asimmetrica	Quote di spesa differenti	Le quote restano pari agli esponenti
Sostituti perfetti	Sostituzione completa	Il consumatore sceglie il bene più conveniente; al pareggio l’ottimo non è unico
Leontief	Proporzioni fisse	Le quantità non cambiano al variare dei prezzi
CES	Elasticità di sostituzione costante	La composizione del paniere varia gradualmente
Quasi-lineari	Effetto reddito nullo su un bene nel tratto interno	Il reddito aggiuntivo viene destinato all’altro bene

Il confronto permette di leggere la funzione di spesa non soltanto come uno strumento per calcolare un costo, ma come una sintesi del comportamento economico incorporato nelle preferenze.

Le Cobb-Douglas descrivono una ripartizione stabile della spesa, i sostituti perfetti generano scelte concentrate su un singolo bene, mentre le preferenze Leontief impediscono qualsiasi sostituzione. Le CES introducono un grado intermedio di sostituibilità e le quasi-lineari mostrano come la risposta al reddito possa essere diversa tra i beni.

Un ponte tra teoria e calcolo interattivo: simulare la dualità con Python

Le formule degli esercizi permettono di calcolare analiticamente la funzione di spesa e le domande hicksiane, ma una rappresentazione grafica può aiutare a comprendere come cambia il paniere ottimo quando variano i prezzi o il livello di utilità desiderato.

Nel piano [math](x,y)[/math], la curva di indifferenza individua tutti i panieri che garantiscono lo stesso livello di utilità. La retta di isospesa rappresenta invece i panieri che hanno lo stesso costo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} p_xx+p_yy=e. \end{aligned}[/math]

Il paniere hicksiano si trova nel punto in cui la retta di isospesa minima raggiunge la curva di indifferenza obiettivo. Quando la soluzione è interna, il punto ottimo corrisponde a una tangenza; con preferenze a sostituti perfetti o Leontief, invece, la soluzione può trovarsi in un punto angoloso.

Il codice seguente utilizza Python, Matplotlib e ipywidgets per costruire un piccolo ambiente esplorativo. È possibile selezionare una delle sei strutture di preferenza, modificare i prezzi e variare il livello di utilità obiettivo, osservando come cambiano il paniere compensato e la spesa minima.

Il codice è pensato per essere eseguito in Google Colab o Jupyter Notebook. In un ambiente in cui ipywidgets non è già disponibile, può essere necessario installarlo con:

%pip install ipywidgets matplotlib numpy

Codice Python completo

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import ipywidgets as widgets

from IPython.display import display


def calcola_e_disegna(pref_tipo, px, py, u):
    """
    Calcola la funzione di spesa e le domande hicksiane
    per sei tipologie di preferenze.

    Visualizza:
    - curva di indifferenza;
    - retta di isospesa minima;
    - paniere hicksiano ottimo.

    Parametri
    ---------
    pref_tipo : str
        Tipologia di preferenze selezionata.
    px : float
        Prezzo del bene x.
    py : float
        Prezzo del bene y.
    u : float
        Livello di utilità desiderato.
    """

    # Intervallo utilizzato per il grafico
    x = np.linspace(0.01, 30, 500)

    # Inizializzazione delle variabili
    hx = 0.0
    hy = 0.0
    spesa = 0.0
    titolo_pref = ""

    # =====================================================
    # 1. COBB-DOUGLAS SIMMETRICA
    # U(x,y) = sqrt(x*y)
    # =====================================================

    if pref_tipo == "1. Cobb-Douglas simmetrica":

        titolo_pref = "Cobb-Douglas simmetrica"

        # Curva di indifferenza: y = u² / x
        y_ind = (u ** 2) / x

        # Funzione di spesa
        spesa = 2 * u * np.sqrt(px * py)

        # Domande hicksiane
        hx = u * np.sqrt(py / px)
        hy = u * np.sqrt(px / py)

    # =====================================================
    # 2. COBB-DOUGLAS ASIMMETRICA
    # U(x,y) = x^(1/3) * y^(2/3)
    # =====================================================

    elif pref_tipo == "2. Cobb-Douglas asimmetrica":

        titolo_pref = "Cobb-Douglas asimmetrica"

        # Curva di indifferenza
        y_ind = (u / (x ** (1 / 3))) ** (3 / 2)

        # Funzione di spesa
        spesa = (
            u
            * (3 * px) ** (1 / 3)
            * (3 * py / 2) ** (2 / 3)
        )

        # Domande hicksiane
        hx = spesa / (3 * px)
        hy = 2 * spesa / (3 * py)

    # =====================================================
    # 3. SOSTITUTI PERFETTI
    # U(x,y) = 2x + y
    # =====================================================

    elif pref_tipo == "3. Sostituti perfetti":

        titolo_pref = "Sostituti perfetti"

        # La curva di indifferenza termina sull'asse x
        y_ind = np.where(
            x <= u / 2,
            u - 2 * x,
            np.nan
        )

        # Confronto tra i costi per unità di utilità
        costo_x = px / 2
        costo_y = py

        if costo_x < costo_y:

            # Conviene acquistare soltanto x
            hx = u / 2
            hy = 0.0
            spesa = px * hx

        elif costo_x > costo_y:

            # Conviene acquistare soltanto y
            hx = 0.0
            hy = u
            spesa = py * hy

        else:

            # Al punto di pareggio esistono infiniti
            # panieri ottimi. Si rappresenta uno di essi.
            hx = u / 4
            hy = u / 2
            spesa = py * u

    # =====================================================
    # 4. LEONTIEF
    # U(x,y) = min(x, 2y)
    # =====================================================

    elif pref_tipo == "4. Leontief":

        titolo_pref = "Leontief"

        # Domande hicksiane: proporzioni fisse
        hx = u
        hy = u / 2

        # Funzione di spesa
        spesa = px * hx + py * hy

        # La curva di indifferenza a L viene
        # disegnata separatamente nei due rami.
        y_ind = np.full_like(x, np.nan)

    # =====================================================
    # 5. CES CON ELASTICITÀ DI SOSTITUZIONE = 2
    # U(x,y) = (sqrt(x) + sqrt(y))²
    # =====================================================

    elif pref_tipo == "5. CES (sigma = 2)":

        titolo_pref = "CES con sigma = 2"

        sqrt_u = np.sqrt(u)

        # Curva di indifferenza:
        # sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(u)
        y_ind = np.where(
            x <= u,
            (sqrt_u - np.sqrt(x)) ** 2,
            np.nan
        )

        # Funzione di spesa
        spesa = u / (
            (1 / px) + (1 / py)
        )

        # Domande hicksiane
        hx = u / (
            px ** 2
            * ((1 / px) + (1 / py)) ** 2
        )

        hy = u / (
            py ** 2
            * ((1 / px) + (1 / py)) ** 2
        )

    # =====================================================
    # 6. QUASI-LINEARE
    # U(x,y) = x + ln(y)
    # =====================================================

    elif pref_tipo == "6. Quasi-lineare":

        titolo_pref = "Quasi-lineare"

        # Curva di indifferenza:
        # y = exp(u - x)
        y_ind = np.exp(
            np.clip(u - x, -20, 20)
        )

        rapporto_prezzi = px / py

        # Soluzione interna
        if u >= np.log(rapporto_prezzi):

            hx = u - np.log(rapporto_prezzi)
            hy = rapporto_prezzi

            spesa = px * hx + py * hy

        # Soluzione d'angolo: x = 0
        else:

            hx = 0.0
            hy = np.exp(u)

            spesa = py * hy

    else:
        raise ValueError("Tipologia di preferenze non riconosciuta.")

    # =====================================================
    # COSTRUZIONE DEL GRAFICO
    # =====================================================

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))

    # Curva di indifferenza
    ax.plot(
        x,
        y_ind,
        linewidth=2.5,
        label=f"Curva di indifferenza U = {u:.2f}"
    )

    # Curva di indifferenza a L per Leontief
    if pref_tipo == "4. Leontief":

        # Ramo orizzontale
        ax.plot(
            [u, 30],
            [u / 2, u / 2],
            linewidth=2.5,
            label="Curva di indifferenza"
        )

        # Ramo verticale
        ax.plot(
            [u, u],
            [u / 2, 30],
            linewidth=2.5
        )

    # Retta di isospesa minima
    x_iso = np.linspace(0, 30, 500)

    y_iso = (spesa - px * x_iso) / py

    # Mantiene soltanto i valori nel primo quadrante
    y_iso = np.where(
        y_iso >= 0,
        y_iso,
        np.nan
    )

    ax.plot(
        x_iso,
        y_iso,
        linestyle="--",
        linewidth=2,
        label=f"Isospesa minima: {spesa:.2f}"
    )

    # Paniere hicksiano ottimo
    if 0 <= hx <= 30 and 0 <= hy <= 30:

        ax.scatter(
            hx,
            hy,
            s=100,
            zorder=5,
            label=f"H = ({hx:.2f}, {hy:.2f})"
        )

    # Impostazioni del grafico
    ax.set_xlim(0, 30)
    ax.set_ylim(0, 30)

    ax.set_xlabel("Bene x")
    ax.set_ylabel("Bene y")

    ax.set_title(
        f"{titolo_pref}\n"
        f"Spesa minima e(p,u) = {spesa:.2f}"
    )

    ax.legend()
    ax.grid(
        True,
        linestyle=":",
        alpha=0.6
    )

    plt.tight_layout()
    plt.show()

    # =====================================================
    # RISULTATI NUMERICI
    # =====================================================

    print(f"Domanda hicksiana x: {hx:.4f}")
    print(f"Domanda hicksiana y: {hy:.4f}")
    print(f"Spesa minima: {spesa:.4f}")

    costo_verifica = px * hx + py * hy

    print(
        f"Verifica del costo: {costo_verifica:.4f}"
    )


# =========================================================
# INTERFACCIA INTERATTIVA
# =========================================================

dropdown_pref = widgets.Dropdown(
    options=[
        "1. Cobb-Douglas simmetrica",
        "2. Cobb-Douglas asimmetrica",
        "3. Sostituti perfetti",
        "4. Leontief",
        "5. CES (sigma = 2)",
        "6. Quasi-lineare"
    ],
    value="1. Cobb-Douglas simmetrica",
    description="Preferenze:"
)

slider_px = widgets.FloatSlider(
    value=4.0,
    min=0.5,
    max=10.0,
    step=0.5,
    description="Prezzo px:",
    continuous_update=False
)

slider_py = widgets.FloatSlider(
    value=1.0,
    min=0.5,
    max=10.0,
    step=0.5,
    description="Prezzo py:",
    continuous_update=False
)

slider_u = widgets.FloatSlider(
    value=10.0,
    min=2.0,
    max=25.0,
    step=1.0,
    description="Utilità u:",
    continuous_update=False
)


# Organizzazione dei controlli
ui = widgets.VBox([
    dropdown_pref,
    widgets.HBox([
        slider_px,
        slider_py
    ]),
    slider_u
])


# Collegamento tra controlli e funzione
out = widgets.interactive_output(
    calcola_e_disegna,
    {
        "pref_tipo": dropdown_pref,
        "px": slider_px,
        "py": slider_py,
        "u": slider_u
    }
)


# Visualizzazione dell'interfaccia
display(ui, out)

Come leggere i risultati del simulatore

La dashboard permette di confrontare le diverse forme di preferenza mantenendo sotto controllo prezzi e utilità obiettivo.

Con le preferenze Cobb-Douglas, il punto hicksiano si sposta al variare dei prezzi, mentre con Leontief rimane vincolato alle proporzioni fisse. Nel caso dei sostituti perfetti, la scelta si concentra su uno dei due beni, salvo il caso di parità tra i costi unitari in termini di utilità, nel quale esiste una famiglia di panieri ottimi.

La funzione CES consente di osservare una sostituzione graduale tra i beni, mentre la quasi-linearità evidenzia il passaggio tra soluzione interna e soluzione d’angolo.

Il codice ha una finalità didattica: rappresenta le curve e i panieri in un intervallo grafico limitato e non sostituisce la verifica analitica delle condizioni di ottimo. In particolare, nel caso dei sostituti perfetti il punto rappresentato al pareggio è soltanto una delle infinite soluzioni ottime, mentre per Leontief la curva a L è disegnata attraverso i suoi due rami separati.

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Perché la dualità è importante in microeconomia

La dualità del consumatore permette di affrontare lo stesso problema economico attraverso due formulazioni complementari. La massimizzazione dell’utilità individua il paniere migliore compatibile con il reddito disponibile, mentre la minimizzazione della spesa determina il costo più basso necessario per raggiungere un livello di soddisfazione prefissato.

Le sei strutture analizzate mostrano che la forma delle preferenze influenza profondamente il comportamento della domanda compensata. Non esiste una risposta unica alle variazioni dei prezzi: il consumatore può modificare gradualmente il paniere, mantenere proporzioni rigide, concentrarsi su un solo bene oppure raggiungere una soluzione d’angolo.

Il Lemma di Shephard fornisce il collegamento operativo tra funzione di spesa e domanda hicksiana, mentre le identità duali permettono di passare dalla soluzione compensata a quella marshalliana. Questi risultati costituiscono anche la base per lo studio dell’effetto di sostituzione e dell’effetto di reddito, che saranno centrali nell’analisi dell’equazione di Slutsky.

La dualità, quindi, non è soltanto un modo alternativo di risolvere un esercizio di microeconomia, ma uno strumento essenziale per interpretare le decisioni del consumatore e comprendere come prezzi, reddito e preferenze interagiscono nella formazione della domanda.

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